При необходимости построить схематически график.
Урок № 13
Тема урока: ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ НА ЭКСТРЕМУМ ПО ПЕРВОЙ И ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ.
Определение точек экстремума.
Рассмотрим график функции , изображённый на рисунке.
Рис.1
В точках функция переходит от возрастания к убыванию и в этих точках функция принимает наибольшие значения по сравнению с рядом лежащими точками.
В точках функция переходит от убывания к возрастанию и в этих точках функция принимает наименьшие значения по сравнению с рядом лежащими точками.
Вот такие точки функции и называются точками максимума и минимума.
Определение 1. Точка называется точкой максимума функции , если для всех взятых из некоторой окрестности точки , выполняется условие
Определение 2. Точка называется точкой минимума функции , если для всех взятых из некоторой окрестности точки , выполняется условие
Значения функции в точках максимума и минимума называются соответственно максимумомиминимумом функции.
Максимум и минимум функции объединяют названием экстремумы функции. Точки максимума и минимума называются точками экстремума (или экстремальными точками). Рис. 2
Надо отметить, что максимум функции не всегда является наибольшим значением во всей области определения функции, он является наибольшим лишь по сравнению со значениями функции, взятыми в некоторой окрестности этой точки.
|
|
Признаки существования точек экстремума.
В точках экстремума функция должна переходить от возрастания к убыванию или от убывания к возрастанию. А это значит, что производная при переходе через эту точку должна поменять свой знак. Это возможно только при переходе производной через ноль или через точку, в которой производная не существует.
Вывод: если или не существует, то функция в точке может иметь экстремум.
Это условие, являясь необходимым, не является достаточным. Например, для функции
точка не является точкой экстремума, хотя производная в этой точке
Почему? Потому что производная при переходе через эту точку должна поменять свой знак, а у нас функция остаётся возрастающей.
Рис. 3
Итак, получаем теорему, в которой сформулированы необходимое и достаточное условия существования точек экстремума.
Теорема 5. Чтобы точка , была точкой экстремума функции , необходимо и достаточно, чтобы
а) или не существовала,
б) при переходе через точку производная должна менять свой знак.
Эта теорема даёт правило нахождения точек экстремума.
|
|
Правило исследования функции на экстремум.
1. Найти производную функции .
2. Найти критические точки функции, т.е. значения аргумента , при которых производная или не существует.
3. Определить знак производной , в окрестности критических точек
а) Если при переходе через точку меняет знак с «+» на « - », то - точка максимума;
б) если меняет знак с « - » на «+», то - точка минимума;
в) если знак не меняет, то точкой экстремума не является.
4. Вычислить значения функции в точках экстремума и .
При необходимости построить схематически график.
П р и м е р. Исследовать функцию на экстремум и построить схематически график.
Решение. 1. Найдём производную функции: .
1. Найдём критические точки:
, если или .
или
2. Отметим полученные значения на числовой прямой и определим знак производной в каждом из полученных интервалов.
+ - +
|
|
3. Вычислим значения функции в точках экстремума.
. Получаем точку .
. Получили точку .
4. По полученным точкам строим график.
Дата добавления: 2018-05-09; просмотров: 158; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!