Тема 2. Диффузия моноэнергетических нейтронов (3 лекции).

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

Основное приближение модели диффузии моноэнергетических нейтронов заключается в том, что считается, что все нейтроны имеют одну и ту же энергию, то есть нейтронное поле описывается в предположении, что при взаимодействии с ядрами среды энергия нейтронов не изменяется. Это возможно в случае, если при взаимодействии нейтронов с ядрами среды идут только процессы поглощения, упругого резонансного рассеяния или потенциального рассеяния на тяжелых или жестко связанных в кристаллической решетке или молекуле ядрах среды. Это связано с тем, что при протекании всех перечисленных процессов взаимодействия нейтронов с ядрами среды энергия нейтрона не меняется.

уравнение баланса скоростей процессов в фазовом объеме:

- - + + = .

Закон Фика:

закон Фика справедлив для больших (размер среды много больше длины свободного пробега нейтрона в среде) слабопоглощающих ( ) сред, состоящих из тяжелых (атомная масся больше 10а.е.м.) ядер, далеко (более 3-х длян свободного пробега нейтрона в среде) от локальных неоднородностей и в случае, если макроскопическое сечение рассеяния слабо зависит от пространственной переменной.

Необходимо отметить, что в рамках диффузионного приближения возможно учесть слабую анизотропию потенциального рассеяния, если для определения коэффициента диффузии вместо полного макроскопического сечения использовать, так называемое, транспортное макроскопическое сечение - , которое рассчитывается по следующей формуле: = , где - средний косинус угла рассеяния в лабораторной системе. Если рассеяние в лабораторной системе изотропно, то средний косинус угла рассеяния равен нулю и транспортное сечение равно полному сечению. Вводится понятие коэффициента диффузии = [см].

Таким образом, закон Фика позволяет получить т.н. уравнение диффузии моноэнергетических нейтронов

- + + =

Запишем уравнение диффузии моноэнергетических нейтронов для нескольких частных случаев:

1) стационарная задача (нет зависимости от временной переменной):

- + + = 0;

2) стационарная задача, среда не размножающая (сечение деления равно нулю):

- + = 0;

3) гомогенная (свойства среды не зависят от пространственной переменной) не размножающая среда, стационарная задача

- + = 0.

Поскольку в случае гомогенной среды ее свойства не зависят от пространственной переменной, следовательно, в первом слагаемом коэффициент диффузии можно вынести за знак дивергенции, а дивергенция от градиента функции - это лапласиан этой функции. Этот факт учтен в последнем уравнении. Разделим последнее уравнение на коэффициент диффузии и введем новое обозначение: [см²]. Введенная величина называется квадратом длины диффузии нейтронов, а [см] - длиной диффузии нейтронов, соответственно. Перепишем последнее уравнение в виде:

- + = 0.

Решения уравнения диффузии в гомогенной бесконечной среде - + = 0. в разных геометриях:

1. Точечный источник мощностью [1/с] в бесконечной, не размножающей, гомогенной среде

2. Плоский источник мощностью [1/(см²с)] в бесконечной, не размножающей, гомогенной среде.

3. Нитевидный источник мощностью [1/(см с)] в бесконечной, не размножающей, гомогенной среде.

Условие для функции плотности потока нейтронов, следующие из ее определения. Эти очевидные условия отражает тот факт, что по определению функция плотности потока нейтронов не отрицательна и ограничена.

Начальное условие по времени. Это условие важно для решения нестационарного уравнения диффузии (2.6) и говорит о том, что в начальный момент времени t=0 функция плотности потока известна, например, из решения соответствующего стационарного уравнения: , где - известная функция.

Условие на границе раздела сред с разными свойствами. Это условие сшивки плотности потока нейтронов на границе раздела двух сред с разными свойствами. Необходимо отметить, что при получении этого условия будет использоваться выражения для односторонних токов в области около границы раздела двух сред, поэтому погрешность решения уравнения диффузии в этой области будет высокой. В тоже же время, допуская большую погрешность решения в области около границы раздела, получаются условия для сшивки решений на границы раздела двух сред, которые гарантируют хорошую точность решения вне этой области. Рассмотрим границу раздела сред - рисунок 2.

СРЕДА 1 СРЕДА 2

Рис. 2 Граница раздела сред с разными свойствами.

Если на линии границы нет локальных источников и поглотителей нейтронов, то количество нейтронов, которые пересекают единичную площадку, расположенную в точке , из первой среды во вторую равно количеству нейтронов, которые влетают во вторую среду из первой через эту же площадку, и наоборот. Это значит, что выполняются следующие точные равенства:

и ,

которые отражают этот факт. Воспользуемся для односторонних токов выражениями (2.5):

- = - ,

+ = + .

Это уже приближенные (с точностью до применимости диффузионного приближения) соотношения. После сложения этих равенств получим одно условие - = , а после вычитания - второе: = .

Таким образом, на границе раздела двух сред с разными свойствами функция плотности потока нейтронов и проекции вектора тока на нормаль непрерывны.

Условие на не вогнутой границе среда-вакуум. Рассмотрим не вогнутую границу среда-вакуум, то есть такую границу, что все нейтроны, покинувшие среду, обратно возвратиться из вакуума в среду не могут. Необходимо отметить, что при получении этого условия будет использоваться выражение для одностороннего тока в области около границы среда-вакуум, поэтому погрешность решения диффузионного уравнения в этой области будет высокой. В тоже же время, допуская большую погрешность решения в области около границы среды и вакуума, получается условие для плотности потока на этой границе, которое гарантирует хорошую точность решения внутри среды. Рассмотрим границу раздела двух сред - рисунок 3.

СРЕДА ВАКУУМ

Рис. 3 Не вогнутая граница среды с вакуумом.

Раз граница среда-вакуум не вогнутая, то нет нейтронов, которые имеют направление движения из вакуума в среду, поэтому через единичную площадку, расположенную в точке , нет тока нейтронов из вакуума в среду, то есть . Использование для одностороннего тока выражения (2.5), приводит к равенству:

+ . Из которого получается искомое условие на границе среда-вакуум: , где комплекс, стоящий в левой части уравнения часто называют логарифмической производной, а величину - длиной линейной экстраполяции плотности потока в вакуум. Для выяснения смысла этого названия рассмотрим одномерную плоскую геометрию - рисунок 4.

СРЕДА ВАКУУМ

Рис.4 Иллюстрация понятия длины линейной экстраполяции потока в вакуум

Экстраполируем линейно функцию плотности потока, которая определена внутри среды, в вакуум. Необходимо подчеркнуть, что выполненная линейная экстраполяция не имеет никакого отношения к описанию нейтронного поля в вакууме, это просто удобный математический прием. Используем полученное выше условие на границе среда-вакуум (точка на рисунке 4) для одномерной плоской геометрии: .

Найдем значение при котором функция, описывающая при линейную экстраполяцию потока в вакуум: , обращается в ноль. Для этого получим систему линейных уравнений, первое из которых определяет обращение в ноль при = : , а второе - условие на границе среда-вакуум, написанное выше: . Решив эту систему уравнений, получим: = + . Таким образом, длина линейной экстраполяции плотности потока в вакуум - это расстояние от границы среды и вакуума на котором плотность потока нейтронов обращается в ноль при ее линейной экстраполяции от границы среды в вакуум. А воображаемая граница, на которой функция, линейно экстраполирующая поток в вакуум, обращается в ноль называется экстраполированной границей среда-вакуум.

В диффузионном приближении часто ставят условие равенства плотности потока нулю на экстраполированной границе среда-вакуум: .

Поскольку диффузионное приближение применимо для описания нейтронного поля в средах, размер которых много больше длины свободного пробега нейтрона, то добавкой часто пренебрегают и используют условие равенства потока нулю на границе среды и вакуума. При этом, естественно, точность описания нейтронного потока около границы еще более ухудшается, но это не оказывает существенного влияния на точность описания нейтронного поля на расстояниях более 3-х длин свободного пробега нейтрона от границы.

Используя более точные приближения, чем диффузионное, можно показать, что для обеспечения наилучшей точности описания плотности потока нейтронов внутри среды в рамках диффузионного приближения, длину линейной экстраполяции плотности потока в вакуум надо рассчитывать не как , а как .

Условие локализованного источника. Рассмотрим среду, в которой в точке расположен точечный источник мощностью [1/c]. Перепишем уравнение (2.3) для случая стационарной задачи и данного вида источника:

- - + + = 0,

где - дельта функция Дирака, которая равна единице, если = , и нулю - в противном случае. Окружим источник сферой, радиуса R с центром в точке расположения источника, проинтегрируем последнее равенство по объему получившегося шара и возьмем предел при стремлении радиуса шара к нулю:

+ + + =

Во втором и третьем членах в левой части уравнения стоят интегралы от ограниченных функций при стремлении области интегрирования к нулю, так как объем шара бесконечно малого радиуса равен нулю. Предел от этих интегралов равен нулю. Интеграл от последнего члена в левой части равен . В первом же члене перейдем от интеграла по объему шара к интегралу по его поверхности Г. В результате получим следующее условие локализованного источника: . В левой части этого равенства стоит выражение, которое равно числу нейтронов, которые пересекают в единицу времени поверхность сферы бесконечно малого радиуса, окружающей источник. Естественно, что это число нейтронов равно мощности внешнего источника.

если в бесконечной однородной гомогенной среде действует I точечных источников нейтронов различной мощности (рисунок 6), то поток нейтронов в точке будет определяться выражением:

*q₁

*q₂

*q₃

*q_I

Рис.6 Расположение точечных источников в среде

Если в среде существует область , в которой находится распределенный источник нейтронов мощностью , то, согласно принципу суперпозиции источников, поток нейтронов в точке будет определяться выражением:

, где конкретный вид функций Грина будет определяться постановкой задачи.

- диффузионная функция влияния (диффузионная функция Грина) точечного источника в бесконечной не размножающей гомогенной среде;

- диффузионная функция влияния (диффузионная функция Грина) плоского источника в бесконечной не размножающей гомогенной среде;

- диффузионная функция влияния (диффузионная функция Грина) нитевидного источника в бесконечной не размножающей гомогенной среде.

В качестве иллюстрации применения принципа суперпозиции источников, рассмотрим задачу о нахождении плотности потока нейтронов от плоского источника, используя известную функцию плотности потока от точечного источника (рисунок 7).

Рис.7 Схема к примеру использования принципасуперпозиции источников

Поток нейтронов в точке x от точечного источника единичной мощностью, расположенного в любой точке на окружности радиуса r, определяется выражением

, где r - расстояние от окружности то точки х (рисунок 7).

Представим плоский источник как совокупность точечных источников. Для этого выделим на плоскости элементарное кольцо радиуса r и толщиной dr. Это кольцо представляет собой источник нейтронов мощностью S(r)=(2prdr)q [н/с], где q[н/(см²с)] - мощность плоского источника. Поток нейтронов в точке x от элементарного кольца будет определяться выражением: ,

а от всей плоскости - выражением: = .

С учетом очевидной связи r²= r²+x², после перехода от интегрирования по переменной r к интегрированию по переменной r, это равенство принимает вид:

, что совпадает с полученным ранее выражением.

Контрольные вопросы.

1. В чем заключаются основные приближения модели диффузии моноэнергетических нейтронов?

2. Можно ли использовать уравнение диффузии моноэнергетических нейтронов для описания нейтронного поля в среде, состоящей из чистого водорода?

3. Когда можно использовать закон Фика и уравнение диффузии моноэнергетических нейтронов?

4. Сформулируйте условия выбора однозначного решения уравнения диффузии в физических задачах. Какие из этих условий являются точными, а какие приближенными?

5. Какой физический смысл имеет величина “длина диффузии”?

6. Что такое диффузионные функции влияния и где они используются?

7. Что такое альбедо и как с помощью него ставится условие на границе активная зона и отражатель?

8. Сравните альбедо плоского и сферического слоев одинаковой толщины.

9. Как изменится альбедо плоского слоя, если между отражателем и размножающей средой ввести слой вакуума?

10. Как изменится альбедо сферического слоя, если между отражателем и размножающей средой ввести слой вакуума?

11. Какой параметр определяется в экспоненциальном опыте?

12. На рисунках приведено решение уравнения диффузии моноэнергетических нейтронов в плоском слое при условии, что внешняя граница среда-вакуум считается экстраполированной. Какие из приведенных графиков соответствуют данной постановке задачи?

Дата добавления: 2018-05-02; просмотров: 2051; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 12

Мы поможем в написании ваших работ!