ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ПРИ ПОДГОТОВКЕ К ЭКЗАМЕНАМ

                           

Часть 1 Линейная алгебра

 

Задача 1. Найти площадь треугольника АВС, вершины которого заданы координатами трёхмерного пространства: А(1;3;6), В(6;9;-2), С(-3;-6;8).

 

 Задача 2 . Даны четыре вектора, координаты которых определены в произвольном, не декартовом базисе. Их координаты определены значениями: а(3, -4,1), b(1,-3,7), c(2,0,5), d(-6, 8, -2). Определить все тройки линейно независимых векторов

 

Задача 3.   Даны четыре вектора а(а_1, а_2, а₃), b(b₁, b₂, b₃), с(с₁, с₂, с₃) и d(d₁, d₂, d ₃) в некотором базисе. Построить новый базис из данных векторов и выразить небазисный вектор в этом базисе.

1. а(3,- 5, 2), b(4, 5, 1), с(-3, 0, -4), d(-4, 5,-16).

2. а(-2, 6, -8), b(1, -3, 4), с(-7, 8,- 1), d(1, 20,1).

Задача 4.   

Даны координаты вершин пирамиды А₁, А₂, А₃, А₄. Найти:

1).длину ребер А₁А₂, А₁А₃, А₂А₃, А₃А₄;

2).угол между ребрами А₁А₂, А₁А₃;

3).угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃;

4).площадь грани А₁А₂А_3;

5).объем пирамиды;

6).уравнение прямых линий А₁А₂, А₁А₄;

7).уравнение плоскостей А₁А₂А₃, А₁А₃А₄;

8).угол между плоскостями А₁А₂А₃ , А₁А₂ А₄;

9).уравнение высоты, опущенной из вершины А₄  на грань А₁А₂А₃.

 

1. А₁(-1, 2, 1), А₂(-2, 2, 5), А₃(-3, 3, 1), А₄(-1, 4, 3).

2. А₁(-2, 1, -1), А₂(-3, 1, 3), А₃(-4, 2, -1), А₄(-2, 3, 1).

Задача 5.   

Даны системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Решить их тремя способами: 1).методом Гаусса; 2).методом Крамера; 3)методом обратной матрицы.

         

       3x₁ + 2x₂ +x₃ = 5                                x₁ - 2x₂ + 3x₃ = 6

а.  2x₁ + 3x₂ + x₃ = 1                   b.   2x₁ + 3x₂ - 4x₃ =20

       2x₁ + x₂ + x₃ =11                             3x₁ - 2x₂ - 5x₃ = 6

 

 

Задача 6.

Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования, заданного в некотором базисе матрицей.

                           a.    b.      

Задача 7.

Определить, является ли линейно зависимой система матриц:

m¹₁ =    m¹₂ =    m²₁ =   m²₂  = ,

 

Задача 8.

Определить, при каком значении m векторы а(m; –3; 2)  и  b (1; 2; – m)взаимно перпендикулярны.

Задача 9.

Даны вершины четырехугольника A(1;-2;2), В(1;4;0), С(-4;1;1), D(-5;-5;3).  Доказать или опровергнуть утверждение, что его диагонали взаимно перпендикулярны.

Задача 10.

Перемножить матрицы 

                                               

Задача 11. Выполнить операцию транспонирования матрицы:

                          А =      B =     C =

Задача 12.

Найти алгебраические дополнения всех элементов матрицы A: 

                                              А =

Задача 13.

Вычислить определители матриц:

А = ; B =  C=

Задача14.

Найти обратные  матрицы к заданным матрицам:

        1.    2.   3.      

Задача 15. Найти собственные значения и собственный вектор матрицы:

 

           А = . B =   C =

Задача 16.   Даны четыре вектора а(а_1, а_2, а₃), b(b₁, b₂, b₃), с(с₁, с₂, с₃) и d(d₁, d₂, d ₃) в некотором базисе. Построить новый базис из данных векторов и его ортогонализировать.

1. а(1,- 1, 2), b(-1, 2, 1), с(-1, 0, -2), d(-2, 1,-1).

2. а(-0, 3, 2), b(1, -3, 1), с(-2, 2,- 1), d(1, 2 ,1).

 

Задача 17. В параллелограмме ABCD

 Тогда вектор    имеет координаты:  

Задача18 Длина стороны квадрата, площадь которого равна площади параллелограмма, построенного на векторах равна:

Часть 2. Аналитическая геометрия

Задача 19.

Составить уравнение прямой, проходящей через точку с координатами (-2; 4) и центр кривой второго порядка:

 

Задача 20.

Составить уравнение прямых линий, проходящих через точку с координатами (-14; 5) и фокусы кривой второго порядка:

 

Задача 21.

Найти уравнения асимптот гиперболы:

 

Задача 22.

Найти уравнения директрис парабол:

Задача 23.

Привести к каноническому виду и определить типы кривых второго порядка и их основные параметры.

 

Задача 24.

Графически  определить точки пересечения 2-х парабол:

Задача 25.

Определить точки пересечения гиперболы и параболы:

Задача 26.

Определить точки пересечения эллипса и параболы

Задача 27.

Вычислить объём пирамиды, ограниченной плоскостью и координатными плоскостями.

 

Задача 28.

Плоскость проходит через точку М₁ (6; -10; 1) и М₂(-3; 2; 1) и отсекает на оси Оz отрезок b=3. Составить уравнение плоскости.

 

 Задача 29.

Дано уравнение плоскости Написать для неё уравнение в отрезках.

Задача 30.

Вычислить площадь треугольника, который отсекает плоскость

на осях ОX, ОY, OZ.

Задача 31.

Составить уравнение плоскости, перпендикулярной к плоскости

и отсекающей на координатных осях Ox и Oy  отрезки .

Задача 32.

Составить уравнение плоскости, параллельной плоскости

и отсекающей на координатных осях Ox и Oy  отрезки .

Задача 33.

Составить канонические уравнения прямых линий, заданных пересекающимися плоскостями:

 

 

Задача 34.

Доказать перпендикулярность прямых линий:

 

и

 

Задача 35.

Решить уравнения: =0

Задача 36.Решить неравенства

 

 

Задача 37.

Определить точки гиперболы , расстояние которых до левого фокуса равно 7

 

 Задача 38.

Определить точки гиперболы , расстояние которых до правого фокуса равно 4,5

Задача 39.

Дана гипербола . Найти:

1) полуоси a и b;

2) координаты фокусов;

 .                                Дискретная математика

Элементы теории множеств)

Задача 40. Пусть универсальное множество U - множество сотрудников некоторого предприятия; А – множество всех сотрудников старше 40 лет; В – множество сотрудников, имеющих стаж более 10 лет; С – множество служащих; D- множество рабочих. Каков содержательный смысл (характеристическое свойство) каждого из множеств:

Вариант 1

а) ; б) ; в)  г) В\С; д) С\В е) С D;ж) D\A

Вариант 2.

а) А (В\С); б) (А В)\С; в) А\В; г). В\ ; д) (А В) С; е) А (В С)

 

Задача 41. Пусть A={2,3}, B={3,4}, C={1,0}

Найдите:

а) А В; б) А С; в) В С; г)S B C; д) А В С; е) А\(В С); ж) (А\В) С;

з) (А В)\(А В).

 Найдите множество Х, удовлетворяющего системе уравнений:

Задача 42.

Задача 43.

Задача 44.

 

Задача 45.

Задача 46. Решить систему уравнений

     ,

 где A,B и C – данные множества и B A, А С = .

Задача 47. Решить систему уравнений

         

     ,

 где А,В и  C – данные множества и B A C

 

Линейное программирование

Задача48.Собственные средства банка в сумме с депозитами составляют 100 млн. долларов. Часть этих средств, но не менее 35 млн. долл. должны быть размещены в кредитах. Кредиты являются неликвидными активами банка, поэтому банк покупает определённую часть ценных бумаг, чтобы компенсировать неликвидность кредитов. Ликвидное ограничение таково: ценные бумаги должны составлять не менее 30% средств, размещенных в кредитах и ценных бумагах. Каковы должны быть средства, размещённые в кредитах и вложенные в ценные бумаги, чтобы прибыль от кредитов и ценных бумаг была максимальной. Доходность кредитов составляет 5 усл. единиц, а ценных бумаг 2 усл. единицы.

Задача 49.

 

     Задача 50.

         .

     Задача51. В суточный рацион  включают два продукта питания. П₁ и П₂ , причём продукта П₁ должно войти в дневной рацион не более 200 единиц. Стоимость 1 единицы продукта П₁ составляет 20 р., продукта П₂  - 40 р. Содержание питательных веществ в 1 ед. продукта, минимальные нормы потребления указаны в таблице. Определить оптимальный рацион питания, стоимость которого будет наименьшей.

 

Питательные вещества	Минимальные нормы потребления	Содержание питательных веществ в 1 ед. продукта
		П1	П2
А	120	0,2	0,2
В	160	0,4	0,2

 

---

Дата добавления: 2018-05-09; просмотров: 204; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

---

⇐ Предыдущая12

---

Мы поможем в написании ваших работ!