Средства MathCad для вычисления производных и интегралов

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 9Следующая ⇒

С помощь соответствующих шаблонов, расположенных на палитре Исчисления панели Математика, MathCad позволяет легко вычислять значения производных, как первого, так и высших порядков, от функции, заданной аналитическим выражением:

Способ вычисления определенного интеграла с использованием системы MathСad напрямую зависит от способа задания подынтегральной функции. Если подынтегральная функция задана в аналитическом виде, то интеграл может быть вычислен с помощью встроенного в систему оператора:

Если необходимо вычислить определенный интеграл от таблично заданной функции, то прямое применение встроенного оператора невозможно. Ниже приведены примеры вычисления определенных интегралов с использованием формул метода трапеций (It) и метода Симпсона (Ic).

Если подынтегральная функция задана аналитически, то может быть применен, например, метод средних прямоугольников:

С помощью средств MathCad можно получить символьные выражения для производных и интегралов. Символьный знак равенства (стрелка) расположен на палитре Символика панели Математика.

Средства MathCad для решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Решением обыкновенного дифференциального уравнения (ОДУ) является функция , которая при всех удовлетворяет уравнению . График решения ОДУ называется интегральной кривой. При решении ОДУ его следует привести к нормальной форме (к виду исходного ОДУ, разрешенного относительно производной)

Для ОДУ с разделяющимися переменными исходное уравнение можно привести к виду , тогда выражение , задает решение задачи Коши с начальными условиями как функцию y от переменной х.

Например, требуется решить ОДУ вида . Разделив переменные, получим

Найдем частное решение данного ОДУ с использованием средств MathCad, сначала методом разделения переменных, а затем с использованием с использованием функции Odesolve(x, xk, n), где х – имя переменной, относительно которой решается уравнение, xk – конец интервала интегрирования, n – количество шагов, на которых вычисляются решение ОДУ. Результаты подтверждают правильность преобразований.

Произвольная постоянная

Аналитическое решение ОДУ

Численное решение ОДУ

Аналитическое выражение для решения ОДУ удается получить достаточно редко, в таких случаях используются численные методы. Простейшими методами решения ОДУ является метод Эйлера (метод Рунге-Кутты 1-го порядка), реализуемый рекуррентной формулой вида и модифицированный метод Эйлера (метод Рунге-Кутты 2-го порядка), имеющий рекуррентную формулу вида:

Однако более точным является метод Рунге-Кутты 4-го порядка. Он дает погрешность решения ОДУ порядка h⁴. Одной из рекуррентных формул является:

Решить ОДУ в пакете MathCad методами Рунге-Кутты 1-го, 2-го и 4-го порядка можно следующим образом:

Метод Эйлера

Метод Рунге-Кутты 2-го порядка

Метод Рунге-Кутты 4-го порядка

В MathCad нет средств символьного решения ОДУ, но достаточно широко представлены методы численного решения задачи Коши. Для этого предназначена, например, функция rkfixed(y, x₀, x_end, N, D), где y – первоначально равное y₀, x₀ и x_end – начальное и конечное значения аргумента, N – количество проводимых вычислений решения, а переменной D(x,y) должно быть присвоено выражение для вычисления правой части уравнения. Результатом вычислений функции rkfixed служит матрица, в первом столбце которой содержатся координаты узлов x₀ … x_end, а во втором – значения приближенного решения в соответствующих узлах. В функции rkfixed вместо метода Рунге-Кутта используется метод Булирша-Штера. Ниже приведены решения и их графическая иллюстрация, полученные с шагом 0.6 и 0.15.