Одноканальная СМО с отказами в обслуживании
Проведем анализ простой одноканальной СМО с отказами в обслуживании, на которую поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью л, а обслуживание происходит под действием пуассоновского потока с интенсивностью м.
Работу одноканальной СМО n=1 можно представить в виде размеченного графа состояний (3.1).
Переходы СМО из одного состояния S0 в другое S1 происходят под действием входного потока заявок с интенсивностью л, а обратный переход – под действием потока обслуживания с интенсивностью м.
л
  S0
|
| S1 |
м
S0 – канал обслуживания свободен; S1 – канал занят обслуживанием;
Рис. 3.1 Размеченный граф состояний одноканальной СМО
Запишем систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояния по изложенным выше правилам:
Откуда получим дифференциальное уравнение для определения вероятности р0(t) состояния S0:
Это уравнение можно решить при начальных условиях в предположении, что система в момент t=0 находилась в состоянии S0, тогда р0(0)=1, р1(0)=0.
В этом случае решение дифференциального уровнения позволяет определить вероятность того, что канал свободен и не занят обслуживанием:
Тогда нетрудно получить выражение для вероятности определения вероятности занятости канала:
Вероятность р0(t) уменьшается с течением времени и в пределе при t→∞ стремится к величине
|
|
|
а вероятность р1(t) в то же время увеличивается от 0, стремясь в пределе при t→∞ к величине
Эти пределы вероятностей могут быть получены непосредственно из уравнений Колмогорова при условии
Функции р0(t) и р1(t) определяют переходный процесс в одноканальной СМО и описывают процесс экспоненциального приближения СМО к своему предельному состоянию с постоянной времени 
характерной для рассматриваемой системы.
С достаточной для практики точностью можно считать, что переходный процесс в СМО заканчивается в течение времени, равно 3ф.
Вероятность р0(t) определяет относительную пропускную способность СМО, которая определяет долю обслуживаемых заявок по отношению к полному числу поступающих заявок, в единицу времени.
Действительно, р0(t) есть вероятность того, что заявка, пришедшая в момент t, будет принята к обслуживанию. Всего в единицу времени приходит в среднем л заявок и из них обслуживается лр0 заявок.
Тогда доля обслуживаемых заявок по отношению ко всему потоку заявок определятся величиной
В пределе при t→∞ практически уже при t>3ф значение относительной пропускной способности будет равно 
|
|
|
Абсолютная пропускная способность, определяющая число заявок, обслуживаемых в единицу времени в пределе при t→∞, равна:
Соответственно доля заявок, получивших отказ, составляет в этих же предельных условиях:
а общее число не обслуженных заявок равно 
Примерами одноканальных СМО с отказами в обслуживании являются: стол заказов в магазине, диспетчерская автотранспортного предприятия, контора склада, офис управления коммерческой фирмы, с которыми устанавливается связь по телефону.
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 364; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!