Признаки делимости на 2, на 5 и на 10

      Натуральные числа делятся на чётные числа и нечётные числа.

      Цифры 0, 2, 4, 6, 8 называют чётными цифрами.

      Числа, запись которых оканчивается чётными цифрами, называют чётными числами.

      Например, числа 10, 12, 24, 36, 58, ... – чётные числа.

      Цифры 1, 3, 5, 7, 9 называют нечётными цифрами.

      Числа, запись которых оканчивается нечётными цифрами, называют нечётными числами.

      Например, числа 11, 33, 45, 57, 79, ... – нечётные числа.

      Признак делимости на число 2: Все натуральные числа, запись которых оканчивается чётной цифрой, делятся на 2.

      Например, 18 : 2 = 9, 104 : 2 = 52, 1 376 : 2 = 688.

      Признак делимости на число 5: Все натуральные числа, запись которых оканчивается цифрой 0 или цифрой 5, делятся на 5.

      Например, 125 : 5 = 25, 220 : 5 = 44, 1 000 : 5 = 200.

      Признак делимости на число 10: Все натуральные числа, запись которых оканчивается цифрой 0, делятся на 10.

      Например, 30 : 10 = 3, 120 : 10 = 12, 1 070 : 10 = 107.

      Так как 10 = 2 ∙ 5, то все числа, которые делятся на 10, делятся и на 2, и на 5.

 

Признаки делимости на 3 и на 9

      Признак делимости на число 3: Если сумма цифр натурального числа делится на 3, то и число делится на 3.

      Пример 1. Число 654 делится на 3, так как сумма цифр числа 654 равна 6 + 5 + 4 =15. Тогда 654 : 3 = 218.

      Пример 2. Число 437 не делится на 3, так как сумма цифр числа 437 равна 4 + 3 + 7= 14. А число 14 не делится на 3.

      Признак делимости на 9: Если сумма цифр натурального числа делится на 9, то и число делится на 9.

       Пример 3. Число 576 делится на 9, так как сумма цифр числа 576 равна 5 + 7 + 6 = 18. Тогда число 576 делится на 9. 576 : 9 = 64.

      Пример 4. Число 289 не делится на 9, так как сумма цифр числа 289 равна 2 + 8 + 9 = 19. А число 19 не делится на 9.

      Так как число 9 делится на 3, все числа, которые делятся на 9, также делятся на 3.

 

Простые и составные числа

     Натуральное число, которое делится только на 1 и на себя, называется простым числом.

  Существует только одно чётное простое число, это 2.              

     Натуральное число, которое имеет более двух различных делителей, называется составным числом.

  Натуральное число 1 имеет только один делитель: само число 1.

  Поэтому число 1 не является ни простым числом, ни составным.

 

Наибольший общий делитель. Взаимно простые числа

      Делители числа 18: 1, 2, 3, 6, 9, 18; делители числа 30: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.

Общие делители чисел 18 и 30: числа 1, 2, 3, 6. Наибольшим из них является число 6, которое является наибольшим общим делителем  чисел 18 и 30.

       Его обозначают так: НОД (18; 30) = 6.     

      Наибольшим общим делителем данных натуральных чисел называют наибольшее натуральное число, на которое делится каждое из этих чисел.

      Пример 1. Найдем наибольший общий делитель чисел 8, 14 и 22.

 

Решение.

      Делители числа 8: 1, 2, 4, 8; делители числа 14: 1, 2, 7, 14; делители числа 22: 1, 2, 11, 22.

      Общими делителями чисел 8, 14 и 22 являются: 1 и 2. Наибольшим общим делителем является число 2. НОД (8; 14; 22) = 2.

      Пример 2. Найдём наибольший общий делитель чисел 25 и 12.

Решение.

      Делители числа 25: 1, 5, 25; делители числа 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12.

Общим делителем чисел 25 и 12 является только одно число – число 1.

НОД (25;12) =1.

      Два или более натуральных числа, которые имеют только один общий делитель – единицу, называют взаимно простыми числами.

      Например, числа 7 и 11, 8 и 15, 4 и 19 являются взаимно простыми числами.

      Если наименьшее из чисел является делителем остальных чисел, это число является наибольшим общим делителем данных чисел.

      Наибольший общий делитель данных чисел можно найти путем разложения этих чисел на простые множители. Для этого надо:

      1) разложить данные числа на простые множители;

      2) выписать общие простые множители;

      3) вычислить произведение полученных простых множителей.

      Наибольший общий делитель данных чисел равен произведению общих простых множителей в разложениях этих чисел.

      Пример 3. Найдём наибольший общий делитель чисел 18, 24 и 36 с помощью разложения данных чисел на простые множители.

      18 = 2 ∙ 3 ∙ 3;         24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3;      36 = 3 ∙ 3 ∙ 2 ∙ 2.

      Общим множителем в разложении данных чисел 2 и 3, а их произведение:

2 ∙ 3 = 6. Следовательно, НОД (18; 24; 36) = 6.

 

Наименьшее общее кратное

      Числа, кратные 4: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, ... ,

      числа, кратные 6: 6, 12, 18, 24, 30, 36, … .

Найдём среди этих кратных числа, которые являются кратными и числу 4 и числу 6, т.е. общие кратные. Ими являются: 12, 24, 36, … . Наименьшее среди них – число 12. Следовательно, наименьшим общим кратным данных натуральных чисел 4 и 6 является число 12.

      Наименьшим общим кратным данных натуральных чисел называют наименьшее натуральное число, кратное каждому из данных чисел.

      Наименьшее общее кратное чисел 4 и 6 – число 12.

      Его обозначение: НОК (4; 6) = 12.                                                                                             

Способы нахождения наименьшего общего кратного.

      Способ 1. Нахождение наименьшего общего кратного данных натуральных

        чисел путём разложения этих чисел на простые множители. Для этого надо:

      1) разложить данные натуральные числа на простые множители;

      2) выписать множители, входящие в разложение одного из них (наибольшего),

и дополнить их недостающими множителями из разложений остальных чисел;

      3) найти произведение полученных множителей. Это произведение является наименьшим общим кратным данных натуральных чисел.

      Пример 1. Нужно найти НОК (50; 28).

                        Разложим числа 50 и 28 на простые множители:

                        50 = 2 ∙ 5 ∙ 5;                   28 = 7 ∙ 2 ∙ 2.

      НОК (50; 28) = (2 ∙ 5 ∙ 5) ∙ 2 ∙ 7;      НОК (50; 28) = 700.

      Если наибольшее число из данных натуральных чисел является кратным остальных чисел, то это наибольшее число будет наименьшим общим кратным данных чисел.

      Например, НОК (57; 19) =57;       НОК (8; 16; 32) = 32.

      Наименьшее общее кратное двух взаимно простых чисел равно произведению этих чисел.

      Например, НОК (5; 7) = 35; НОК (3; 11) = 33; НОК (10; 21) = 210.

      Способ 2. Нахождение наименьшего общего кратного путём увеличения в несколько раз наибольшего числа.

      Пример 2. НОК (12; 16) = 48; 16 ∙ 2 =32; 32 на 12 не делится нацело, 48 : 12 = 4.

 

Окружность и круг

      Окружность – множество точек плоскости, каждая из которых удалена на одинаковое расстояние от одной точки, называемой центром окружности.

      Отрезок, соединяющий любую точку окружности с центром окружности, называется радиусом.

      Отрезок, соединяющий две точки окружности и проходящий через центр, называется диаметром.                    D = 2 R.

      Длина окружности вычисляется по формуле: C = 2π R = π D.

      Часть плоскости, находящаяся внутри окружности, называется кругом.

      Площадь круга вычисляется по формуле: S = π R .

 

Обыкновенные дроби

          Обыкновенные дроби: ; ; ; ; ; ; .

      Обыкновенная дробь = . Знаменатель дроби говорит о том, на сколько равных частей что-то поделили, а числитель дроби говорит о том, сколько таких равных частей взяли.

      

---

Дата добавления: 2018-05-12; просмотров: 287; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

---

Мы поможем в написании ваших работ!