Дослідження функції та побудова графіка
Загально відомою є схема дослідження функції для побудови графіка:
1) знайти область визначення функції та множину її значень;
2) дослідити функцію на парність та непарність, періодичність;
3) знайти точки перетину графіка функції з осями системи координат, точки розриву, проміжки знакосталості функції;
4) дослідити поводження функції біля точок розриву та на нескінченності, знайти якщо вони є, асимптоти графіка;
5) знайти нулі та точки розриву похідної, інтервали монотонності функції, точки екстремуму та екстремальні значення функції;
6) знайти нулі та точки розриву другої похідної, інтервали опуклості графіка функції, точки перегину та значення функції в цих точках;
7) для побудови графіка необхідно знайти достатню кількість контрольних точок, через які він проходить.
Зауважу, що на практиці не завжди є потреба досліджувати функцію за наведеною схемою і в такій саме послідовності.
Так, наприклад, множину значень деяких функцій можна встановити лише після знаходження екстремальних значень функції та її поводження біля точок розриву і на нескінченності.
Можна спочатку знайти нулі функції. Якщо вони розташовані не симетрично відносно нуля, то функція не може бути ні непарною, ні парною, ні періодичною. Такий же висновок можна зробити у випадку, коли функція має область визначення не симетричну відносно нуля, то, зрозуміло, що з такого факту ми не можемо робити висновок про парність або непарність. Проте, якщо нулі функції симетричні відносно нуля, але їх число скінчене, то вона не є періодичною.
|
|
Не може бути функція ні парною, ні непарною, ні періодичною, якщо нулі першої або другої похідних розміщені несиметрично відносно нуля.
Аналогічно можна зробити висновок і з несиметричного розміщення точок розриву.
Для складних функцій можна керуватися такими простими твердженнями:
1. якщо функція парна, то складна функція також парна;
2. якщо функція і непарні, то складна функція непарна;
3. якщо непарна, а функція парна, то складна функція парна;
4. якщо функція періодична, то і складна функція періодична, причому її період може бути меншим за період функції , але не більшим; їх періоди збігаються, якщо функція f строго монотонна.
Зручно користуватися такими твердженнями:
1. сума скінченого числа парних (непарних) функцій є парною (непарною) функцією;
2. добуток парних функцій є парною функцією;
3. добуток непарних функцій є парною функцією, якщо число функцій-множників – парне число, і непарною, якщо число функцій-множників непарне;
4. добуток(частка) парної і непарної функції є функцією непарною.
|
|
Дослідимо функції та побудуємо їх графіки.
Приклад 1. Побудувати графік функції
Розв’язання.
1) Область визначення функції f :
Х= .
2) Функція парна. Тому її графік симетричний відносно осі ординат.
3) Функція не є періодичною. Це випливає навіть з того, що вона невизначена лише у двох точках.
4) Графік функції перетинає вісь ординат у точці (0;1). Нулі функції відсутні. Отже, графік функції не перетинає вісь абсцис.
5) Дослідимо функцію на монотонність та критичні точки. Для цього знайдемо похідну
;
х=0–критична точка.
Для . Отже, на цих проміжках функція зростає. Оскільки функція парна, то на проміжках вона спадає. Тоді точка х=0 є точкою локального максимуму. Знайдемо його значення
.
6) Дослідимо функцію на опуклість та точки перегину:
.
На проміжках . Отже, графік функції опуклий вниз. На проміжку , а тому графік функції опуклий вгору.
Точки перегину відсутні.
7) Оскільки , то пряма у=1 є горизонтальною асимптотою для графіка функції.
Дослідимо поведінку функції біля точок х=2, х=-2:
, .
Отже, в точці х=2 функція має розрив другого роду, а пряма х=2 є вертикальною асимптотою. Враховуючи парність функції, робимо висновки, що пряма х=-2 також є вертикальною асимптотою.
|
|
.
Приклад 2. Побудувати графік функції:
Розв’язання.
1. Область визначення функції f :
.
2. Функція не належить ні до парних, ні до непарних. Це безпосередньо випливає з того, що область її визначення несиметрична відносно нуля.
3. Період функції . Тому дослідження функції достатньо спочатку провести на проміжку . Крім того, враховуючи, що , робимо висновок про симетричність графіка відносно прямої на проміжку . Тому можна обмежитися дослідженням функції на проміжку .
4. Дослідимо функцію на монотонність та критичні точки на проміжку . Для цього знайдемо її похідну
.
Для . Тому функція на цьому проміжку спадає. Тоді на проміжку вона зростає, а в точці має мінімум, який дорівнює 1.
Враховуючи періодичність функції, робимо висновок, що вона на проміжках і зростає на проміжках , . В точках набуває мінімального значення, яке дорівнює 1.
5. Дослідимо функцію на опуклість на проміжку :
.
Звідси безпосередньо випливає, що для . Отже, графік функції опуклий вниз. Тоді і на проміжку він опуклий вниз. Таким чином, на проміжках графік функції опуклий вниз.
6. Визначимо поведінку функції біля нуля справа і біля зліва:
.
|
|
Отже, прямі х=0, х= – вертикальні асимптоти. Тоді і прямі х= , – вертикальні асимптоти.
Дата добавления: 2018-05-09; просмотров: 540; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!