Непрерывные случайные величины
● Функция распределения и функция плотности непрерывной случайной величины
88. Случайная величина 
имеет функцию распределения 
. Найдите плотность вероятности 
случайной величины 
.
89. Случайная величина 
имеет функцию распределения 
. Найдите плотность вероятности случайной величины 
.
90. Случайная величина имеет функцию распределения 
. Найдите плотность вероятности случайной величины 
.
91. Распределение непрерывной случайной величины 
задано плотностью вероятности 
. Найдите плотность вероятности случайной величины 
.
92. Случайная величина имеет плотность вероятности 
. Найдите плотность вероятности случайной величины 
.
93. Случайная величина имеет плотность вероятности 
Найдите константу 
и вероятность 
.
94. Функция плотности вероятности случайной величины имеет вид 
. Найдите константу 
и вероятность 
.
95. Функция плотности вероятности случайной величины имеет вид 
. Найдите константу и вероятность 
.
96. Плотность вероятности случайной величины имеет вид 
. Найдите и 
.
● Равномерное распределение на отрезке
97. Случайная величина равномерно распределена на отрезке 
. Найдите вероятность 
.
98. Случайная величина равномерно распределена на отрезке 
. Найдите вероятность 
.
99. Случайные величины 
независимы и равномерно распределены на отрезке 
. Найдите математическое ожидание 
.
|
|
|
100. Случайная величина имеет равномерное распределение на отрезке 
Найдите коэффициент корреляции случайных величин и 
101. Случайная величина равномерно распределена на отрезке 
. Найдите математическое ожидание 
.
102. Случайная величина равномерно распределена на отрезке 
. Найдите дисперсию 
.
103. Случайная величина равномерно распределена на отрезке 
. Найдите 
.
104. Случайная величина равномерно распределена на отрезке 
. Найдите 
.
105. Найдите математическое ожидание и дисперсию произведения независимых случайных величин и 
с равномерными законами распределения: – на отрезке 
, – на отрезке .
106. Случайные величины и независимые и равномерно распределены на отрезках: – на отрезке 
, – на отрезке 
. Найдите 
.
● Показательное распределение
107. Случайные величины и независимые и распределены по показательному закону, причём 
, 
. Найдите 
.
108. Случайные величины 
независимы и распределены по показательному закону. Найдите 
, если 
.
109. Случайная величина 
распределена по показательному закону. Найдите математическое ожидание 
, если дисперсия 
.
|
|
|
110. Случайная величина распределена по показательному закону. Найдите математическое ожидание 
, если дисперсия 
.
111. Случайная величина распределена по показательному закону. Найдите вероятность 
, если 
.
● Нормальное распределение на прямой
112. Для нормальной случайной величины с математическим ожиданием 
и дисперсией 
найдите вероятность 
.
113. Случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами 
и 
. Найдите вероятность попадания в интервал 
.
114. Для нормальной случайной величины известно, что математическое ожидание 
и вероятность 
Найдите дисперсию 
.
115. Для нормальной случайной величины известно, что дисперсия 
и вероятность 
. Найдите математическое ожидание 
.
116. Для нормальной случайной величины с математическим ожиданием 
и дисперсией 
найдите вероятность 
.
117. Математические ожидания и дисперсии независимых нормальных случайных величин 
равны 1. Найдите вероятность 
.
118. Для нормальной случайной величины с математическим ожиданием 
и дисперсией 
найдите вероятность 
.
119. Для независимых нормальных случайных величин , известны их математические ожидания и дисперсии: 
, 
, 
, 
. Найдите вероятность 
.
|
|
|
120. Независимые нормальные случайные величины 
имеют одинаковые параметры: 
, 
, 
. Для случайной величины 
найдите вероятность 
.
121. Для нормальной случайной величины с математическим ожиданием 
и дисперсией 
найдите вероятность 
.
122. Случайные величины и независимые и распределены по нормальному закону, причём 
, 
. Найдите 
.
Случайные векторы
● Двумерные дискретные случайные векторы
123. Найдите распределение случайной величины 
и 
, если известно распределение случайного дискретного вектора 
:
| 
| 
| |
| 
| 
| 
|
|
|
| 
|
| Z | 0 | 1 | 2 | 3 |
| P | 1/12 | 5/24+0 | 1/12+5/24=7/24 | 5/12 |
124. Для случайного дискретного вектора , распределенного по закону
| 
| 
| |
|
| 
| 
|
|
|
| 
|
|
выясните, зависимы или нет события 
и 
.
125. Для случайного дискретного вектора , распределенного по закону
|
|
|
| |
|
|
| 
|
|
|
|
|
|
|
выясните, зависимы или нет события 
и 
.
126. Распределение случайного вектора 
задается таблицей 
Найдите 
так, чтобы коэффициент корреляции случайных величин и был равен 
|
|
|
127. Найдите распределение случайной величины 
и , если известно распределение случайного дискретного вектора :
|
|
|
| |
|
|
| 
|
|
|
|
| 
|
|
| Z | 1 | 2 | 3 | 4 |
| P | 1/8 | 1/6+1/4=5/12 | 1/8+1/6=7/24 | 1/6 |
M(Z)=1*1/8+2*5/12+3*7/24+4*1/6=2.5
128. Для случайного дискретного вектора , распределенного по закону
|
|
|
| |
|
| 
| 
|
|
|
|
| 
|
|
выясните, зависимы или нет события 
и .
129. Найдите распределение случайной величины 
и , если известно распределение дискретного случайного вектора :
| 
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Z | -3 | -2 | -1 |
| P | 1/6+1/6=1/3 | 1/12+1/6+1/6=5/12 | ¼ |
M(Z)=-3*1/3-2*5/12-1*1/4=-25/12
130. Для случайного дискретного вектора , распределенного по закону
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
| 
|
|
выясните, зависимы или нет события и 
.
131. Найдите распределение случайной величины 
и , если известно распределение дискретного случайного вектора :
|
|
| 
| |
|
| 
|
|
|
|
|
|
|
|
| Z | 5 | 6 | 7 |
| P | 1/4+5/24+1/12=13/24 | 1/12+1/4=1/3 | 1/8 |
M(Z)=5*13/24+6*1/3+7*1/8=67/12
132. Найдите распределение случайной величины 
и , если известно распределение дискретного случайного вектора :
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Z=X/Y | 1 | -1 | 0 |
| P | 1/4+1/12=1/3 | 1/8+1/8=1/4 | 1/6+1/4=5/12 |
M(Z)=1/3-1/4=1/12
133. Для случайного дискретного вектора , распределенного по закону
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
выясните, зависимы или нет события 
и .
134. Для случайного дискретного вектора , распределенного по закону
|
|
|
| |
|
| 
| 
|
|
|
|
| 
|
|
выясните, зависимы или нет события и .
135. Найдите распределение случайной величины 
и , если известно распределение дискретного случайного вектора :
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| Z | 1 | 2 |
| P | 1/6 | 1/12 |
M(Z)=1*1/6+2*1/12=1/3
136. Найдите распределение случайной величины 
и , если известно распределение дискретного случайного вектора :
|
|
|
| |
|
|
| 
|
|
|
|
|
| 
|
| Z | -2 | -1 |
| P | 1/12+1/24=3/24 | 1/6+1/65/24+1/3=7/8 |
M(Z)=-2*3/24+-1*7/8=-9/8
137. Найдите 
, 
, 
, 
, 
, 
и 
для случайного дискретного вектора 
, распределенного по закону 
● Условные дискретные распределения
138. Дискретный случайный вектор задан распределением
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдите условное математическое ожидание 
.
| -1 | 0 | -1 | 0 |
| P | 1/12:19/24=2/19 | 1/4:19/24=6/19 | 5/24:19/24=5/19 | 1/4:19/24=6/9 |
139. Дискретный случайный вектор задан распределением
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдите условное математическое ожидание 
.
| 2 | 3 | 2 | 3 |
| P | 1/12:9/24=2/9 | 5/24:9/24=5/9 | 0:9/24=0 | 1/12:9/24=2/9 |
140. Дискретный случайный вектор задан распределением
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдите условное математическое ожидание 
.
P(X+Y=5)=1/4+1/8=3/8
| Y|X+Y=5 | 2 | 3 |
| P | 1/8:3/8=1/3 | ¼:3/8=2/3 |
M(Y|X+Y=5)=2*1/3+3*2/3=2+2/3
141. Дано: 
. Найдите 
.
| X | 40 | 90 |
| P | 0.4 | 0.6 |
| Z | 2 | 3 |
Z=M(Y|X)
M(Y)=M(Z)=2*0.4+3*0.6=0.8+1.8=2.6
142. Дано: 
. Найдите 
.
| X | 20 | 80 |
| P | 0.4 | 0.6 |
| Z | 3 | 1 |
M(XY)=M(X*M(Y|X))
M(XY)=20*0.4*3+80*0.6*1=24+48=72
143. Дано: 
. Найдите 
.
| X | 40 | 70 |
| P | 0.2 | 0.8 |
| Z | 1 | 1 |
Cov(X;Y)=M(XY)-M(X)M(Y)
M(X)=40*0.2+70*0.8=8+56=64
M(Y)=40*0.2*1+70*0.8*1=64
Cov(X;Y)=64-64=0
144. Дано: 
и 
Найдите 
.
| X | 30 | 80 |
| P | 0.1 | 0.9 |
| Z | 9 | 8 |
M(Z)=0.1*9+0.9*8=8.1
145. Дано: 
. Найдите 
.
| X | 50 | 80 |
| P | 0.6 | 0.4 |
| Z | 2 | 2 |
Z=M(Y|X)
D(Z)=M(Z2)-(M(Z))2
M(Z)=0.6*2+0.4*2=2
M(Z2)=4*0.6+4*0.4=4
D(Z)=4-4=0
146. Дано: 
и 
Найдите 
.
| X | 50 | 60 |
| P | 0.5 | 0.5 |
| Z | 4 | 1 |
| V | 7 | 5 |
Z=M(Y|X)
V=D(Y|X)
● Двумерные непрерывные случайные векторы
147. Случайный вектор ( 
) имеет плотность распределения 
Найдите константу и 
148. Случайный вектор ( ) имеет плотность распределения 
Найдите константу и 
149. Случайный вектор ( ) имеет плотность распределения 
Найдите константу и 
150. Случайный вектор ( ) имеет плотность распределения 
Найдите константу и 
.
151. Случайный вектор ( ) имеет плотность распределения 
Найдите константу и 
.
152. Случайный вектор ( ) имеет плотность распределения 
Найдите константу и 
.
153. Случайный вектор ( ) имеет плотность распределения 
Найдите константу 
и 
.
154. Случайный вектор ( 
) равномерно распределен в треугольнике 
, 
Найдите математическое ожидание 
155. Случайный вектор ( ) равномерно распределен в треугольнике , 
Найдите значение функции распределения 
и 
156. Случайный вектор ( ) равномерно распределен в треугольнике , 
Найдите значение функции распределения 
и 
157. Случайный вектор ( 
) имеет плотность распределения 
Найдите константу 
и 
● Условные непрерывные распределения
158. Плотность распределения случайного вектора 
имеет вид: 
. Найдите условное математическое ожидание 
.
159. Плотность распределения случайного вектора 
имеет вид: 
. Найдите условное математическое ожидание 
.
160. Плотность распределения случайного вектора имеет вид: 
. Найдите 
.
161. Плотность распределения случайного вектора имеет вид: 
. Найдите 
.
Математическая статистика
● Основные характеристики выборочной и генеральной совокупностей. Точечные оценки
162. Игральную кость бросили 
раз. При этом 
очко выпало раз, 
очка – раз, 
очка – раз, 
очка – раза, 
очков – раза, очков – раз. Найдите эмпирическую функцию распределения числа очков, выпавших при бросании игральной кости.
| Xi | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| Ni | 1 | 1 | 1 | 2 | 2 | 1 |
163. В четырех независимых испытаниях случайная величина приняла следующие значения: 
Найдите несмещенную оценку дисперсии 
164. В 
независимых испытаниях случайная величина значениe приняла 
раз, а значение – раз. Найдите несмещенную оценку дисперсии 
165. Даны результаты независимых измерений одной и той же величины прибором, не имеющим систематических ошибок: 
м. Найдите несмещённую оценку дисперсии ошибок измерений, если истинная длина 
м.
166. Даны результаты независимых измерений одной и той же величины прибором, не имеющим систематических ошибок: 
м. Найдите несмещённую оценку дисперсии ошибок измерений, если истинная длина неизвестна.
167. Используя метод моментов, оцените параметры и 
равномерного распределения на отрезке 
по эмпирическому распределению
| Значение
| 3 | 5 | 7 | 9 |
| Частота | 21 | 18 | 15 | 26 |
168. Случайная величина (время бесперебойной работы устройства) имеет показательное распределение с плотностью 
( 
). По эмпирическому распределению времени работы
| Время работы | 
| 
| 
| 
|
| Число устройств | 
| 
| 
|
|
методом моментов найдите точечную оценку 
.
169. Случайная величина распределена по закону Пуассона 
. Результаты 
независимых наблюдений отражены в таблице
| Значение
| 0 | 1 | 2 | 3 |
| Частота | 
| 
| 
| 
|
Найдите методом моментов точечную оценку .
● Интервальные оценки параметров распределения
170. В 
сеансах игры с автоматом выигрыш появился 
раз. Найдите для вероятности выигрыша 
приближенный 
– доверительный интервал.
171. Глубина моря измеряется прибором, систематическая ошибка которого равна , а случайные ошибки распределены нормально со среднеквадратичным отклонением 
м. Каково наименьшее число независимых измерений, при котором удается определить глубину с ошибкой меньше метров с надежностью не ниже 
?
172. Брокер на бирже желает найти 
-доверительный интервал для математического ожидания недельной доходности выбранной акции. Известно, что выборочная средняя недельная доходность за последний год (52 недели) составила 
. Найдите искомый доверительный интервал в предположении, что недельные доходности независимы и распределены нормально с постоянными параметрами, причем генеральное среднеквадратичное отклонение недельной доходности равно 
.
173. Найдите 
‑доверительный интервал для генерального среднего нормально распределенного признака , если генеральное среднеквадратичное отклонение равно , а выборочное среднее при объеме выборки 
равно 
.
174. Выборка из большой партии электроламп содержит 
ламп. Средняя продолжительность горения отобранных ламп оказалась равной 
ч. Найдите приближенный 
-доверительный интервал для средней продолжительности горения лампы во всей партии, если известно, что среднеквадратичное отклонение продолжительности горения лампы в партии равно 
ч.
175. Произведено 
независимых испытаний, в каждом из которых неизвестная вероятность 
события 
постоянна. Событие наступило в 
испытаниях. Найдите для вероятности приближенный 0.994‑доверительный интервал.
176. Выборочно обследовали качество кирпича. Из 
проб в 
случаях кирпич оказался бракованным. В каких пределах заключается доля брака для всей продукции, если результат гарантируется с надежностью 
?
177. При испытании 
элементов зарегистрировано 
отказов. Найдите доверительный интервал, покрывающий неизвестную вероятность отказа элемента с надежностью .
178. В результате проведенного социологического опроса 
человек рейтинг кандидата в президенты составил 
. Найдите доверительный интервал для рейтинга кандидата с гарантированной надежностью 
.
179. Численность повторной выборки составляет 
единиц. Доля признака составляет 
. Найдите с доверительной вероятностью 
, в каких пределах находится отклонение частоты от доли признака.
180. Обследуется средняя продолжительность телефонного разговора. Сколько телефонных разговоров должно быть зафиксировано, чтобы с вероятностью 
можно было бы утверждать, что отклонение средней продолжительности зафиксированных разговоров от генеральной средней не превосходит 
секунд, если среднее квадратичное отклонение длительности одного разговора равно минутам?
181. Производится выборочное обследование возраста читателей массовых библиотек. Сколько карточек необходимо взять для обследования, чтобы с вероятностью можно было бы утверждать, что средний возраст в выборочной совокупности отклонится от генерального среднего не более, чем на 2 года? Генеральное среднее квадратичное принять равным 
годам.
Дата добавления: 2018-05-02; просмотров: 2634; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!