Дискретные случайные величины

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Классическая формула сложения вероятностей 1. Независимо друг от друга 5 человек садятся в поезд, содержащий 13 вагонов. Найдите вероятность того, что все они поедут в разных вагонах. 2. В партии из 13 деталей имеется 8 стандартных. Наудачу отобраны 7 деталей. Найдите вероятность того, что среди отобранных деталей ровно 5 стандартных. 3. В киоске продается 9 лотерейных билетов, из которых число выигрышных составляет 3 штуки. Студент купил 4 билета. Какова вероятность того, что число выигрышных среди них будет не меньше 2, но не больше 3? Всего Выигрыш Проигрыш Было 9 3 6 Отобрано 1 4 2 2 Отобрано 2 4 3 1 4. В группе учатся 13 юношей и 9 девушек. Для дежурства случайным образом отобраны три студента. Найдите вероятность того, что все дежурные окажутся юношами. 5. Имеется 25 экзаменационных билетов, на каждом из которых напечатано условие некоторой задачи. В 15 билетах задачи по статистике, а в остальных 10 билетах задачи по теории вероятностей. Трое студентов выбирают наудачу по одному билету. Найдите вероятность того, что хотя бы одному из них не достанется задачи по теории вероятностей. 6. В ящике 3 белых и 4 черных шаров. Найдите вероятность того, что из двух вынутых наудачу шаров один белый, а другой черный. Вынутый шар в урну не возвращается. 7. В ящике 12 шаров, из них 3 белых, а остальные – черные. Из ящика наугад берут 5 шаров. Какова вероятность, что среди выбранных есть хотя бы один белый шар? ● Геометрические вероятности 8. В квадрат со стороной 15м случайным образом вбрасывается точка. Найдите вероятность того, что эта точка окажется в правой верхней четверти квадрата или не далее, чем на 2м от центра квадрата. 9. На отрезок длины 240 наудачу поставлена точка . Найдите вероятность того, что меньший из отрезков и имеет длину большую, чем 48. 10. На отрезок длины 120 наудачу поставлена точка . Найдите вероятность того, что меньший из отрезков и имеет длину меньшую, чем 30. 11. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 20 и 100 соответственно. Найдите вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет также и в кольцо, образованное построенными окружностями. 12. Внутрь круга радиуса 50 наудачу брошена точка. Какова вероятность того, что точка окажется внутри вписанного в круг квадрата? правильного треугольника? правильного шестиугольника? 13. Двое договорились о встрече между 6 и 7 часами утра, причем договорились ждать друг друга не более 5 минут. Считая, что момент прихода на встречу выбирается каждым наудачу в пределах указанного часа, найти вероятность того, что встреча состоится. 14. В шар радиуса 150 наудачу бросаются 2 точки. Найдите вероятность того, что расстояние от центра шара до ближайшей точки будет не меньше 120. 15. В круг радиуса 150 наудачу бросаются 4 точки. Найдите вероятность того, что расстояние от центра круга до ближайшей точки будет не меньше 75. 16. В шар радиуса 100 наудачу бросаются 4 точки. Найдите вероятность того, что расстояние от центра шара до самой удаленной точки будет не больше 50. ● Правила сложения и умножения вероятностей 17. Пусть – вероятности событий. Найдите наименьшую возможную вероятность события . 18. Вероятность события , , Найдите наименьшую возможную вероятность события . 19. В электрическую цепь последовательно включены три элемента, работающие независимо один от другого. Вероятности отказов первого, второго и третьего элементов соответственно равны , и . Найдите вероятность того, что тока в цепи не будет. А-событие, сост. в том, что тока нет -событие, сост. в том, что ток есть =В1,В2,В3 Вi-событие, сост. в том, что прибор исправен 20. Вероятность хотя бы одного попадания в мишень при 9 выстрелах равна 0.81. Найдите вероятность попадания при одном выстреле. А-событие, сост. в том, что при 9 выстрелах в мишень попадут 1 раз P(A)=0.81 А с чертой – событие, сост. в том, что в мишень не попали ни разу Вероятность непопадания при 1 выстреле След, вероятность попадания 1 выстрела 21. Пассажир подходит к остановке автобусов двух маршрутов. Интервал движения автобусов 1-го маршрута составляет мин., а 2-го маршрута – мин. Найдите вероятность того, что пассажир уедет с остановки не позднее, чем через мин., считая, что его устроит автобус как 1-го, так и 2-го маршрутов. А-событие, сост. В том, что уедет не позднее, чем через 6 мин -опоздает В-1 авт. Прибудет позднее 6 мин С – 2 авт. Прибудет позднее 6 мин 22. В ящике 8 белых и 13 черных шаров. Два игрока поочередно извлекают по шару, каждый раз возвращая его обратно. Выигрывает тот, кто первым вытащит белый шар. Какова вероятность выигрыша для начинающего игру? А-событие, сост. в том, что достали белый шар 23. Вероятность того, что при одном измерении некоторой физической величины допущена ошибка, равна 0.05. Найдите наименьшее число измерений, которые необходимо произвести, чтобы с вероятностью можно было ожидать, что хотя бы один результат измерений окажется неверным. А-хотя бы 1 раз результат окажется неверным А с чертой- все верны А с чертой= В1, …Вn Bi- где i результат верен ● Формула полной вероятности. Формула Байеса 24. В ящике содержатся деталей, изготовленных на заводе 1, деталей – на заводе 2 и деталей – заводе 3. Вероятности изготовления брака на заводах с номерами 1, 2 и 3 соответственно равны , и . Найдите вероятность того, что извлеченная наудачу деталь окажется качественной. Hi- гипотеза, что деталь изготовлена на i заводе P(Hi)-вероятность того, что деталь изготовлена на 1 заводе 25. В урну, содержащую шаров, опущен белый шар, после чего наудачу извлечен один шар. Найдите вероятность того, что извлеченный шар окажется белым, если равновероятны все возможные предположения о первоначальном количестве белых шаров в урне. Hi-первоначально в урне i белых шаров i=0,….20 А- событие, сост, в том, что извлечен белый шар 26. В первой урне 5 белых и 3 черных шара, во второй – 6 белых и 9 черных. Из второй урны случайным образом перекладывают в первую два шара, после чего из первой урны берут один шар. Какова вероятность того, что этот шар – белый? 27. С первого станка-автомата на сборочный конвейер поступает деталей, со 2-го и 3-го – по и соответственно. Вероятности выдачи бракованных деталей составляют для каждого из них соответственно , и . Найдите вероятность того, что поступившая на сборку деталь окажется бракованной, а также вероятности того, что она изготовлена на 1-м, 2-м и 3-м станках-автоматах, при условии, что она оказалась бракованной. 28. Имеется три одинаковых по виду ящика. В первом ящике 23 белых шара, во втором – 9 белых и 14 черных шаров, в третьем – 23 черных шара. Из выбранного наугад ящика вынули белый шар. Найдите вероятность того, что шар вынут из второго ящика. 1 ящик 2 ящик 3 ящик Кол-во шаров 23 23 23 % шаров ко всем 1/3 1/3 1/3 Кол-во белых шаров 23 9 0 % белых шаров к ящику 1 9/23 0 29. В среднем из 100 клиентов банка 53 обслуживаются первым операционистом и 47 – вторым. Вероятности того, что клиент будет обслужен без помощи заведующего отделением, только самим операционистом, составляет и соответственно для первого и второго служащих банка. Какова вероятность, что клиент, для обслуживания которого потребовалась помощь заведующего, был направлен к первому операционисту? n1-1-ый операционист n2-2-ой операционист А-событие, сост. в том, что, что потребуется помощь заведующего 30. Имеется 13 монет, из которых 3 штуки бракованные: вследствие заводского брака на этих монетах с обеих сторон отчеканен герб. Наугад выбранную монету, не разглядывая, бросают 9 раз, причем при всех бросаниях она ложится гербом вверх. Найдите вероятность того, что была выбрана монета с двумя гербами. H1-монета хорошая H2 – бракованная монета А-событие, состю в том, что при всех бросании монета легла гербом 31. Детали, изготовленные в цехе, попадают к одному из 2-х контролёров. Вероятность того, что деталь попадёт к 1-му контролёру, равна 0,8; ко 2-му – 0,2. Вероятность того, что годная деталь будет признана стандартной 1-м контролёром равна 0,96; 2-м контролёром – 0,98. Годная деталь при проверке оказалась стандартной. Найдите вероятность того, что эту деталь проверял 1-й контролёр. 32. Пассажир может обратиться за получением билета в одну из трёх касс (А,B,C). Вероятности обращения в каждую кассу зависят от их местонахождения и равны соответственно 0,4;0,5 и 0,1. Вероятности того, что к моменту прихода пассажира, имеющиеся в кассе билеты распроданы равны соответственно 0,4; 0,3 и 0,1. Найдите вероятность того, что билет куплен. В какой из касс это могло произойти с наибольшей вероятностью? 33. В первой урне белых и черных шаров, во второй – белых и черных. Из второй урны случайным образом перекладывают в первую два шара, после чего из первой урны берут один шар, который оказывается белым. Какова вероятность того, что два шара, переложенные из второй урны в первую, были разных цветов? ●Схема Бернулли. Числа . Наиболее вероятное число успехов 34. Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна . Сделано выстрелов. Найдите вероятность того, что в цель попали менее трех раз. 35. Отрезок длины поделен на две части длины и соответственно, точек последовательно бросают случайным образом на этот отрезок. Найдите вероятность того, что количество точек, попавших на отрезок длины будет больше или меньше . М-событие, сост. в том, что на отрезок АС попало не менее 2 точек М с чертой – событие, сост. в том, что попало 2 точки Р – вероятность попадания на АС при 1 бросании 36. Вероятность попадания стрелком в цель равна . Сделано выстрелов. Определите наивероятнейшее число попаданий в цель. ● Схема Бернулли. Приближенные формулы Лапласа и Пуассона 37. Вероятность выпуска бракованного изделия равна . Найдите вероятность того, что среди выпущенных изделий ровно изделий без брака. 38. Вероятность выпуска бракованного изделия равна . Найдите вероятность того, что среди выпущенных изделий будет хотя бы одно, но не более бракованных изделий. 39. Всхожесть семян данного растения равна . Найдите вероятность того, что из посаженных семян число проросших семян заключено между и . 40. Прядильщица обслуживает веретен. Вероятность обрыва нити на одном веретене в течение 1 минуты равна . Найдите вероятность того, что в течение одной минуты обрыв произойдет более чем на веретенах. 41. Завод отправил на базу доброкачественных изделий. Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна . Какова вероятность того, что на базу поступят некачественных изделия? 42. При введении вакцины против полиомиелита иммунитет создается в случаях. Определите вероятность того, что из вакцинированных детей заболеют .

Дискретные случайные величины

● Закон распределения случайной величины

43. Случайная величина принимает только целые значения . При этом вероятности возможных значений пропорциональны значениям: . Найдите значение константы и вероятность .

X	1	2	3	….	k	…	28
P	c	2c	3c	….	kc	…	28c

C(1+2+…+28)=1

44. Случайная величина принимает только целые неотрицательные значения . При этом . Найдите значение константы и вероятность .

X	0	1	2	…	k
P	c	c/6	c/6^2	…	c/6^k

● Независимые дискретные случайные величины

45. Независимые дискретные случайные величины принимают только целые значения: – от до с вероятностью , – от до с вероятностью . Найдите вероятность .

46. Независимые случайные величины принимают только целые значения: – от до с вероятностью , – от до с вероятностью . Найдите вероятность .

47. Независимые случайные величины принимают только целые значения: – от до с вероятностью , – от до с вероятностью . Найдите вероятность .

48. Независимые случайные величины принимают только целые значения: – от до с вероятностью , – от до с вероятностью . Найдите вероятность .

49. Независимые случайные величины и принимают только целые значения: – от до , – от до . Найдите , если известно, что возможные значения и равновероятны.

50. Независимые случайные величины принимают только целые значения: – от до с вероятностью , – от до с вероятностью . Найдите .

51. Независимые случайные величины принимают только целые значения от до . Найдите вероятность , если известно, что все возможные значения равновероятны.

52. Независимые случайные величины принимают только целые значения: – от до с вероятностью , – от до с вероятностью , – от до с вероятностью . Найдите вероятность того, что примут разные значения.

53. Независимые случайные величины принимают только целые значения: – от до с вероятностью , – от до с вероятностью , – от до с вероятностью . Найдите вероятность .

● Математическое ожидание и дисперсия дискретной случайной величины

54. Распределение дискретной случайной величины задано таблицей

Найдите математическое ожидание и вероятность .

55. Дискретная случайная величина принимает только целые значения , каждое с вероятностью . Найдите математическое ожидание и вероятность .

56. Распределение дискретной случайной величины задано таблицей

Найдите дисперсию .

57. Распределение случайной величины задано таблицей

Найдите математическое ожидание , среднее квадратичное отклонение и вероятность .

58. Для случайной величины известно, что . Найдите дисперсию .

59. Независимые дискретные случайные величины могут принимать только значения и . При этом , . Найдите математическое ожидание .

X	0	1	Y	0	1
P	0.1	0.9	P	0.9	0.1

60. Независимые дискретные случайные величины могут принимать только значения и . При этом , . Найдите математическое ожидание .

X	0	1	Y	0	1
P	0.1	0.9	P	0.6	0.4

61. Дискретные случайные величины распределены по закону, заданному таблицей

Найдите математическое ожидание .

62. Независимые случайные величины принимают только целые значения . Найдите математическое ожидание , если известно, что возможные значения равновероятны.

63. Для независимых случайных величин известно, что их математические ожидания , дисперсии , . Найдите дисперсию произведения .

64. Независимые случайные величины могут принимать только значения и . При этом , . Найдите математическое ожидание .

Xi	0	1
P	0.9	0.1

65. Независимые случайные величины могут принимать только значения и . При этом , . Найдите математическое ожидание .

66. Вероятность выигрыша рублей в одной партии равна , вероятность проигрыша рублей равна . Найдите дисперсию капитала игрока после партий.

● Основные дискретные законы распределения и их характеристики

67. На плоскости начерчены две окружности, радиусы которых и соответственно. Меньшая окружность содержится внутри большего круга. В большой круг наудачу бросают точек. Пусть случайная величина – число точек, попавших в малый круг. Вычислите математическое ожидание и дисперсию .

68. Производится независимых испытаний, состоящих в том, что одновременно подбрасываются монет. Пусть – число испытаний, в которых выпало герба. Найдите математическое ожидание .

– число испытаний, в которых выпало герба.

69. Случайные величины распределены по биномиальному

закону с параметрами и . Найдите математическое ожидание .

70. Случайные величины независимы и распределены по биномиальному закону с параметрами и . Найдите математическое ожидание .

71. Отрезок длины поделен на две части длины и соответственно. Наудачу точек последовательно бросают на отрезок. – случайная величина, равная числу точек, попавших на отрезок длины . Найдите математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение величины .

72. Производится независимых испытаний, в каждом из которых подбрасываются игральные кости. Пусть – число испытаний, в которых все выпавшие цифры оказались . Найдите дисперсию .

73. Производится независимых испытаний с вероятностью успеха в каждом испытании. Пусть – число успехов в испытаниях с номерами , – число успехов в испытаниях с номерами . Найдите дисперсию .

U- число успехов в испытаниях с номерами 1,2,3,4

V- число успехов в испытаниях с номерами 5,6,7

W- число успехов в испытаниях с номерами 8.9.10.

Каждая из величин имеет биномиальное распределение

74. На плоскости начерчены два квадрата, стороны которых и соответственно. Меньший квадрат содержится внутри большего квадрата. В большой квадрат случайным образом бросают точки до тех пор, пока не попадут в маленький квадрат. Пусть случайная величина – число бросаний. Найдите математическое ожидание и дисперсию .

Геометрическое распределение

75. В спортивной лотерее каждую неделю на 100 билетов разыгрывается палаток и рюкзаков. Турист решил каждую неделю покупать по одному билету до тех пор, пока он не выиграет палатку и рюкзак. Найдите среднее время реализации данного намерения (время измеряется в неделях).

T-время ожидания

T=T1+T2

T1, T2-независимы

Т1-время ожидания 1-го выигрыша

Т2-время ожидания др. выигрыша

76. В серии независимых испытаний, которые проводятся с частотой одно испытание в единицу времени, вероятность наступления события в одном испытании равна . Пусть – время ожидания наступления события раз (за все время ожидания). Найдите математическое ожидание и дисперсию .

Ti-время ожидания от (i-1)-ого до i-ого события

Геометрическое распределение

77. Случайные величины распределены по геометрическому закону с одинаковым математическим ожиданием, равным . Найдите математическое ожидание .

78. Случайные величины независимы и распределены по геометрическому закону с одинаковым математическим ожиданием, равным . Найдите математическое ожидание .

79. Случайные величины распределены по геометрическому закону. Найдите дисперсию , если их математические ожидания равны , а коэффициент корреляции и равен .

80. Случайная составляющая выручки равна , где – биномиальная случайная величина с параметрами и . Случайная составляющая затрат имеет вид , где – пуассоновская случайная величина. Найдите дисперсию прибыли, считая, что и – независимы, а .

81. Для пуассоновской случайной величины отношение . Найдите математическое ожидание .

● Ковариация и коэффициент корреляции

82. Даны математические ожидания случайных величин и : , , их дисперсии , и ковариация Cov . Найдите математическое ожидание и дисперсию .

83. Случайные величины принимают только значения и . Найдите дисперсию , если вероятности , а коэффициент корреляции и равен .

X	1	0	Y	1	0
P	0.5	0.5	P	0.5	0.5

84. Для случайных величин даны их математические ожидания и дисперсии , , а также коэффициент корреляции . Найдите математическое ожидание .

85. Случайные величины распределены по закону Пуассона с одинаковым математическим ожиданием, равным . Найдите математическое ожидание .

86. Случайные величины независимы и распределены по закону Пуассона с одинаковым математическим ожиданием, равным . Найдите математическое ожидание .

87. Случайные величины распределены по закону Пуассона. Найдите , если и , а коэффициент корреляции и равен .

Дата добавления: 2018-05-02; просмотров: 1034; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!