Число выборок, свойства сочетаний, геометрические вероятности.
Общая таблица числа выбора:
С возвращением | ||
Без возвращения | ||
упорядоченная | Неупорядоченная | Выборка |
Опр. Упорядоченная выборка без возвращения наз. размещением. Число размещений . Опр. Перестановкой из k элементов наз. совокупность этих же элементов, записанных в произвольном порядке. Pk-число перестановок из k элементов: . Опр. Произвольное k-элементное подмножество множества из n элементов наз. сочетанием из n элементов по k элементов. Сочетание—это неупорядоченная выборка объема k из n элементов. Обозначается число всех сочетаний из n элементов по k элементов через : , 0≤k≤n. Свойства сочетаний: 1) ; 2) . Док-во : 3) 4) Док-во: .
Свойства вероятности.
1)Вероятность невозможного события равна 0, т.е. . Док-во: .
2)Вероятность достоверного события равна 1, т.е. . Док-во:
.3) Для любого события вероятность лежит в пределах от 0 до 1, т.е. . Д-во: ; .
4)(Теорема сложения вероятностей): если события А и В несовместимы, то вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий, т.е. Р(А+В)=Р(А)+Р(В). Док-во:
5)(обобщенная теорема сложения вероятностей) .Док-во:
Условная вероятность.Независимость.
Опр. Условной вероятностьюсобытия B при условии A называется вероятность события B в предположении, что событие A наступило. Обозначение , (реже ). . .
Теорема (умножение вероятностей): .
Теорема (обобщенная теорема умножения).
|
|
.
Доказательство:
.
Опр. События А и В называются независимыми, если .
Свойство. События А и В независимы тогда и только тогда когда P(B/A)=P(B). . Пусть P(B/A)=P(B), тогда А и В независимы.
Опр. События А1,А2,…,Аn называются независимыми (или независимыми в совокупности), если (для i≠j; i,j {1,2,3,…,n})–попарная независимость событий; , …,
.
Формула полной вероятности и Байеса.
Теорема 1.Если события Н1, Н2,…,Нn образуют полную группу, то вероятность любого события А можно вычислить по формуле полной вероятности: , или . ▲Так как события образуют полную группу, то можно записать . Событие А может произойти только с одним из событий Hi, i {1,2,…,n}, то А=АН1+АН2+…+АНn. По теореме сложения вероятностей ▲
Теорема 2.Пусть события Н1, Н2, …, Нn образуют полную группу, А–некоторое событие, причем P(A)≠0, тогда имеет место формула Байеса:
,
Доказательство: По теореме умножения вероятностей
. Отсюда находим вероятность . Остается в знаменателе подставить вместо —формула полной вероятности.
Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.
Теорема (локальная теорема Муавра-Лапласа).
Если вероятность появления события А в каждом отдельном испытании постоянная и отлична от 0 и 1, т.е. 0<p<1, то вероятность того, что событие А появится ровно k раз в n независимых испытаниях.
|
|
, где ; , q=1-p.
Имеются специальные таблицы значений функций φ(х). Нужно учитывать, что функция φ(х)–четная, т.е. φ(х)=φ(-х).
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 239; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!