Електрон у полі періодичного потенціалу

⇐ ПредыдущаяСтр 63 из 70Следующая ⇒

Характерною рисою твердих тіл є їх періодична будова або трансляційна симетрія. Кожний кристал складається із просторово відтворених елементарних комірок. Елементарні комірки можуть складатися з однієї або декількох молекул, атомів та іонів. Комірки не заряджені, тобто електрично нейтральні. Завдяки трансляційній симетрії кожній точці будь-якої елементарної комірки можна зіставити еквівалентну точку іншої елементарної комірки. Положення еквівалентних точок у кристалі характеризується вектором її ґратки

де не комплементарні вектори періодів основних трансляцій ґратки, а - довільні цілі числа. Паралелепіпед, побудований на векторах , називається елементарною (примітивною) коміркою кристала. Кристалічна комірка найменшого об'єму називається елементарною коміркою.

Періодична будова кристала впливає на властивості квазічастинок у ньому, наприклад, через самоузгоджений потенціал в одноелектронному наближенні. Вибір потенціалу це складна задача, яка розв'язується за допомогою різних наближень: сильного або слабкого зв'язків тощо. Проте, незалежно від конкретного різновиду потенціалу він повинен бути в кристалі періодичною функцією

(20.2)

де - період його кристалічної ґратки.

Можна показати, що розв’язок рівняння Шредінґера (20.1) з періодичним потенціалом (20.2) має вигляд періодичних власних хвильових функцій:

. (20.3)

Тут , (20.4)

а - деякий сталий вектор.

Дійсно, після трансляційного перетворення на період ґратки потенціал не змінюється, й рівняння Шредінґера (20.1) залишається інваріантним. Тому його власна хвильова функція може змінитись на фазовий множник

, (20.5)

де . (20.6)

Після другого трансляційного перетворення з періодом маємо

. (20.7)

З іншого боку

. (20.8)

Порівнюючи (20.7) з (20.8), знаходимо

. (20.9)

Функція, що задовольняє умовам (20.6) і (20.9), має вигляд:

, (20.10)

де - деякий сталий вектор. Функція не змінюється, якщо до вектора додавати , де - ціле число:

. (20.11)

Функція (20.3) називається функцією Блоха, а - її амплітудою, модуль квадрата якої характеризує густину ймовірності знаходження електрона в точці кристала з радіус- вектором . Таким чином, амплітуда функції Блоха описує квазічастинку - електрон, який належить усьому кристалу. Оскільки вона періодична (20.4), то її обчислюють у межах однієї елементарної комірки кристалу. А для визначення хвильової функції всього кристала її потрібно помножити на фазовий множник . Функція Блоха нагадує хвильову функцію вільного електрона:

, (20.12)

де - хвильовий вектор, що визначає імпульс і енергію Е електрона відповідно:

(20.13)

Тому вектор функції Блоха називається хвильовим вектором квазічастинки-електрона в кристалі. Він визначає квазіімпульс електрона в кристалі. На відміну від імпульсу вільного електрона квазіімпульс електрона в кристалі визначається неоднозначно. Стани в кристалі виявляються тотожними у яких вектор (або ) відрізняється на , де - ціле число (20.11).

Хвильовий вектор (або квазіімпульс ) електрона в кристалі визначає фазу хвильової функції. Коли - дійсна величина, то функція Блоха (20.3) буде хвилею, що біжить (біжуча хвиля), модульованою з періодом, що збігається з періодом ґратки. Вона поширується в кристалі без затухання. Густина ймовірності , щоб знайти електрон, має однакову величину в кожній комірці кристала. Отже, поки зберігається ідеальна періодичність, колективізований електрон не розсіюється й має нескінченну довжину вільного пробігу в кристалі. Розсіяння відбувається, коли електрон зіштовхується з дефектами ґратки, поверхнею кристала та фононами. Коли хвильовий вектор уявний , то хвильова функція необмежено затухає для одного з напрямків реального простору

. (20.14)

Це означає, що квазічастинка – електрон, що має уявне значення хвильового числа , не може розповсюджуватись у цьому напрямку кристала. Для уявних - це заборонені області енергій для руху колективізованих електронів. Таким чином, система енергетичних рівнів у кристалірозбивається на дозволені й заборонені зони енергетичних рівнів.

Модель Кроніга – Пені

Вплив періодичного потенціалу на енергетичний спектр розглянемо за допомогою одновимірного потенціалу у вигляді системи прямокутних потенціальних бар'єрів, які зображені на рис.20.2.

Рис.20.2. Періодичний потенціал моделі Кроніга-Пені.

Стаціонарні стани електрона з енергіями меншими висоти бар'єра описуються рівнянням Шредінґера

. (20.15)

Його розв’язки для областей 1 і 2 (рис.20.2) мають вигляд:

(20.16)

де і . (20.17)

Тоді для областей 1 і 2 отримуємо такі функції Блоха:

. (20.18)

Функції і та їхні похідні повинні бути неперервними в місцях змін потенціалу, тобто в точках і

(20.19)

Після підстановки і з (20.18) у (20.19), отримаємо 4 рівняння для довільних сталих А, В, С і D. Ця система рівнянь має не нульове рішення, коли її детермінант рівний нулю. Після алгебраїчних перетворень отримаємо рівняння, з якого визначимо закон дисперсії – залежність

Рис.20.3. Залежність правої частини рівняння (20.20) від та дозволені (заштриховані I,II,III,IV) й заборонені зони (б).

. (20.20*)

Для вузьких і високих бар'єрів коли залишається скінченим, закон дисперсії (20.20*) спрощується й набуває вигляду:

, (20.20)

де визначається за формулою (20.17). Трансцендентне рівняння (20.20) можна розв'язати графічно. На рис.20.3 наведена права частина рівняння (20.20) , де . Його ліва частина не може бути більшою ±1. Тому, коли , то хвильовий вектор дійсний, а коли , то він уявний. Таким чином, значення розбиваються на області дійсних і уявних значень хвильового вектора , тобто енергетичний спектр електронів розбивається на дозволені зони (заштриховані I,II,III,IV), де - дійсний вектор, і заборонені зони, де - уявний вектор.

Рис. 20.4. Енергетичний спектр електронів у моделі Кроніга – Пені (розширені зони) для одновимірного кристала (а) та дозволені й заборонені зони (б).

На рис. 20.4 наведена дисперсійна залежність , отримана в цій моделі. В її точках , де - цілі числа, виникає розрив енергії, що вказує на появу заборонених зон.

Цей факт свідчить, як буде показано в наступному розділі, що розриви залежності ( ) в точках , внаслідок чого з’являються зони, пов'язані із хвильовими властивостями електронів. За цих умов відбувається відбиття квазічастинкових - електронних хвиль через дифракцію на періодичній структурі потенціального бар'єра. Ширини заборонених зон зменшуються, а дозволених збільшуються для зон із більшими Е і відповідно. У межах дозволеної зони дисперсійна крива неперервна, але вона відрізняється від дисперсійної кривої вільного електрона. При збільшенні висоти бар'єрів ширини дозволених зон зменшуються, і їх сукупність збігається із дискретними енергетичними рівнями для окремих потенціальних ям.

Зони Бріллюена

Розриви енергетичного спектра, що призводять до утворення заборонених зон, мають місце при умові

, (20.21)

де - ціле число. Підставимо у (20.21) значення через довжину хвилі де Бройля Тоді умова розриву зон стає подібною до формули Вульфа - Брегга для одновимірної ґратки при має вигляд

. (20.22)

Рис. 20.5. Перші зони Бріллюена кристалів: а) – одновимірного,

б) – квадратного, в) – кубічного.

Отже, розрив зон виникає, коли замість біжучої електронної хвилі виникає стояча хвиля внаслідок дифракції Брегга на періодичній структурі кристалу. Електрон із хвильовим вектором знаходиться значний час біля атомних залишків або знаходиться в просторі між ними. Області значень хвильових векторів квазічастинок-електронів (рис.20.5.а), у межах яких енергія електрона змінюється майже неперервно, а на її границях відбувається розрив, називаються зонами Бріллюена. Для одновимірної ґратки (рис.20.5) перша зона Бріллюена знаходиться при - , друга - при - і і т. д. Усі зони Бріллюена для одновимірної ґратки мають однакову протяжність, що дорівнює . Вони можуть бути побудовані не тільки для одновимірної ґратки, але й для

двовимірних і тривимірних ґраток, і мають у цьому випадку також рівні площі, або об'єми для всіх зон Бріллюена (рис.20.5). Для трьохвимірних кристалів границі зон Бріллюена – це замкнені багатогранні поверхні, що знаходяться одна в іншій.

На рис.20.6 наведені контури дисперсійних залежностей для 1-ї та 2-ї зон Бріллюена для квадратної ґратки. При наближається до квадратичного закона дисперсії, тобто контури стають коловими. Але біля границь зони Бріллюена залежності стають більш складними і мають розрив, який відповідає забороненій зоні. Картина повторюється і в 2-й і ще більш високих зонах Бріллюена.

Рис.20.6. Перша та друга зони Бріллюена квадратної ґратки: а) – діелектрика, б) – одновалентного металу з незаповненою електронами 1-ю зоною, в) – двохвалентного металу, г) – ділянка залежності Лініями наведені контури станів з сталою енергією в еВ.

Коли електронні стани в 1-й зоні Бріллюена заповнюються електронами (рис.20.6.а), то внаслідок розриву енергії на границі зони електрони при низьких температурах не зможуть переходити на незаповнені рівні 2-ї зони. Цей випадок характерний для діелектриків. Коли 1-ша зона Бріллюена наполовину заповнена електронами (рис.20.6.б,в) або перекривається з 2-ю не заповненою зоною (рис.29.6.в), то цей випадок характерний для металів. Контур , що розділяє заповнені і незаповнені стани в металі відповідає рівню Фермі.

Крім розширеної схеми зон (рис.20.4) використовують схему приведених зон. Виявляється, що хвильова функція (20.18) і функція Блоха (20.12) періодично змінюються з періодом . Ця обставина дозволяє переносити ділянки дисперсійної залежності на величину до області значень квазіімпульсу першої зони Бріллюена, тобто до області значень . Схема приведених зон наведена на рис. 20.12.

Заповнення зон електронами

Рис. 20.7. Енергетичні зони залежно від r - міжатомної відстані. Зона 1s розташована при – 63,4 еВ.

Вже вказувалось, що внаслідок взаємодії атомів кожний їхній енергетичний рівень розщеплюється на близьких підрівнів.[42]

На кожному із підрівнів, згідно принципу Паулі, може знаходитись не більше двох електронів з протилежними спінами.

Таким чином, кожний енергетичний рівень ізольованого атома перетворюється на зону енергетичних рівнів кристала. Відстані між енергетичними рівнями в межах однієї зони значно менші відстаней між енергетичними рівнями різних зон (рис.20.7-20.9), хоча іноді різні зони перекриваються.

На кожному енергетичному рівні атома може знаходитись лише скінчена кількість електронів, яка визначається його квантовими числами. Наприклад, на - рівні може знаходитись 2 електрона, на р - рівні 6 електронів, на - рівні - 10 електронів і т. д. Тому в зонах, що походять від різних атомних рівнів, може знаходитись лише скінчена кількість електронів: в - зоні, в - зоні тощо. Окремі атомні рівні не завжди повністю заповнені, що створює умови для появи не повністю заповнених зон у кристалах (рис.20.7-20.9).

Рис. 20.8. Утворення енергетичних зон при стисненні атомів , , (алмаз) і ( i ). У Li один валентний електрон утворює напівзаповнену зону, у Ве заповнена зона від електронів перекривається з не заповненою зоною від електронів, тому і – метали. У між зонами від і електронів утворюється широка заборонена зона, у електрон переходить у зону , і між зонами виникає широка заборонена зона, тому і – діелектрики.

Тому в кристалах можуть утворюватись заповнені, частково заповнені й не заповнені зони. Зона, що утворюється в результаті розщеплення енергетичних рівнів, на яких знаходяться валентні електрони, називається валентною зоною.

Якщо б для електронів не враховувати принцип Паулі, то не виникало б різниці між металами й діелектриками. Принцип Паулі обмежує заповнення енергетичних рівнів і зон електронами, і тим самим створює різницю в заповненні енергетичних зон металів і діелектриків: метали мають напівзаповнені зони, а діелектрики - заповнені та не заповнені зони, розділені енергетичним інтервалом який називається забороненою зоною. У заборонену зону не потрапляє жодна з гілок енергетичного спектра квазічастинок .

У залежності від заповнення валентної зони тверді тіла мають

Рис. 20.9. Заповнення зон металів діелектриків (C-алмаз) і напівпровідників . – заборонена зона, – рівень Фермі.

різні електричні властивості. Тверді тіла поділяються на дві великих групи: металів і діелектриків. У металах валентна зона неповністю заповнена електронами або вона перекривається з іншою не заповненою зоною (рис.20.7, 20.8 і 20.9). Її заповнення електронами має місце при нульовій температурі до енергії, котра називається енергією або енергетичним рівнем Фермі . У діелектриках між повністю заповненою валентною зоною й не заповненою зоною знаходиться заборонена зона Найближча до валентної зони не заповнена зона називається зоною провідності. Метали проводять електричний струм, а діелектрики не проводять. Між цими двома групами речовин виділяють широкий клас речовин із менш широкою забороненою зоною, які називаються напівпровідниками. При низьких температурах вони схожі на діелектрики, а при підвищених температурах частина електронів із валентної зони збуджуються в зону провідності, внаслідок чого вони проводять струм. Стає зрозуміло, що поділ речовин на діелектрики й напівпровідники досить умовний.

Густина станів

Кожна зона має свій енергетичний спектр - залежність енергії квазічастинок від квазіімпульсу яку також називають дисперсійною залежністю. Дисперсійна залежність визначає таку важливу характеристику твердих тіл як густина станів Густиною станів називається кількість можливих фізично нееквівалентних енергетичних станів у малому інтервалі енергій у одиниці об’єму, віднесеному до ширини інтервалу :

, (20.23)

де - кількість станів з енергіями в інтервалі від до з урахуванням виродження , де - спін частинки в одиницях h (для електронів тому ).

Так як квазічастинки підкоряються законам квантової механіки, то відповідно до співвідношення невизначеності вони займають у фазовому просторі скінченний об’єм:

або

(20.24)

де - об’єм, у якому квазічастинка вільно рухається. Для визначення у формулі (20.23) потрібно знайти кількість елементарних фазових комірок в інтервалі квазіімпульсів від до і помножити їх на - кількість спінових станів квазічастинки в елементарній фазовій комірці.

Виберемо у фазовому просторі дві ізоенергетичні поверхні - поверхні з , які відрізняються за енергією на величину Виберемо на одній з ізоенергетичних поверхонь малу площу . Об’єм, обмежений і цими поверхнями, визначиться інтегралом:

, (20.25)

де - найкоротша відстань між двома ізоенергетичними поверхнями. Якщо цей об'єм поділити на об'єм елементарної комірки у фазовому просторі (формула (20.24)) і помножити на виродження - можливу кількість спінових станів у комірці то отримаємо густину станів, віднесену до одиниці об’єму

. (20.26)

Формула (20.26) показує, що густина станів залежить від дисперсії

Для майже вільних станів квазічастинок – електронів має місце квадратичний закон дисперсії , для якого , а у сферичній системі координат дорівнює Після інтегрування по від 0 до та по від 0 до остаточно отримаємо таку формулу для густини станів:

. (20.27)

Для металів густина станів у наближенні квазівільних електронів залежить від їхньої енергії за формулою (20.27). Ці стани заповнюються електронами при до енергії Фермі, як це показано на рис.20.10. Інтеграл густини станів по всім енергіям від 0 до енергії

Рис. 20.10. Залежності у металі в наближенні квазівільних електронів: а) , б) ; – густина станів, - функція Фермі.

Фермі дає - повну кількість електронів у металі, що дозволяє зв’язати з енергією Фермі :

. (20.28)

Енергетичний розподіл електронів у твердих тілах можна досліджувати за допомогою вимірювання тонкої протяжної структури країв рентгенівських спектрів поглинання (§14.2), а також рентгенівських спектрів випромінювання. На рис.20.10.б зображена схема енергетичних рівнів у кристалі натрію. Стрілками на ньому позначені можливі електронні переходи з К рівня на вільні, не заповнені електронами рівні, які знаходяться вище рівня Фермі.

Рис. 20.11. Рентгенівський спектр випромінювання

(а) та його енергетичні рівні (б).

Розподіл інтенсивності рентгенівських спектрів, які утворюються цими переходами, пропорційний густині не заповнених електронних станів. Приклад такого розподілу показаний на рис.20.11.а. Видно, що поблизу енергії Фермі розподіл електронів у зоні провідності зростає приблизно пропорційно , як і для випадку вільних частинок, але на дні зони провідності при малих спостерігаються відхилення.

Дата добавления: 2018-05-09; просмотров: 383; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 58 59 60 61 626364 65 66 67 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!