Монотонные последовательности. Сходимость монотонных последовательностей.

Ограниченные числовые множества. Теорема о существовании точной верхней и точной нижней грани.

 

а. Числовое множество D называется ограниченным сверху, если M R, такое, что

x D: x≤M.                   M в этом случае называется точной верхней гранью.

б. Числовое множество D называется ограниченным снизу, если существует такое малое m из R, что x D: x≥m. M в этом случае называется точной нижней гранью.

в. Если множество D ограничено сверху и снизу, оно называется ограниченным, т.е. m,M R и m<M, что для x D: m≤x≤M.           

в. Множество D называется ограниченным, если  а>0, что для x D: |x|≤a (если все элементы множества по модулю не превосходят заданное a, то оно ограничено).

г. Множество D называется неограниченным, если для любого сколь угодно большого числа A> 0 найдется элемент x ∈D , удовлетворяющий неравенству: x ≥ A .

д. Наименьшая из верхних граней множества D называется точной верхней гранью.

                          = supD (супремум)

д. Число М называется точной высшей гранью множества D, если

1) x≤  для х D     //x - переменная

2) ε>0         D: > - ε                         //  – число

е. Наибольшая из нижних граней множества называется точной нижней гранью.

 - infD (инфимум)

е’. называется точной нижней гранью множества D, если выполняется

          1) x ≥  для x D

          2) ε>0                          D: < + ε

Теорема о существовании точной верхней и точной нижней грани. Если непустое множество ограничено, оно имеет точную нижнюю и точную верхнюю грани.

 

Предел последовательности. Свойства сходящихся последовательностей, выражаемые равенствами.

Предел последовательности – число а такое, что для любого ε>0 существует N такое, что для любого n≥N: |x_n– a|< ε, a= x_n.

Если а – конкретное число, то последовательность сходящаяся, иначе - расходящаяся.

Свойства сходящихся последовательностей.

Свойство 1:Предел сходящейся последовательности единственен.

Свойство 2:Если последовательность {x_n}-сходящаяся, то она ограничена.

Доказательство.

Пусть последовательность {x_n} сходящаяся, a= x_n, ε>0и существует N такое, что для любого n≥N: |x_n– a|< ε.Начиная с x_N,все x попадают в окрестность точки 0 с радиусом ε.За пределами окрестности может быть определенное количество членов последовательности, а это означает, что возможно поместить всю последовательность в некий отрезок AB, что в свою очередь означает, что последовательность ограничена.

Но обратное утверждение не имеет места.

Свойство 3:Арифметические свойства сходящихся последовательностей.

Пусть {x_n}, {y_n}-последовательности, сходящиеся соответственно ка и b. То есть

a= x_n, b= y_n,следовательно, { x_n± y_n}, { x_n * y_n}, { }являются сходящимися последовательностями, причем

{ x_n± y_n}= a±b;

{ x_n * y_n}= a * b;

=  , b 0.

Доказательство.

Пусть a= x_n, b= y_n

|(xn+yn)-(a+b)|=|(xn-a)+(yn-b)|

|(xn-a)+(yn-b)| |xn-a|+|yn-b| ,значит

{ x_n± y_n}= a±b

Но обратное утверждение не имеет места.

 

 

Монотонные последовательности. Сходимость монотонных последовательностей.

 О1.{Xn} - называется неубывающей, если для любого n <=

 О2.{Xn} - называется строго возрастающей, если для любого n <

 О3.{Xn} - называется невозрастающей, если для любого n =>

 О4.{Xn} - называется строго убывающей, если для любого n >

 О1 и О2 - возрастающие последовательности

 О3 и О4 - убывающие последовательности

 

Теорема: Пусть {Xn} – монотонная и ограниченная, следовательно {Xn} – сходится

Доказательство: Пусть {Xn} возрастающая и ограниченная сверху. Докажем, что она сходится.

{Xn} ограничена сверху, поэтому имеет точную верхнюю грань по известной теореме (Числовое множество D называется ограниченным сверху, если M R, такое, что x D: x≤M) М = sup{Xn} Докажем, что М и есть предел последовательности.

 

 

Докажем, что М = Lim {Xn} при n ;

 

 

n такое, что |M–x_n| < ε, ч.т.д.

 

Аналогично можно доказать, что если последовательность убывающая и ограничена снизу, то она тоже сходится.

 

5. Число ℮ как предел последовательности.

Пусть имеем n-элементное множество. Любое его k-элемнтное подмножество называется сочетанием из n по k.

 

Бином Ньютона.

 

Доказательство

℮

{ }, =

= = =

=

 

<

- ограниченная сверху.

По теореме о сходимости монотонной последовательности ({ } – ограниченная и монотонная => { } сходится) ℮

℮=2.718281…

℮ - экспонента; частный случай показательной функции. 

 

 

Принцип вложенных отрезков.

 

Всякая система вложенных отрезков, длина которых стремится к нулю, имеет единственное число, принадлежащее всем этим отрезкам.

Доказательство.

 

По условию n→0, т.е. для ε > 0,  натуральное n, что b_n – a_n<ε для всех n>N. (Число A называется пределом функции f(x) при x , если для любого положительного числа ε существует положительное число N такое, что для всех значений аргумента x удовлетворяющих условию x>N выполняется неравенство |f(x)-A|< ε).

x ,y всем отрезкам, причем x≠y. x<y, тогда a_n≤ x ≤b_nиa_n≤ y ≤b_n (n= 1,2,3, …).

Из неравенств y ≤b_nи a_n≤ xполучаем y-x≤b_n – a_n, задав ε>0, N, что b_n – a_n<ε для всех n>N;

y-x< ε. Т.к. ε – любое число, то взяв ε= y-x(ε>0, т.к. x<y, то y-x>0), получим y-x<y-x, что противоречиво.Наличие противоречия доказывает теорему.

---

Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 918; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!