Основы контрольных карт Шухарта

Настоящие методические указания составляют учебно-методическую базу для выполнения лабораторных работ по дисциплине "Управление качеством электронных средств" студентами, обучающимися по направлению 654300 «Проектирование и технология электронных средств».

Лабораторные работы по управлению качеством электронных средств знакомят студентов с основными приемами, методами и инструментами контроля качества электронных средств. По полученным результатам лабораторных исследований студенты должны приобрести практические навыки анализа статистических данных о качестве, принимать на его основе эффективные меры, направленные на повышение качества технических устройств и технологических процессов их производства.

Перед выполнением каждой лабораторной работы студенты обязаны ознакомиться с теоретическими сведениями по теме работы. Лабораторная работа завершается составлением отчета и сдачей зачета по ней. Лабораторная работа засчитывается, если отчет содержит необходимые таблицы и графики, выполненные правильно и аккуратно, и если студент ответил на вопросы преподавателя, обнаружив знания объекта исследования.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1
"ПЕРВИЧНАЯ ОБРАБОТКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ О КАЧЕСТВЕ"

Цель работы

Приобрести практические навыки первичной обработки статистических данных о качестве.

План работы

1 Ознакомиться с теоретическими сведениями по теме лабораторной работы.

2 Написать программу на произвольном языке программирования, позволяющую:

2.1 Получить выборку значений некоторой случайной величины X, принимающей значения целых чисел из диапазона [0;99]. Объем выборки от 500 до 1000.

2.2 Сформировать на основе выборки статистический ряд, состоящий из 10-ти интервалов (классов): 0..9, 10..19, … 90..99. Определить величину каждого интервала (класса), его абсолютную и относительную частоту.

2.3 Определить для полученного статистического ряда (не для выборки!!!) следующие характеристики: выборочную среднюю арифметическую, медиану, моду, размах, выборочное среднеквадратическое отклонение, дисперсию, коэффициент вариации.

Теоретические сведения

Процесс принятия решений в области управления качеством должен базироваться в первую очередь на фактах, а не на интуиции. Т.о. нужно организовать процесс поиска фактов, т.е. сбора и обработки статистических данных.

Пусть в качестве исходной информации выступают статистические данные, представляющие собой последовательность значений некоторой величины, полученных в результате измерения. Данную величину назовем случайной величиной. Случайной является величина, значения которой невозможно предсказать до момента их появления.

Выборкой называют часть данных полученных из общей совокупности, называемой генеральной совокупностью, по отношению к которой на основании выборки делают соответствующие выводы. Генеральная совокупность - это совокупность всех значений, которые может принимать случайная величина.

Если выборка в достаточной степени представляет характеристики генеральной совокупности, то ее называют представительной или репрезентативной.

Удобнее анализировать статистический материал, если его данные (элементы выборки) расположить в порядке возрастания или убывания. Такое упорядочивание называется ранжированием. Если помимо ранжирования объединить повторяющиеся значения в группы, то получается статистический ряд.

Таблица 1 – Пример записи информации по ранжированному статистическому ряду

В общем случае статистический ряд может быть сформирован следующим образом. Сначала разделяют весь диапазон возможных значений случайной величины на интервалы, как правило равные. Затем определяют величины интервалов (классов). За величину интервала (класса) принимают его середину. Находят величину интервала как полусумму его границ. В каждый интервал включаются те значения выборки, которые больше (либо равны) нижней границе и меньше (либо равны) верхней. Количество значений выборки, попавших в данный интервал, называют абсолютной частотой или статистическим весом этого значения случайной величины (m_i). При этом говорят, что величина x_i встречается m_i раз в статистическом ряду.

Под относительной частотой понимают величину

w_i=m_i/n,                                                                    (1)

где n - число значений в выборке.

                                                                   (2)

Изменение фиксируемых значений случайной величины может быть дискретным или непрерывным

Дискретным изменением случайной величины называют такое, при котором рядом лежащие значения в ранжированном ряду отличаются одно от другого на некоторую конечную величину.

Непрерывным изменением случайной величины называют такое, при котором рядом лежащие значения в ранжированном ряду отличаются одно от другого на сколь угодно малую величину.

Статистический материал удобно представлять числовыми значениями, которые до некоторой степени отражают существенные характеристики статистического ряда - характеристики положения и характеристики рассеивания.

Важнейшей характеристикой положения случайной величины является средняя арифметическая величина наблюдаемых значений, которую для характеристики выборки называют выборочной средней арифметической и обозначают . Если в результате n измерений получены значения x₁, x₂, ... x_n, то:

                                                                 (3)

Для статистического ряда (когда задана частота):

                                                             (4)

Другими двумя характеристиками положения случайной величины являются медиана и мода. Медиана (Me) - это значение величины, которое делит ряд на две равные по объему группы.

Для нечетного числа элементов выборки (количества интервалов для статистического ряда)

n=2i-1                                                                       (5)

Me=x_i+1                                                                     (6)

Для четного числа элементов выборки (количества интервалов для статистического ряда)

n=2i                                                                          (7)

Me=(x_i+ x_i+1)/2;                                                          (8)

Здесь i - номер элемента ранжированной выборки (интервала) при нумерации с единицы.

Модой (Mo) случайной величины называется значение, которое наиболее часто встречается в данном ряду. Для дискретного ряда модой является значение с наибольшей частотой.

Самой простой характеристикой рассеивания является размах:

R=x_max-x_min                                                                 (9)

Другая статистическая характеристика рассеивания наблюдаемых значений показывает, как тесно группируются отдельные значения вокруг средней арифметической или как они рассеиваются вокруг этой средней. За меру рассеивания принимают сумму квадратов отклонений отдельных значений от средней арифметической, деленной на число наблюдений, уменьшенное на единицу. Эту меру называют выборочной дисперсией и обозначают через s²:

                                                      (10)

При наличии частот m_i (для статистического ряда):

                                                   (11)

где

                                                                 (12)

Вместо выборочной дисперсии s² часто применяют выборочное стандартное (среднеквадратическое) отклонение s. Оно имеет ту же размерность что и средняя арифметическая.

Для формулы (10) выборочное стандартное (среднеквадратическое) отклонение будет иметь вид:

                                                     (13)

А для формулы (11) выборочное стандартное (среднеквадратическое) отклонение будет иметь вид соответственно:

                                                 (14)

Отношение стандартного отклонения к средней арифметической, выраженное в процентах, называют коэффициентом вариации:

                                                      (15)

Генеральную совокупность обычно представляют, как и выборочные данные представляют характеристиками положения и рассеивания. Характеристикой положения в этом случае является математическое ожидание, а характеристикой рассеивания - дисперсия или стандартное отклонение.

Рассмотрим случайную величину X, которая может принимать дискретные значения x₁, x₂, x₃...x_n, с вероятностями p₁, p₂, ... p_n их попаданий в выборку, сделанную из бесконечного множества значений X. Тогда генеральное среднее арифметическое случайной величины X (математическое ожидание) может быть подсчитано по формуле:

                                                        (16)

Т.к. выполняется соотношение

,                                                                 (17)

то

                                                        (18)

Вычисленная выборочная средняя всегда будет содержать элемент случайности, в то время как математическое ожидание является для данной генеральной совокупности величиной постоянной. При большом количестве наблюдаемых значений выборочная средняя приближается к математическому ожиданию. Дисперсия случайной величины X в генеральной совокупности вычисляется по формулам соответственно:

                                           (19)

,                                    (20)

где  (формула 12)

Часто вместо дисперсии применяют стандартное отклонение случайной величины, которое вычисляется как корень квадратный из дисперсии.

Список терминов, использованных на лабораторной работе:

1 выборка

2 генеральная совокупность

3 представительная или репрезентативная выборка

4 случайная величина

5 ранжирование

6 статистический ряд

7 абсолютная частота или статистический вес

8 дискретное изменение случайной величины

9 непрерывное изменением случайной величины

10 интервал (класс)

11 относительная частота

12 характеристики положения и характеристики рассеивания

13 выборочная средняя арифметическая

14 медиана

15 мода

16 размах

17 выборочная дисперсия

18 выборочное стандартное отклонение

19 коэффициент вариации

20 математическое ожидание (генеральное среднее арифметическое)

21 дисперсия

22 стандартное отклонение

К отчету по лабораторной работе необходимо:

1 Знать термины, использованные на лаборатоном занятии.

2 Уметь отвечать на вопросы по структуре и функционированию написанной программы.

Контрольные вопросы

1 Какую роль в управлении качеством играют статистические данные?

2 Как производится первоначальное упорядочивание статистических данных о качестве?

3 Какие инструменты контроля качества используют статистические данные?

4 Объясните следующие термины: случайная величина, генеральная совокупность, выборка, ранжирование, статистический ряд, абсолютная частота, относительная частота, медиана, мода, размах.

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2
"ИССЛЕДОВАНИЕ СВЯЗИ ПАР ДАННЫХ С ПОМОЩЬЮ ДИАГРАММЫ РАЗБРОСА"

Цель работы

Получить навыки использования диаграммы разброса в управлении качеством при исследовании вида и тесноты связи пар данных.

План работы

1 Ознакомиться с теоретическими сведениями по теме лабораторной работы.

2 На основании совокупностей пар данных построить диаграммы разброса.

3 Визуально по диаграммам разброса определить вид зависимости для каждой совокупности пар данных (сильная прямая корреляционная зависимость, отсутствие зависимости, криволинейная зависимость, легкая обратная зависимость, и т.д.).

4 Для совокупностей пар данных с сильной прямой и обратной корреляционной зависимостью построить на уже полученных диаграммах разброса прямые выборочной регрессии, предварительно определив коэффициенты их уравнений.

5 Рассчитать для каждой совокупности пар коэффициенты корреляции.

6 Сделать выводы и предложить дальнейшие действия по улучшению качества для каждой из диаграмм.

Теоретические сведения

Диаграмма разброса - один из инструментов контроля качества, позволяющий визуально определить вид и тесноту связи между двумя случайными величинами. Другое название диаграммы разброса - поле корреляции. В качестве случайных величин наиболее часто выступают:

1 Показатель качества и фактор производства.

2 Два показателя качества.

3 Два фактора производства.

Построение диаграммы разброса необходимо проводить в следующей последовательности:

1 Соберите парами значения (x₁,y₁), (x₂,y₂), ... (x_n,y_n) случайных величин X и Y, между которыми требуется исследовать зависимость. Расположите их в таблицу. Желательно не менее 25-30 пар данных.

2 Найдите максимальные и минимальные значения для X и Y. Выберите шкалы на горизонтальной и вертикальной осях так, чтобы их длины были приблизительно одинаковыми. Если одна переменная - фактор производства, а вторая - показатель качества, то выберите для фактора горизонтальную ось, а для показателя качества - вертикальную.

3 Нанесите точки, соответствующие парам данным, на диаграмму.

4 Сделайте все необходимые обозначения. Убедитесь, что ниже перечисленные данные, отраженные на диаграмме, понятны любому человеку, а не только тому, кто делал диаграмму:

4.1 Название диаграммы.

4.2 Интервал времени, когда были получены данные.

4.3 Число пар данных.

4.4 Названия и единицы измерения для каждой оси.

4.5 Условия получения данных.

4.6 Имя человека, сделавшего диаграмму.

Типичные варианты скопления точек на диаграмме разброса приведены на рисунке 1.

Рисунок 1 – Типичные варианты скопления точек на диаграмме разброса

На графике (рис.1) рисунка 1 изображена сильная прямая корреляция. Величины X и Y связаны. Увеличивая X можно увеличить Y.

На графике (рис.2) рисунка 1 изображена легкая (слабая) прямая корреляция. Величины X и Y связаны, однако на величину Y кроме Х действую какие-либо другие величины. Увеличивая X также можно увеличить Y.

На графике (рис.3) рисунка 1 изображена сильная обратная корреляция. Величины X и Y связаны. Увеличивая X можно уменьшить Y.

На графике (рис.4) рисунка 1 изображена легкая (слабая) обратная корреляция. Величины X и Y связаны, однако на величину Y кроме Х действую какие-либо другие величины. Увеличивая X также можно уменьшить Y.

На графике (рис.5) рисунка 1 приведено скопление точек, характерное для отсутствия корреляции. Величины X и Y не связаны.

На графике (рис.6) рисунка 1 изображена криволинейная корреляция. Величины X и Y связаны, однако, в отличие от случаев (рис.1) – (рис.4) нелинейной зависимостью.

Рассмотрим случай, когда в качестве одной из случайных величин выступает показатель качества, другой - фактор производства. Последовательность применения диаграммы разброса для этого случая будет состоять из следующих этапов:

1 Осознание неудовлетворенности качеством изделия в целом, его деталей и узлов или качеством технологического процесса.

2 Выбор показателя качества, количественно отражающего эту неудовлетворенность.

3 Выдвижение гипотезы о влиянии какого-либо фактора производства на выбранный показатель качества.

4 Сбор данных и построение диаграммы разброса.

5 Анализ диаграммы разброса. В результате анализа диаграммы может быть сделан один из следующих выводов:

5.1 Выбранный фактор производства сильно связан с показателем качества (графики (рис.1), (рис..3) рисунка 1), выдвинутая гипотеза верна. В этом случае, изменяя значение фактора производства, можно добиться требуемого значения показателя производства и, тем самым, улучшить качество. Требуемое изменение фактора производства количественно можно оценить с использованием уравнения прямой выборочной регрессии.

5.2 Выбранный фактор производства слабо связан с показателем качества (графики (рис.2,) (рис.4) рисунка 1). Следует, не исключая из рассмотрения текущего фактора производства, найти другие факторы, влияющие на показатель качества, выполнив п.3 - п.5 описываемой последовательности. Требуемое качество может быть достигнуто одновременным изменением всех выявленных влияющих факторов производства.

5.3 Выбранный фактор производства не связан с показателем качества, гипотеза неверна (график (рис.5) рисунка 1). Следует найти факторы производства, влияющие на показатель качества, исключив при поиске из рассмотрения текущий фактор. Новый поиск также проводится в соответствии с последовательностью п.3 - п.5.

Если при анализе диаграммы разброса установлена связь между случайными величинами X и Y, то, изменяя X, можно добиться требуемого значения Y (или наоборот). Если при этом выявленная связь может считаться линейной, то количественное изменение одной из случайных величин, необходимое для получения определенного значения другой, может быть найдено с помощью уравнения прямой выборочной регрессии.

Пусть в результате n испытаний получены пары значений случайных величин X и Y:

(x₁,y₁), (x₂,y₂),.....(x_n,y_n).                                           (21)

Допустим, что случайная величина Y имеет вид

Y=Y₀+V,                                                                  (22)

где Y₀ - случайная величина, связанная с Х линейной функциональной зависимостью

Y₀=kX+b,                                                                 (23)

k и b - некоторые неизвестные постоянные, V - случайная величина, отражающая влияние на Y - неизвестных случайных факторов.

Если бы V=0, то все точки поля корреляции, соответствующие парным данным, принадлежали бы прямой

y=kx+b.                                                                   (24)

Таким образом, одна из задач корреляционного анализа заключается в отыскании по опытным данным коэффициентов линейной зависимости (23).

Пусть величина

                                                       (25)

выражает степень удаленности точки i от прямой (24). Чем меньше разности  в совокупности, тем «ближе» проходит прямая (24) от множества точек (21), тем лучше она отражает искомую зависимость. Пусть «расстояние» от прямой до системы точек выражается равенством:

.                             (26)

Наилучшей прямой, т.е. прямой с меньшим «расстоянием» от совокупности точек (21), будет являться такая прямая, которая соответствует минимуму функции R(k,b).

Минимум функции R(k,b) достигается в точке с координатами:

,                                (27)

.                                                  (28)

Прямая (24), для которой сумма квадратов (26) достигает наименьшего значения, называется прямой выборочной регрессии. Если чертой сверху обозначить среднее значение соответствующей величины, то выражения (27, 28) можно записать в виде:

,                                                          (29)

.                                                              (30)

Число , равное значению функции R(k,b), где k и b определены из равенств (27, 28) называется остаточной дисперсией.

Для определения тесноты связи случайных величин используют коэффициент корреляции

.                                   (31)

Коэффициент корреляции обладает следующими свойствами:

1 r=0 если величины X и Y не связаны.

2 |r|=1 если величины X и Y связаны зависимостью вида (24).

Необходимо заметить, что коэффициент корреляции (31) корректно отражает тесноту связи случайных величин, если зависимость между ними линейная.

Варианты заданий

Варианты заданий приведены в файле «Задания по лабораторной работе N2 по УК ЭС.xls» (по 5 совокупностей пар данных для каждого варианта).

Контрольные вопросы

1 Для чего используется диаграмма разброса в управлении качеством?

2 Что откладывают по осям диаграммы разброса?

3 Опишите последовательность применения диаграммы разброса.

4 Какие типичные варианты скопления точек существуют на диаграмме разброса?

5 Какие выводы можно сделать и какие действия по улучшению качества предпринять для каждого из типичных вариантов скопления точек на диаграмме разброса?

6 Для чего в управлении качеством используется прямая выборочной регрессии?

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3
"КОНТРОЛЬНЫЕ КАРТЫ ШУХАРТА"

Цель работы

Получение навыков в использовании контрольных карт Шухарта для статистического регулирования технологических процессов.

План работы

1 Ознакомиться с теоретическими сведениями по теме лабораторной работы.

2 С помощью последовательного построения нескольких -карт добиться статистической управляемости исследуемого технологического процесса.

3 Определить возможности технологического процесса, сделать выводы о его состоянии, необходимости модернизации и настройки.

4 С помощью построения одной либо нескольких контрольных p-карт добиться статистической управляемости технологического процесса.

Теоретические сведения

Основы контрольных карт Шухарта

Традиционный для середины XX века подход к производству включал в себя контроль качества готовой продукции и отбраковку единиц продукции, не соответствующих установленным требованиям. Такой подход в настоящее время не может считаться приемлемым и противоречит одному из принципов всеобщего управления качеством (TQM), гласящему, что дефекты и несоответствия должны в первую очередь предотвращаться, а не обнаруживаться и устраняться [1]. Предотвращение потерь, связанных с выпуском некачественной (несоответствующей) продукции, предполагает сбор информации о самих процессах, ее анализ и формирование необходимых управляющих воздействий на процесс.

Одними из наиболее эффективных статистических инструментов анализа технологических процессов являются контрольные карты Шухарта [2,3].

Теория контрольных карт различает два вида изменчивости:

1 Изменчивость из-за случайных (обычных) причин, обусловленная бесчисленным набором разнообразных причин, присутствующих постоянно, которые нелегко или невозможно выявить. Каждая из таких причин вызывает очень малую долю общей изменчивости, и ни одна из них не значима сама по себе. Тем не менее, сумма всех этих причин измерима и внутренне присуща процессу. Исключение или уменьшение влияния обычных причин требует, как правило, значительных дополнительных затрат на модернизацию процесса.

2 Изменчивость из-за неслучайных (особых) причин. Особые причины не присущи процессу внутренне (нетипичны для процесса) и могут быть выявлены и устранены. К ним могут быть отнесены, например, поломка инструмента, значительные изменения температуры окружающей среды, невыполнение отдельных технологических операций и т.д.

Целью статистического регулирования технологических процессов является обеспечение соответствия продукции установленным требованиям посредством стабильного поддержания характеристик процесса на требуемом уровне. Главный статистический инструмент, используемый для этого, - контрольная карта. Контрольная карта - графический инструмент представления информации, представленной в виде последовательности выборок, отражающей текущее состояние процесса, и сопоставление ее с границами, установленными на основе внутренне присущей процессу изменчивости.

Задача контрольных карт - обнаружить неестественные для данного процесса изменения контролируемых параметров и характеристик, сформировать критерии статистической управляемости. Процесс находится в статистически управляемом состоянии, если его изменчивость вызвана только случайными причинами. Если процесс находится в статистически управляемом состоянии, качество продукции предсказуемо. После определения приемлемого уровня изменчивости любое отклонение от него считают результатом действия особых причин, которые следует выявить, исключить или ослабить.

Карты Шухарта требуют данных, содержащихся в выборках (подгруппах), которые могут извлекаться либо через определенные интервалы времени (например, ежечасно), либо из определенных совокупностей единиц продукции (например, партий). Обычно все выборки имеют равные либо близкие объемы и состоят из однотипных единиц продукции с одними и теми же контролируемыми показателями. Для каждой выборки определяют одну или несколько статистических характеристик, например, среднее арифметическое выборки  и размах выборки R.

Карта Шухарта - это график значений определенных статистических характеристик выборок в зависимости от их номеров. Кроме данного графика на карту наносятся:

- центральная линия (CL);

- верхняя (UCL) и нижняя (LCL) контрольные границы.

Общий вид контрольной карты Шухарта приведен на рисунке 2.

Рисунок 2 – Общий вид контрольной карты Шухарта

Центральная линия соответствует эталонному значению контролируемой характеристики. При оценке того, находится ли процесс в статистически управляемом состоянии, эталонным служит среднее арифметическое рассматриваемых данных. При управлении процессом эталонным служит значение характеристики продукции, установленное в технических условиях, основанное на предыдущей информации о процессе, или намеченное целевое значение характеристики.

Контрольные границы (UCL, LCL) на картах Шухарта находятся на расстоянии 3σ от центральной линии, где σ - генеральное среднеквадратической (стандартное) отклонение используемой характеристики процесса. Для получения оценки σ вычисляют выборочное стандартное отклонение или умножают выборочный размах на соответствующий коэффициент.

Границы ±3σ указывают, что около 99,7% полученных значений характеристики выборок попадут в эти пределы при условии, что процесс находится в статистически управляемом состоянии. Вероятность того, что нарушение границ в самом деле случайное событие, не вызванное особой причиной, считается столь малой, что при появлении точки вне границ следует предпринять определенные действия. В связи с этим, ±3σ контрольные границы иногда называются «границами действий».

При применении контрольных карт возможны ошибки первого и второго рода.

Ошибка первого рода возникает, когда процесс находится в статистически управляемом состоянии, а точка выходит за контрольные границы случайно. В результате неправильно решают, что процесс вышел из состояния статистической управляемости, и делают попытку найти и устранить несуществующий особый фактор.

Ошибка второго рода возникает, когда рассматриваемый процесс статистически неуправляем, а точки случайно оказываются внутри контрольных границ. В этом случае неверно заключают, что процесс статистически управляем и упускают возможность предупредить увеличение количества выпускаемой несоответствующей продукции.

Система карт Шухарта учитывает только ошибки первого рода. Поскольку в общем случае непрактично делать полную оценку потерь от ошибки второго рода в конкретной ситуации, целесообразно использовать границы на расстоянии ±3σ и сосредоточивать внимание в основном на улучшении качества самого процесса.

Когда наносимое на контрольную карту значение выходит за любую из контрольных границ или серия значений демонстрирует необычные структуры, состояние статистической управляемости подвергается сомнению. В этом случае необходимо исследовать и обнаружить неслучайные (особые) причины, процесс можно остановить или скорректировать. Как только особые причины найдены и исключены, процесс снова готов к продолжению работы. Если никакой особой причины не найдено, то считают, что произошла ошибка первого рода, а процесс находится в статистически управляемом состоянии.

Мы поможем в написании ваших работ!