Второе правило исследования функции на экстремум.
Часто бывает рациональнее исследовать функцию на экстремум с помощью второй производной. Рассмотрим сущность этого метода.
Знак первой производной данной функции характеризует возрастание и убывание функции. Точно так же знак второй производной характеризует возрастание и убывание первой производной.
Теперь выясним, как изменяется первая производная в точках экстремума и близких к ним точках с увеличением аргумента. Первая производная при переходе через точку максимума меняет знак с «+» на «-». Иными словами, она от положительных значений переходит через ноль к отрицательным, т. е. убывает, а значит, её производная должна быть отрицательна. Итак, в точке максимума данной функции первая производная равна нулю, а вторая производная отрицательна.
Аналогично можно показать, что в точке минимума функции первая производная равна нулю, а вторая отрицательна.
Отсюда вытекаетправило исследования функции на экстремум с помощью второй производной.
1. Найти первую производную 
.
2. Найти критические точки, т.е. точки, в которых 
3. Найти вторую производную 
.
Во вторую производную подставить поочерёдно все критические значения
;
если 
то 
- точка минимума,
если 
то - точка максимума,
если 
то следует обратиться к первому правилу.
Вычислить значения функции в точках экстремума и построить схематически график.
|
|
|
П р и м е р. Исследовать функцию на экстремум по второму правилу
Решение. 1. Найдём первую производную 
2. Найдём критические точки
, если 
, 
,
.
3. Найдём вторую производную
.
4. Определим знак второй производной в каждой критической точке.
, значит 
– точка максимума,
, значит 
- точка минимума,
, значит 
5. Вычислим значения функции в точках экстремума.
Точка 
. Точка 
.
Точка 
Построим схематически график.
y
- 
x
Дата добавления: 2018-05-09; просмотров: 250; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!