Монотонные последовательности. Сходимость монотонных последовательностей.
Ограниченные числовые множества. Теорема о существовании точной верхней и точной нижней грани.
а. Числовое множество D называется ограниченным сверху, если 
M 
R, такое, что
x D: x≤M. M в этом случае называется точной верхней гранью.
б. Числовое множество D называется ограниченным снизу, если существует такое малое m из R, что x D: x≥m. M в этом случае называется точной нижней гранью.
в. Если множество D ограничено сверху и снизу, оно называется ограниченным, т.е. m,M R и m<M, что для x D: m≤x≤M.
в. Множество D называется ограниченным, если а>0, что для x D: |x|≤a (если все элементы множества по модулю не превосходят заданное a, то оно ограничено).
г. Множество D называется неограниченным, если для любого сколь угодно большого числа A> 0 найдется элемент x ∈D , удовлетворяющий неравенству: x ≥ A .
д. Наименьшая из верхних граней множества D называется точной верхней гранью.
= supD (супремум)
д. Число М называется точной высшей гранью множества D, если
1) x≤ для х D //x - переменная
2) 
ε>0 
D: > - ε // – число
е. Наибольшая из нижних граней множества называется точной нижней гранью.
- infD (инфимум)
е’. называется точной нижней гранью множества D, если выполняется
1) x ≥ для x D
2) ε>0 D: < + ε
|
|
|
Теорема о существовании точной верхней и точной нижней грани. Если непустое множество ограничено, оно имеет точную нижнюю и точную верхнюю грани.
Предел последовательности. Свойства сходящихся последовательностей, выражаемые равенствами.
Предел последовательности – число а такое, что для любого ε>0 существует N такое, что для любого n≥N: |xn– a|< ε, a= 
xn.
Если а – конкретное число, то последовательность сходящаяся, иначе - расходящаяся.
Свойства сходящихся последовательностей.
Свойство 1:Предел сходящейся последовательности единственен.
Свойство 2:Если последовательность {xn}-сходящаяся, то она ограничена.
Доказательство.
Пусть последовательность {xn} сходящаяся, a= xn, ε>0и существует N такое, что для любого n≥N: |xn– a|< ε.Начиная с xN,все x попадают в окрестность точки 0 с радиусом ε.За пределами окрестности может быть определенное количество членов последовательности, а это означает, что возможно поместить всю последовательность в некий отрезок AB, что в свою очередь означает, что последовательность ограничена.
Но обратное утверждение не имеет места.
Свойство 3:Арифметические свойства сходящихся последовательностей.
Пусть {xn}, {yn}-последовательности, сходящиеся соответственно ка и b. То есть
|
|
|
a= xn, b= yn,следовательно, { xn± yn}, { xn * yn}, { 
}являются сходящимися последовательностями, причем
{ xn± yn}= a±b;
{ xn * yn}= a * b;
= 
, b 
0.
Доказательство.
Пусть a= xn, b= yn
|(xn+yn)-(a+b)|=|(xn-a)+(yn-b)|
|(xn-a)+(yn-b)| 
|xn-a|+|yn-b| 
,значит
{ xn± yn}= a±b
Но обратное утверждение не имеет места.
Монотонные последовательности. Сходимость монотонных последовательностей.
О1.{Xn} - называется неубывающей, если для любого n 
<= 
О2.{Xn} - называется строго возрастающей, если для любого n <
О3.{Xn} - называется невозрастающей, если для любого n =>
О4.{Xn} - называется строго убывающей, если для любого n >
О1 и О2 - возрастающие последовательности
О3 и О4 - убывающие последовательности
Теорема: Пусть {Xn} – монотонная и ограниченная, следовательно {Xn} – сходится
Доказательство: Пусть {Xn} возрастающая и ограниченная сверху. Докажем, что она сходится.
{Xn} ограничена сверху, поэтому имеет точную верхнюю грань по известной теореме (Числовое множество D называется ограниченным сверху, если M R, такое, что x D: x≤M) М = sup{Xn} Докажем, что М и есть предел последовательности.
Докажем, что М = Lim {Xn} при n 
;
n такое, что |M–xn| < ε, ч.т.д.
|
|
|
Аналогично можно доказать, что если последовательность убывающая и ограничена снизу, то она тоже сходится.
5. Число ℮ как предел последовательности.
Пусть имеем n-элементное множество. Любое его k-элемнтное подмножество называется сочетанием из n по k.
Бином Ньютона.
Доказательство
℮
{ 
}, = 
= = 
=
= 
< 
- ограниченная сверху.
По теореме о сходимости монотонной последовательности ({ } – ограниченная и монотонная => { } сходится) 
℮
℮=2.718281…
℮ 
- экспонента; частный случай показательной функции.
Принцип вложенных отрезков.
Всякая система вложенных отрезков, длина которых стремится к нулю, имеет единственное число, принадлежащее всем этим отрезкам.
Доказательство.
По условию n→0, т.е. для ε > 0, натуральное n, что bn – an<ε для всех n>N. (Число A называется пределом функции f(x) при x 
, если для любого положительного числа ε существует положительное число N такое, что для всех значений аргумента x удовлетворяющих условию x>N выполняется неравенство |f(x)-A|< ε).
x ,y всем отрезкам, причем x≠y. x<y, тогда an≤ x ≤bnиan≤ y ≤bn (n= 1,2,3, …).
Из неравенств y ≤bnи an≤ xполучаем y-x≤bn – an, задав ε>0, N, что bn – an<ε для всех n>N; 
|
|
|
y-x< ε. Т.к. ε – любое число, то взяв ε= y-x(ε>0, т.к. x<y, то y-x>0), получим y-x<y-x, что противоречиво.Наличие противоречия доказывает теорему.
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 918; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!