Примеры решения обратной задачи
Пример 1: сила постоянна по модулю и направлению. Свободное падение тела без учета сопротивления воздуха.
Рассмотрим движение тела М, падающего на поверхность земли с высоты Н, полагая вес тела G постоянным (рис.3). Пренебрегая размерами тела, будем считать его материальной точкой. Сначала рассмотрим падение тела в пустоте, без учета сопротивления воздуха.
1. Составляем основное уравнение динамики:
2. Направим ось y по траектории прямолинейного движения тела в сторону его движения и примем за начало координат начальное положение тела. Если начальная скорость равна нулю, то начальные условия рассматриваемого движения будут иметь вид: 
Дифференциальное уравнение этого прямолинейного движения тела под действием силы тяжести примет вид:
, т.е. ускорение движения постоянно.
3. Понижаем порядок производной: 
.
4. Разделяем переменные: 
5. Вычисляем интегралы от обоих частей уравнения: 
6. Представим проекцию скорости как производную координаты по времени: 
7. Разделяем переменные: 
8. Вычисляем интегралы от обоих частей уравнения:
Постоянные 
и 
определим по начальным условиям. При подстановке в первое уравнение 
, 
получаем, что 
. При подстановке во второе уравнение , 
получаем, что 
.
Уравнения, характеризующие свободное падение тела при значениях и , примут вид:
 ,  .
|
С их помощью можно определить время свободного падения 
тела с высоты H:
|
|
|
 ,  .
|
Пример 2: сила зависит от времени.
Груз весом P начинает двигаться по гладкой горизонтальной поверхности под действием силы F, величина которой пропорциональна времени (F = kt) (рис.4). Определить пройденное расстояние грузом за время t.
1. Выбираем систему отсчета (декартовые координаты) так, чтобы тело имело положительную координату.
2. Принимаем объект движения за материальную точку (тело движется поступательно), освобождаем от связи (опорной плоскости) и заменяем реакцией (нормальной реакцией гладкой поверхности).
3. Составляем основное уравнение динамики:
4. Проецируем основное уравнение динамики на ось x : 
или 
5. Понижаем порядок производной: 
6. Разделяем переменные: 
7. Вычисляем интегралы от обоих частей уравнения:
8. Определим значение постоянной из начального условия 
, 
: 
.
9. Запишем проекцию скорости как производную координаты по времени: 
.
10. Разделяем переменные: 
.
11. Вычисляем интегралы от обоих частей уравнения:
.
12. Определим значение постоянной 
из начального условия
, 
: 
В итоге получаем уравнение движения (по оси x), которое дает значение пройденного пути за время t: 
.
Пример 3: сила зависит от координаты. Материальная точка массой m брошена вверх с поверхности Земли со скоростью 
. Сила притяжения Земли обратно пропорциональна квадрату расстояния от точки до центра тяготения (центра Земли) (рис.5). Определить зависимость скорости от расстояния y до центра Земли.
|
|
|
1. Выбираем систему отсчета (декартовые координаты) так, чтобы тело имело положительную координату.
2. Составляем основное уравнение динамики:
3. Проецируем основное уравнение динамики на ось y:
или 
.
Коэффициент пропорциональности можно найти, используя вес точки на поверхности Земли:
, тогда 
.
С учетом этого дифференциальное уравнение имеет вид: 
или 
.
4. Понижаем порядок производной: 
.
5. Делаем замену переменной: 
.
6. Разделяем переменные: 
7. Вычисляем интегралы от обоих частей уравнения:
.
8. Подставляем пределы: 
.
В итоге получаем выражение для скорости как функции от координаты y : 
.
Максимальную высоту полета можно найти, приравнивая скорость нулю:
.
Максимальная высота полета ®¥ при обращении знаменателя в нуль: 
. Отсюда при постановке радиуса Земли и ускорения свободного падения получается II космическая скорость: 
.
Пример 4: сила зависит от скорости. Судно массы m имело скорость 
(рис.5). Сопротивление воды движению судна пропорционально скорости. Определить время, за которое скорость судна упадет вдвое после выключения двигателя, а также пройденное судном расстояние до полной остановки.
|
|
|
1. Выбираем систему отсчета (декартовые координаты) так, чтобы тело имело положительную координату.
| |
2. Принимаем объект движения за материальную точку (судно движется поступательно), освобождаем от связей (воды) и заменяем реакцией (выталкивающей силой – силой Архимеда), а также силой сопротивления движению.
3. Добавляем активную силу (силу тяжести).
4. Составляем основное уравнение динамики: 
5. Проецируем основное уравнение динамики на ось x : 
или 
.
6. Понижаем порядок производной: 
.
7. Разделяем переменные: 
.
8. Вычисляем интегралы от обоих частей уравнения:
.
9. Подставляем пределы интегрирования: 
.
Получено выражение, связывающее скорость и время t, с использованием которого можно определить время движения: 
. Для определения пройденного пути обратимся к выражению, полученному после понижения порядка производной, и сделаем замену переменной:
.
После интегрирования и подстановки пределов получаем: 
. Пройденный путь до остановки: 
.
|
|
|
Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 197; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!