ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ИЗЛУЧАТЕЛЬ. ДИПОЛЬ ГЕРЦА

Лекция № 9. Излучение электромагнитных волн

Учебные вопросы лекции:

Электродинамические потенциалы. Калибровка потенциалов.

Элементарный электрический излучатель. Диполь Герца.

Основные параметры, характеризующие элементарный электрический излучатель.

Принцип перестановочной двойственности. Элементарный магнитный излучатель

Введение

В данной лекции рассматриваются вопросы, связанные с излучением электромагнитных полей. Возможность излучения электромагнитных волн, т.е. передачи электромагнитной энергии из некоторой замкнутой области, содержащей сторонние источники, в окружающее пространство, непосредственно вытекает из уравнения баланса электромагнитной энергии. Излучение электромагнитных волн может иметь место только при переменных токах. Экспериментальное подтверждение возможности излучения электромагнитных волн впервые осуществлено опытами Г. Герца. Определяющее значение в использовании этой возможности для практической деятельности человека и, следовательно, для становления современной радиотехники, имело изобретение радио А.С. Поповым в 1895г.

ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ ПОТЕНЦИАЛЫ. КАЛИБРОВКА ПОТЕНЦИАЛОВ

В первом вопросе излагается метод решения задачи об излучении через вспомогательные функции – векторный и скалярный потенциалы.

Сформулируем задачу: пусть в среде, характеризуемой параметрами e_а, m_а и s распределен сторонний ток j_ст. Требуется определить векторы и , удовлетворяющие уравнениям Максвелла.

Для определения векторов поля по заданным источникам обычно применяют искусственный прием: сначала находят вспомогательные функции, а потом через них уже вычисляют векторы и . Эти вспомогательные функции принято называть электродинамическими потенциалами.

Выпишем уравнения Максвелла в комплексной форме с учетом сторонних сил и введем вспомогательные функции.

Используя материальные уравнения, преобразуем 1-ое уравнение Максвелла следующим образом:

Или окончательно:

, (1)

где: - называется комплексной диэлектрической проницаемостью среды.

Для хороших диэлектриков, например воздух, s » 0 и соответственно .

Введем вспомогательную функцию, которую впредь будем называть векторным электродинамическим потенциалом , следующим образом:

. (2)

Отсюда:

. (3)

Подставим (2) во 2-ое уравнение Максвелла:

отсюда:

. (4)

Из курса высшей математики известно, что rot grad любой скалярной величины (обозначим ее как ) равен нулю ( ). Пользуясь этим, введем еще одну вспомогательную функцию – скалярный электродинамический потенциал

. (5)

Тогда из этого выражения получаем:

. (6)

Используя материальные уравнения и выражения (6) определяем вектор электрической индукции:

. (7)

Таким образом, все векторы, характеризующие электромагнитное поле ( и ), выражаются через две вспомогательные функции: . Следовательно, теперь задача состоит в том, чтобы определить эти две функции. Для этого подставим (3) и (6) в первое уравнение Максвелла.

или

Учитывая известное из высшей математики тождество , где: - любая векторная величина, преобразуем полученное выражение следующим образом:

Перегруппируем:

Поскольку - произвольные вспомогательные функции, то зададим их таким образом, чтобы выполнялось условие:

. (8)

Условие (8) получило название условие калибровки Лоренца.

С учетом (8) окончательно получаем:

, (9)

где: – называют волновым числом,

– оператор Лапласа.

Аналогичным образом, подставляя в 3-е уравнение Максвелла уравнение (7), затем учитывая условие калибровки Лоренца и известное тождество , где: – некая скалярная величина, после несложных преобразований получим:

. (10)

Таким образом, мы получили два неоднородных дифференциальных уравнения 2-го порядка для функций . Среди множества решений выбирается то, которое удовлетворяет условию калибровки (8), и затем уже с помощью (2, 3, 6 и 7) определяются векторы электромагнитного поля.

Опуская в виду громоздкости строгий вывод решения неоднородных дифференциальных уравнений (9) и (10) приведем лишь конечный результат решения этих уравнений:

, (11)

, (12)

где: V – область пространства, содержащая сторонние источники; r – расстояние от источника до точки наблюдения (см. рис. 1).

Рис. 1 – К пояснению выражений для электродинамических потенциалов

ЭЛЕМЕНТАРНЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ИЗЛУЧАТЕЛЬ. ДИПОЛЬ ГЕРЦА

В этом вопросе вводится понятие элементарного электрического излучателя электромагнитных волн, и исследуются его основные характеристики.

Рассмотрим простейший излучатель электромагнитных волн в виде короткого отрезка провода. Дадим определение:

Элементарным электрическим излучателем (вибратором) называют отрезок провода, вдоль которого течет переменный ток I_ст с постоянной амплитудой I_ст_m = const, причем длина l этого проводника значительно меньше излучаемой длины волны l.

Представим ток I_ств комплексной форме:

Применим к отрезку провода, по которому протекает ток I_ст, закон сохранения заряда

или: I_ст_m = –jwQ_m, т.е. амплитуда изменения заряда в проводе пропорциональна изменению в нем амплитуды тока. Поскольку по условию, амплитуда тока вдоль провода – постоянна, то изменение будет происходить лишь на концах этого провода. Следовательно, элементарный электрический вибратор по своей сути представляет электрический колеблющийся диполь (см. рис. 2). Малость длины l излучателя по сравнению с длиной волны l позволяет рассматривать его как точечный источник электромагнитных волн. Отметим, что первый искусственный излучатель, который использовал в своих опытах Герц, представлял собой два металлических шара, перезаряжаемые с высокой частотой индукционной катушкой (см. рис. 3), т.е. являлся ни чем иным как колеблющимся диполем. Данный излучатель получил название диполя Герца.

Рис. 2 – Эквивалентность элементарного электрического излучателя и колеблющегося диполя

Рис. 3 – Диполь Герца

Перейдем теперь к анализу элементарного электрического вибратора. Определим векторы напряженности электрического и магнитного поля при заданном источнике сторонних сил . Для этого вычислим вначале вспомогательную функцию – векторный электродинамический потенциал , используя (11):

(13)

Расположим элементарный электрический вибратор в сферической системе координат (см. рис. 4).

Рис. 4 – Расположение вибратора в сферической системе координат

Возьмем поле произвольную точку М с координатами r – радиус-вектор, j – азимутальный угол и q – полярный (зенитный или нормальный) угол. Теперь с помощью (3) определим в этой точке напряженность магнитного поля электрического излучателя:

Вычисление операции rot проводим в сферической системе координат. Из векторной математики известно, что операция rotв сферической системе координат некой векторной величины выражается через определитель:

где: – единичные векторы.

Обратив внимание в (13) на то, что зависит только от r (и не зависит от j и q), в результате получим:

(14)

Величину напряженности электрического поля вне области содержащей источники сторонних сил проще всего определить из 1-го уравнения Максвелла (причем будем полагать, что среда в этой области хороший диэлектрик, s » 0):

Отсюда: .

Раскрывая операцию rot в сферической системе координат получим:

(15)

Анализ уравнений (14) и (15) показывает, что имеются три не равные нулю компоненты поля: радиальная и нормальная составляющие электрического поля, азимутальная составляющая магнитного поля, что каждая компонента поля состоит из трех сомножителей: первого – постоянного независящего от направления на точку наблюдения, второго – фазового множителя и третьего множителя, зависящего от направления на точку наблюдения.

Из полученных уравнений (14) и (15) несложно заметить, что составляющие электромагнитного поля электрического излучателя зависят от расстояния r. Вследствие этого принято различать ближнюю и дальнюю зоны излучателя.

Рассмотрим поле в ближней зоне:

Этот случай характеризуется тем, что расстояние r от излучателя значительно меньше длины излучаемой волны l, т.е. r << l.

Поскольку волновое число:

где: – скорость света; e, m – относительная диэлектрическая и магнитная проницаемости воздуха (равные единице), то условие r << l означает что:

Тогда из (11) и (15) получаем следующие комплексные значения составляющих электромагнитного поля в ближней зоне

                                    (16)

Перейдем от комплексных значений к мгновенным, (т.е. возьмем вещественную часть от приведенных выражений)

            (17)

На основании уравнений (17) можно отметить следующие основные свойства электромагнитного поля элементарного электрического излучателя в ближней зоне:

1) Составляющие электромагнитного поля убывают от расстояния r по разному, амплитуда электрического поля по закону 1/r³, амплитуда магнитного – как 1/r².

2) Поскольку sin(wt) = cos(wt - p/2), то это означает, что электрические и магнитные поля сдвинутся во времени по фазе на 90⁰.

3) Определим вектор Умова-Пойнтинга излучателя в ближней зоне (т.е. плотность потока мощности, выходящую сквозь замкнутую поверхность S вокруг вибратора). Из (17) следует, что вектор Умова-Пойнтинга будет иметь две составляющие:

и   .

Мгновенные значения:

Отсюда видно, что обе составляющие вектора Пойнтинга изменяются во времени по закону sin(2wt), т.е. принимает как положительные так и отрицательные мгновенные значения. Очевидно, что среднее значение составляющих вектора П за период колебаний Т будет равно нулю. Это означает, что движение энергии ближнего поля имеет колебательный характер – в течении четверти периода Т (поскольку 2w) энергия движется в одном направлении, в течении следующей четверти периода энергия движется в противоположном направлении.

Вывод: Таким образом, ближнее электромагнитное поле не участвует в процессе излучения и имеет характер квазистационарного поля.

Так электрические компоненты поля и в выражении (17) представляет собой квазистатическое электрическое поле, меняющееся синхронно с изменением зарядов на концах вибратора, но по структуре идентичное статическому полю, описываемому законом Кулона. В свою очередь магнитная компонента поля представляет собой квазистационарное, индукционное магнитное поле, поскольку отличается от магнитного поля отрезка проводника с постоянным током, определяемого законом Био-Савара, лишь множителем.

Поясним сказанное рис. 5 на примере струны закрепленной на бесконечности.

Рисунок 4.5 - Пример, поясняющий характер процесса в "ближней" и "дальней" зоне.

Из рис. 5 видно, что относительно распространения волны (ось z) в ближней зоне преобладает колебательный характер, тогда как в дальней зоне – волновой характер. Ближнюю зону называют также зоной индукции.

Рассмотрим теперь поле в дальней зоне. Этот случай характеризуется тем, что r >> l, и соответственно, kr >> 1. Используя это, можно записать что:

Тогда из (14) и (15) получаем следующие комплексные значения составляющих электромагнитного поля в дальней зоне:

(18)

Перейдем от комплексных значений к мгновенным:

. (19)

Исходя из (19) отметим следующие основные свойства электромагнитного поля элементарного электрического излучателя в дальней зоне:

1) Амплитуды электрического и магнитного полей убывают одинаково по закону 1/r;

2) Электрическое и магнитное поля изменяются в одинаковой фазе (колеблются синфазно):

(wt – kr) = w(t – r ) = w(t – r ) = w(t – r ) = w(t – ) , (20)

где: - называют фазовой скоростью.

3) Вектор Умова-Пойнтинга в дальней зоне имеет только одну составляющую: .

Мгновенное значение:

Re = Е_q_m cos(wt – kr)H_j_m cos(wt – kr) = E_q_mH_j_m cos²(wt – kr).

Таким образом, мгновенное значение вектора Умова-Пойнтинга всегда оказывается положительным. Это в свою очередь означает, что энергия движется только в одном направлении – от излучателя и поэтому представляет собой энергию излученной электромагнитной волны.

4) Вернемся к фазе составляющих электромагнитного поля излучателя (wt – kr) = w(t – r/u). Заметим, что она зависит как от времени t, так и от расстояния r. Из курса общей физики известно, что любой процесс, описываемый уравнением вида: А = Аmcos(х) есть волновой процесс. Следовательно, исходя из (19) заключаем, что электромагнитное поле в дальней зоне представляет собой электромагнитную волну, изменяющуюся во времени и в пространстве. Причем векторы и лежат перпендикулярно к направлению распространения r (т.к. у них индексы q и j), находятся в фазе и взаимно перпендикулярны друг к другу (см. рис. 6).

Рис. 6 – Взаимное расположение векторов в дальней зоне

В ряде случаев между ближней и дальней зоной вводят еще одну зону. Под промежуточной зоной поля излучения понимается область пространства вокруг излучателя, характеризуемая расстояниями, соизмеримыми с длиной излучаемой волны. Тогда ни одним слагаемым в системе уравнений (14) и (15) пренебречь нельзя.

Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 1919; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 3 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!