Основные понятия дисперсионного анализа. Однофакторный дисперсионный анализ.
Дисперсионный анализ – анализ изменчивости признака под влиянием каких-либо контролируемых переменных факторов.
Однофакторный дисперсионный анализ используется в тех случаях, когда есть в распоряжении три или более независимые выборки, полученные из одной генеральной совокупности путем изменения какого-либо независимого фактора, для которого по каким-либо причинам нет количественных измерений.
Пусть результаты наблюдений составляют l независимых выборок (групп), полученных из нормальных совокупностей , которые имеют, вообще говоря, различные средние значения a1,a2,…,al и равные дисперсии .Соответственно объемы выборок n1, n2, …, nl, - общее число наблюдений. Проверяется гипотеза Н0: a1=a2=…=al.
Для l = 2 используются рассмотренные ранее критерии значимости.
Если l > 2, то для проверки гипотезы о равенстве l средних применяют однофакторный дисперсионный аналіз.
Суть однофакторного дисперсионного анализа заключается в следующем:
обозначим xik - i-й элемент k-ой выборки , , - выборочное среднее k-ой выборки , ,
- общее выборочное среднее, .
Основное тождество дисперсионного анализа записывается так:
Запишем его в виде:
Q= Q1+Q2 ,
|
|
где Q- общая сумма квадратов отклонений наблюдений от общего среднего,
Q1- сумма квадратов отклонений выборочных средних от общего среднего,
Q2- сумма квадратов отклонений наблюдений от групповых средних,
Q ³ 0 , Q1 ³ 0, Q2 ³ 0
Рассматривается статистика ,
имеет распределение Фишера с (l-1)(n-l) степенями свободы.
Если выполняется неравенство ,
то Н0 гипотеза принимается на уровне значимости .
Двухфакторный дисперсионный анализ.
Одной из используемых моделей данных в дисперсионном анализе является двухфакторная модель. Она состоит в учёте систематических и случайных ошибок в определении измеряемых параметров.
Пусть с помощью методов производится измерение нескольких параметров, чьи точные значения — . В таком случае, результаты измерений различных величин различными методами можно представить как:
,
где:
· — результат измерения -го параметра по методу ;
· — точное значение -го параметра;
· — систематическая ошибка измерения -го параметра по методу ;
· — случайная ошибка измерения -го параметра по методу .
|
|
Тогда дисперсии случайных величин , , , (где:
) выражаются как:
и удовлетворяют тождеству:
Двухфакторная схема позволяет лишь обнаружить систематические расхождения, но непригодна для их численной оценки с последующим исключением из результатов наблюдений. Эта цель может быть достигнута только при многократных измерениях.
[1] Выборочное среднее, кроме того, можно вычислить еще по формуле: где
[2] Стьюдент (Student) [псевдоним Уильяма Сили Госсета (Gosset W.S., 1876–1937)] ― английский математик и статистик.
[3] Пирсон Карл (Чарлз) [Pearson Karl (Cyarles), 1857–1936] ― английский математик, биолог и философ.
[4] Например, для нормального распределения ― два параметра: математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение
Дата добавления: 2018-05-13; просмотров: 411; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!