IV.9.2. Наближення експериментальних даних аналітичною залежністю.
Апроксимація (від латинського "approximate" -"приближатися") - наближений вираз яких-небудь математичних об'єктів (наприклад, чисел або функцій) через інших простіші, зручніші в користуванні або просто відоміші. У наукових дослідженнях апроксимація застосовується для опису, аналізу, узагальнення і подальшого використання емпіричних результатів.
Як відомо, між величинами може існувати точний (функціональна) зв'язок, коли одному значенню аргументу відповідає одне певне значення, і менш точний (кореляційна) зв'язок, коли одному конкретному значенню аргументу відповідає наближене значення або деяка безліч значень функції, в тому або іншому ступені близьких один до одного. При веденні наукових досліджень, обробці результатів спостереження або експерименту зазвичай доводитися стикатися з другим варіантом. При вивченні кількісних залежностей різних показників, значення яких визначаються емпірично, як правило, є деяка їх вариабельность. Частково вона задається неоднорідністю самих об'єктів неживої, що вивчаються, і, особливо, живої природи, частково обуславливается погрішністю спостереження і кількісній обробці матеріалів. Останню складову не завжди вдається виключити повністю, можна лише мінімізувати її ретельним вибором адекватного методу дослідження і акуратністю роботи. Тому при виконанні будь-якої науково-дослідної роботи виникає проблема виявлення справжнього характеру залежності показників, що вивчаються, цій або іншому ступеню замаскованих неучтенностью вариабельности значень. Для цього і застосовується апроксимація - наближений опис кореляційної залежності змінних відповідним рівнянням функціональної залежності, що передає основну тенденцію залежності (або її "тренд").
|
|
|
При виборі апроксимації слід виходити з конкретного завдання дослідження. Зазвичай, чим простіше рівняння використовується для апроксимації, тим більше приблизний отримуваний опис залежності. Тому важливо прочитувати, наскільки істотні і чим обумовлені відхилення конкретних значень від отримуваного тренда. При описі залежності емпірично певних значень можна добитися і набагато більшої точності, використовуючи яке-небудь складніше, багатопараметричне рівняння. Проте немає ніякого сенсу прагнути з максиРисьною точністю передати випадкові відхилення величин в конкретних рядах емпіричних даних. Набагато важливіше уловити загальну закономірність, яка в даному випадку найлогічніше і з прийнятною точністю виражається саме двохпараметричним рівнянням степеневої функції. Таким чином, вибираючи метод апроксимації, дослідник завжди йде на компроміс: вирішує, в якому ступені в даному випадку доцільно і доречно "пожертвувати" деталями і, відповідно, наскільки узагальнено слід виразити залежність змінних, що зіставляються.
|
|
|
IV.9.3. Графічна інтерпретація апроксимації.
З курсу математики відомо 3 способи завдання функціональних залежностей:
- аналітичний
- графічний
- табличний
Табличний спосіб зазвичай виникає в результаті эксперемента.
Недолік табличного задання функції полягає в тому, що знайдуться значення змінних які невизначені таблицею. Для відшукання таких значень визначають ту, що наближається до заданої функцію, званою аппроксмиющою, а дія заміни апроксимацією.
У інженерній діяльності часто виникає необхідність описати у вигляді функціональної залежності зв'язок між величинами, заданими табличний або у вигляді набору точок з координатами (xi,yi), i=0,1,2...n, де n - загальна кількість точок(Рис.3.). Як правило, ці табличні дані отримані експериментально і мають погрішності. При апроксимації бажано отримати відносно просту функціональну залежність (наприклад, поліном), яка дозволила б "згладити" експериментальні погрішності, набути проміжних і екстраполяційних значень функцій, що спочатку не містяться в початковій табличній інформації.
|
|
|
Взагалі апроксимація - це наближення. т. е треба знайти рівняння такої лінії, яка щонайкраще описує залежність у(х). Часто застосовується як критерій близькості отриманої функції до наявних даних сума квадратів відхилень теоретичних значень у від емпіричних (досвідчених), тоді можна застосувати метод найменших квадратів. подивися в пошукачі що це таке і формули для різних ліній сама. розрахунок зводиться до знаходження сум х, у, ху, х
Рис.3.
Ця функціональна (аналітична) залежність повинна з достатньою точністю відповідати початковій табличній залежності. Критерієм точності або достатньо "хорошого" наближення можуть служити декілька умов.
Позначимо через fі значення, обчислене з функціональної залежності для x=xі і що зіставляється з yі.
Одна з умов узгодження можна записати як
S = (fі-yі) ® min
тобто сума відхилень табличних і функціональних значень для однакових x=xі має бути мініРисьною (метод середніх). Відхилення можуть мати різні знаки, тому достатня точність у ряді випадків не досягається.
Використання критерію S = |fі-yі| ® min, також не прийнятно, оскільки абсолютне значення не має похідної в точці мінімуму.
Враховуючи вищевикладене, використовують критерій найменших квадратів, тобто визначають таку функціональну залежність, при якій S = (fі-yі)2 ® min звертається в мінімум.
Дата добавления: 2018-05-09; просмотров: 345; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!