Преобразование измерительных сигналов

Связь между выходным у(t) и входным х(t) сигналами звена описывается уравнением

(3.2.1)

Физические звенья в зависимости от свойств их параметров разделяются на линейные и нелинейные, безинерционные или статические и инерционные или динамические, стационарные с постоянными и нестационарные со случайными параметрами. Любой преобразователь можно представить в виде самой сложной модели - нелинейной, инерционной и нестационарной. В качестве моделей аналоговых преобразователей используются звенья: I) линейное статическое; 2) нелинейное, или функциональное, статическое; 3) линейное инерционное, или динамическое с постоянными параметрами; 4) нелинейное инерционное.

Линейными являются звенья с параметрами, не зависящими от параметров преобразуемого сигнала.

Уравнение линейного статического звена:

(3.2.4)

где - смещение характеристики звена.

Для нелинейного статического звена:

(3.2.5)

Нелинейные статические звенья подразделяются на квазилинейные и функциональные.

Квазилинейные звенья характеризуются незначительной нелинейностью и отклонение действительной характеристики от линейной номинальной является погрешностью от нелинейности, при этом

(3.2.6)

где - погрешность от нелинейности.

Функциональным, или нелинейным, звеньям характерна существенная, нелинейность. В простейшем случае последовательно с нелинейным звеном включают второе нелинейное звено с обратной функцией преобразования f ^-1 . При этом

(3.2.7)

Характерным для измерительной техники примером взаимообратной функции является функция нелинейного измерительного преобразователя показывающего прибора:

(3.2.8)

и функция неравномерной шкалы этого прибора, благодаря которой обеспечивается линейная зависимость между выходными числовыми значениями измеряемой величины X_N и значением входной величины Х :

Тогда (3.2.9)

(3.2.10)

При преобразовании сигнала в инерционных звеньях определение выходного сигнала X_вых( t ) решается с помощью интеграла свёртки или интеграла Дюамеля (рис. 9), который представляется в виде суммы примыкающих прямоугольных импульсов с амплитудами и длительностями

Рис. 9. Представление сигнала в виде суммы импульсов.

Действие на входе звена единичного импульсного сигнала вызовет соответствующий выходной сигнал, равный импульсной характеристике звена - h (t) , удовлетворяющей условиям физической реализуемости и абсолютной интегрируемости.

Суммарный выходной сигнал линейного звена (рис. 9) выражается с помощью интеграла свёртки:

(3.2.11)

При сложных аналитических формах сигнала рекомендуется применять приближённое определение интеграла свёртки, не сопровождающееся потерей информации.

Эта задача решена В.А.Котельниковым для сигналов с ограниченным спектром, т.е. если функция X(t), удовлетворяющая условиям Дирихле (ограничена), кусочно-непрерывна и имеет ограниченное число экстремумов, и обладающая спектром с граничной частотой f_c. , дискретизирована циклически, с периодом . При этом получают ряд Котельникова:

(3.2.12)

где

Принимая во внимание, что комплексный спектр функции X(t) ограничен частотами , непрерывный сигналX(t) может быть представлен суммой произведений мгновенных значений сигнала , взятых с интервалом , на некоторую- функцию времени, называемую функцией отсчётов.

(3.2.13)

График функции отсчётов (рис. 10) обладает следующими свойствами:

- в моменты времени достигает максимума, равного I;

- в моменты времени , где n - любое целое число, равна 0;

- ортогональна на бесконечном интервале времени.

Рис.. 10. График функции отсчётов.

Функция отсчётов представляет собой реакцию идеального фильтра нижних частот на входное воздействие в виде единичной импульсной функции. Длительность цикла дискретизации, составляющая равна интервалу между двумя ближайшими некоррелированными значениями сигнала,

При использовании теоремы Котельникова возникают три принципиальных затруднения.

1) Теорема Котельникова предназначена для сигналов с ограниченным частотным спектром, а реальные сигналы X(t) всегда ограничены во времени и поэтому имеют бесконечный частотный спектр.

2) Дискретизированный реальный сигнал при пропускании его на приемном конце устройства через фильтры нижних частот восстанавливается приближённо.

3) В действительности дискретизированные значения сигнала X(t) практически никогда не являются мгновенными значениями.

Если дискретизированный с шагом сигнал X(t) подать на вход идеального фильтра с верхней границей пропускания f_c., то на выходе получается восстановленный без погрешностей непрерывный сигнал X(t) . Восстановление сигнала рядом Котельникова графически представлено на Рис. II.

Рис. II. Восстановление сигнала рядом Котельникова с помощью функции отсчётов.

Применение теоремы Котельникова позволяет без потери измерительной информации перейти к цифровой форме её представления в определённые моменты времени. При ограниченном частотном спектре функции с частотой среза f_c. для снижения СКО при ступенчатой аппроксимации s_ап до 5% необходима частота дискретизации f_q.=21f_c. , а при линейной f_q.=5.9f_c.. Для снижения s_ап до 0,2% при ступенчатой аппроксимации необходима частота f_q.=510f_c. , а при линейной f_q.=29f_c. Было установлено также, что для многих функций с бесконечным спектром при линейной аппроксимации и заданном значении s_ап=5% достаточна частота дискретизации f_q.=8f_c., а для s_ап=0,2% -- f_q.=(30 - 40)f_c. Приведённые данные показывают, что при выборе частоты дискретизации по теореме Котельникова, погрешности от аппроксимации могут быть значительными даже при относительно сложной линейной аппроксимации.

Весьма значительный выигрыш в уменьшении необходимой частоты дискретизации получается при переходе от ступенчатой аппроксимации к линейной. При параболической аппроксимации необходимая частота дискретизации снижается незначительно.

Одним из применений теоремы Котельникова является определение пропускной способности или потока информации канала связи. Если известно, что верхняя частота частотного диапазона канала равна f_c , а количество информации в каждом отсчёте и при погрешности канала, равной , равно , то пропускная способность канала будет равна

(3.2.14)

ЛЕКЦИЯ 8

Кодирование

Для цифровой обработки результата измерения, передачи результатов измерения и других сообщений по каналам связи применяют кодирование - операцию перевода по определённым правилам формального объекта, выраженного совокупностью кодовых символов одного алфавита, в формальный объект, выраженный символами другого алфавита.

Однако, каждый из символов кодового сигнала может быть искажён с вероятностью , которая одинакова и постоянна, для всех каналов. Предполагая, что основную часть ошибочных комбинаций составляют комбинации с ошибочными символами только в одном из каналов, вероятность того, что в l-канальном кодовом сигнале, состоящем из l символов, из-за действия помех искажён на обратный только один символ

(3.3.1)

При и симметричном законе распределения передаваемых чисел, распределение погрешности от ошибок в передаче закодированных чисел будет симметричным, и среднее её значение будет равно нулю.

Дисперсия погрешности передаваемых равномерно распределённых чисел будет

(3.3.2)

где - дисперсия ошибки передачи каждого символа a_i ;

- при двоичном коде

Тогда

(3.3.3)

Дисперсия погрешности передачи в единицах величины

(3.3.4)

где , если числа, представленные кодом, распределены нормально.

Приведённое значение СКО погрешности от наличия помех в каналах передачи

(3.3.5)

При постоянстве сигнала символа х_с и нормальной симметричной помехе в канале с СКО s_ном вероятность ошибки в каждом канале Р_кан определяется вероятностью превышения х_с мгновенным значением Dх_ном и

(3.3.6)

Например, при ; Р_кан = 6×10^-7; = 0,5×10^-3.

3.4. Математические модели основных типов преобразователей. Модель преобразователя "аналог-аналог".

Преобразователи "аналог-аналог" различного типа выполняют функции первичного преобразования усиления, фильтрации, промежуточного преобразования "напряжение-ток" и "ток-напряжение", преобразования переменного напряжения в постоянное и т.п.

Если рассматривать преобразователь как последовательное соединение безинерционного нелинейного элемента с функцией преобразования j (х) и линейного инерционного элемента с импульсной переходной функцией q(t-t) (модель Халмерштейна), то выходной сигнал преобразователя