Означення дотичної, піддотичної, нормалі
Нехай функція y=f(x) диференційована в точці х0. рівняння дотичної до графіка функції y=f(x) в цій точці має такий вигляд:
,
де х і у – біжучі координати дотичної, f ‘(x0)=k – кутовий коефіцієнт дотичної, який дорівнює значенню похідної в точці х0, тобто тангенс кута нахилу дотичної до доданого напрямку осі абсцис.
Відрізок АВ, що міститься між абсцисою точки дотику і точкою перетину дотичної з віссю абсцис, називають під дотичною. Її довжина дорівнює |х0-х1|.
Пряма МС, перпендикулярна до дотичної в точці її дотику М до графіка функції у=f(x), називається нормаллю.
Рівняння нормалі записують у вигляді:
якщо f ‘(x0) 0(в противному разі рівняння нормалі х-х0=0).
На цей матеріал можна скласти ряд задач. Розглянемо деякі з них.
1. Дано абсцису точки дотику х0 графіка функції у=f(x), а необхідно записати рівняння дотичної, що проходить через точку з цією абсцисою.
Для цього знаходимо похідну функції у=f(x), її значення в точці х0, тобто , та значення функції в точці х0, тобто . Цих даних достатньо, щоб записати рівняння дотичної .
2. Який кут утворює дотична з додатним напрямком осі абсцис, якщо відома абсциса точки дотику х0?
Оскільки кутовий коефіцієнт дотичної ,то .
Таким чином, задача зводиться до знаходження похідної функції у=f(x), тобто y’=f ‘(x), і обчислення її значення в точці х0.
3. Знайти гострий кут між дотичними, проведеними до графіків функцій ,що мають спільну абсцису х0:
|
|
, .
4. Знайти довжину дотичної до графіка функції у=f(x), абсциса точки дотику якої дорівнює х0.
Довжиною дотичної прийнято називати відстань між точкою дотику до графіка функції і точкою її перетину з віссю абсцис.
У цьому випадку знаходимо
і скористаємося формулою
Приклади:
Приклад 1. Знайти рівняння дотичної до графіка функції
в точці з абсцисою х0=3.
Розв’язання. Знайдемо похідну функції, значення функції та її похідної в точці х0:
скориставшись рівнянням дотичної
,
матимемо
Звідси .
Відповідь: .
Приклад 2. Який кут з віссю абсцис утворює дотична до параболи y=x2-4x+8 в точці (3;5)?
Розв’язання. Безпосередньо підстановкою координат заданої точки в рівняння параболи переконуємося, що вона їй належить.
Знайдемо похідну y’=2x-4.
Тоді . Звідси
Відповідь:
Приклад 3. Дотична до графіка функції
нахилена до осі абсцис під кутом . Знайти координати точки дотику.
Розв’язання. Знайдемо похідну функції :
.
За умовою y’(x0)=tg =1 маємо
отже, дотична до параболи проходить через точку А(2;2).
Відповідь: А(2;2).
Розділ 2
Застосування похідної
Правила диференціювання
Теорема: Якщо функції u(x) і n(x) мають похідні у всіх точках інтервалу (a; b), то
|
|
(u(x)±(x))’ = u’(x)±n’(x)
для любого х є (a; b). Коротше,
(u±n)’ = u±n’
Доведення: Суму функцій u(x)+n(x), де х є (a; b), яка представляє собою нову функцію, позначимо через f(x) і знайдемо похідну цієї функції,
Нехай х0 – деяка точка інтервалу (a; b).
Тоді
Також,
Так як
х0 – допустима точка інтервалу (a; b), то маємо:
Випадок добутку розглядається аналогічно. Теорема доведена.
Наприклад,
а)
б)
в)
Зауваження. Методом математичної індукції доводиться справедливість формули (u1(x) + u2 (x) +… кінцевого числа складених.
Теорема. Якщо функції u(x) і n(x) мають похідні у всіх точках інтервалу (a; b), то
для любого х є (a; b). Коротше,
Доведення. Позначимо похідні через х є (a; b), і найдемо похідну цієї функції, виходячи із визначення.
Нехай х0 – деяка точка інтервалу (a; b). Тоді
Навіть так як
то
Так як х0 – вільна точка інтервалу (a; b), то маємо
Теорема доведена.
Приклад,
а)
б)
в)
Наслідок. Постійний множник можна виносити за знак похідної:
Доведення. Застосувавши множник можна виносити за знак теорему про похідну де а – число, отримаємо
Приклади.
а)
б)
Похідна частки двох функцій .
|
|
Теорема. Якщо функції мають похідні у всіх точках інтервалу (a; b), причому для любого х є (a; b), то
для любого х є (a; b).
Доведення. Позначимо тимчасово через знайдемо використовуючи визначення похідної.
Нехай х0 – деяка точка інтервалу (a; b).
Тоді,
Навіть, так як
то
і послідовно
Так як х0 – вільна точка інтервалу (a; b), то в останній формулі х0 можна замінити на х. Теорема доведена.
Приклади.
а)
б)
Дата добавления: 2018-05-09; просмотров: 981; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!