Устойчивость состояний равновесия: критерий Сильвестра

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 3Следующая ⇒

По Ляпунову: Устойчивое состояние равновесия системы такое, когда при малом начальном отклонении системы все ее точки будут двигаться не уходя от положения равновесия далее наперед заданного расстояния.

Критерий Сильвестра:

Система находится в положении устойчивого равновесия, если квадратичная формула потенциальной энергии этой системы положительна, что возможно в том случае, если все главные диагональные миноры матрицы квадратичной формы и положительны.

Общее уравнение динамики

(1) – общее уравнение динамики

Уравнение (1) запишем в виде:

- общее уравнение динамики – принцип Доломбера - Лагранжа:

При движении механической системы с идеальными связями работа всех активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю.

Кинетическая энергия в обобщенных координатах

Для нестационарных связей радиус – вектор зависит от всех обобщенных координат и времени t.

; ;

(1)

i=1,2,…,s

В пустых скобках выражение (1)

В общем случае кинетическую энергию материальной системы можно представить суммой квадратичной , линейной и нулевой форм относительно обобщенных скоростей.

- нулевая ступень обобщенных скоростей

- линейная функция обобщенных скоростей

- квадратичная степень обобщенных скоростей

Для стационарных связей:

Одна степень свободы:

Две степени свободы:

Уравнение Лагранжа II рода

Из формулы :

Связи идеальные:

Силы только потенциальны:

(кинетический потенциал, функция Лагранжа)

Обыкновенное однородное ДУ 2-го порядка (с нулевой правой частью):

“2S”

Число уравнения равно числу степеней свободы.

Виртуальная работа

Виртуальная работа – работа сил на виртуальных перемещениях системы

Пусть система материальных точек занимает в некоторый момент

времени t какое-то положение. Обозначим через F_k силы, приложенные к точкам системы. Из данного положения при фиксированном времени t, сообщим системе виртуальное перемещение δr_k. Будем считать, что на этом перемещении силы F_k_,приложенные к системе, не изменяются.

Составим сумму работ этих сил на вирт. перемещении δr_k

14. Интеграл движения: обобщенный интеграл движения

f (где С - константа)

Интеграл системы уравнений (1), или интегралом движения, или первым интегралом, если при подстановке вместо решений системы (1), функция f обращается в константу.