Зависимость между современной величиной и наращенной суммой ренты

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 2

Пусть A – современная величина годовой ренты постнумерандо, а S – ее наращенная стоимость к концу срока n, p = 1, m = 1.

Покажем, что наращение процентов на сумму A за n лет дает сумму, равную S:

(11)

Отсюда же следует, что дисконтирование S дает A:

Svⁿ=A, (12)

а коэффициент дисконтирования и наращения ренты связаны соотношениями:

(13)

(14)

Определение параметров финансовой ренты

Иногда при разработке контрактов возникает задача определения по заданной наращенной сумме ренты S или ее современной стоимости A остальных параметров ренты: R, n, i, p, m. Такие параметры как m и p обычно задаются по согласию двух подписывающих сторон. Остаются параметры R, n, i. Два из них задаются, а третий рассчитывается.

Определение размера ежегодной суммы платежа R

В зависимости от того какая обобщающая характеристика постоянной ренты задана S или A, возможны два варианта расчета

R=S/s_n;i (15)

или

R=A/a_n;i(16)

Определение срока постоянной ренты

Рассмотрим решение этой задачи на примере обычной годовой ренты с постоянными заданными платежами. Решая исходные формулы для S и A

относительно срока n, получаем соответственно следующие два выражения

b (17)

Последнее выражение, очевидно, имеет смысл только при R>Ai.

Определение ставки процентов

Для того, чтобы найти ставку i, необходимо решить одно из нелинейных уравнений (опять предполагаем, что речь идет о постоянной годовой ренте постнумерандо) следующего вида

которые эквивалентны двум другим

и (18)

В этих уравнениях единственным неизвестным является процентная ставка i. Решение нелинейных уравнений может быть найдено лишь приближенно. Известно несколько методов решения таких уравнений: метод линейной интерполяции, метод Ньютона-Рафсона и др. Рассмотрим первый из них.

Метод линейной интерполяции

Прежде всего нужно найти с помощью прикидочных расчетов нижнюю (i_н) и верхнюю (i_в) оценки ставки. Это осуществляется путем подстановки в одну из формул (18) различных числовых значений i и сравнения результата с правой частью выражения. Далее корректировка нижнего значения ставки производится по следующей интерполяционной формуле

(19)

в которой s_в и s_в – значения коэффициента наращения (или коэффициента приведения) ренты для процентных ставок i_н и i_в соответственно. Полученное значение ставки проверяют, подставляя его в левую часть исходного уравнения и сравнивая результат с правой частью. Если достигнутая точность недостаточна, повторно применяют формулу (19), заменив в ней значение одной из приближенных оценок ставки на более точное, найденное на предыдущей итерации, и соответствующее ей значение множителя наращения (или приведения).

Другие виды постоянных рент

Вечная рента

Под вечной рентой понимается последовательность платежей, число членов которой не ограничено, то есть она выплачивается бесконечное число лет (например, выплаты по бессрочным облигационным займам). В этом случае наращенная сумма с течением времени возрастает бесконечно. А вот современная величина имеет вполне определенное конечное значение.

Рассмотрим, например, бесконечную постоянную годовую ренту постнумерандо (p=1, m=1).

Приn→∞

В общем случае, когда p ≥ 1, m ≥ 1

при n→∞ =

Если же p ≥ 1, m ≥ 1 и p = m, то

при n→∞ =

Отложенная рента

Начало отложенной (или отсроченной) ренты отодвигается от момента заключения сделки на какой-то момент в будущем. Наращенная сумма такой ренты может быть подсчитана по тем формулам, которые нам уже известны. А ее современную величину можно определить в два этапа: сначала найти современную величину соответствующей немедленной ренты (эта сумма характеризует ренту на момент начала ее срока), а затем с помощью дисконтирования этой величины по принятой ставке в течение срока задержки привести ее к моменту заключения договора.

Например, если современная величина годовой немедленной ренты равна A, то современная величина отложенной на t лет ренты составит

A_t=Av^t,

где v^t – дисконтный множитель за t лет, v = 1/(1 + i) < 1.

Рента пренумерандо

Рассмотрим теперь ренту, когда платежи производятся в начале каждого периода, – ренту пренумерандо. Различие между рентой постнумерандо и рентой пренумерандо заключается лишь в том, что у последней на один период начисления процентов больше. В остальном структура потоков с одинаковыми параметрами одинакова. Поэтому наращенные суммы обоих видов рент (с одинаковой периодичностью платежей и начисления процентов и размером выплат) тесно связаны между собой.

Если обозначить через S_pнаращенную сумму ренты пренумерандо, а через S, как и раньше, наращенную сумму соответствующей ренты постнумерандо, то в самом общем случае получим

S_p=S(1+j/m)^m^/^p.

Точно также для современной величины ренты пренумерандо и соответствующей ей ренты постнумерандо имеем следующее соотношение

A_p=A (1+j/m)^m^/^p.

Рента с платежами в середине периодов

Наращенная сумма (S_1/2) и современная стоимость (A_1/2) ренты с платежами в середине периодов и соответствующей ренты постнумерандо связаны так

S_1/2=S(1+j/m)^m/pи A_1/2=A(1+j/m)^m/(2p).

Конверсия аннуитетов

В практике иногда возникает необходимость изменить условия финансового соглашения, предусматривающего выплату аннуитетов, то есть конвертировать ренту. Рассмотрим некоторые типичные ситуации.

Выкуп ренты

Выкуп ренты представляет собой замену предстоящей последовательности выплат единовременным платежом. Из принципа финансовой эквивалентности следует, что в этом случае вместо ренты выплачивается ее современная величина.

Рассрочка платежей

Это замена единовременного платежа аннуитетом. Для соблюдения принципа финансовой эквивалентности современную величину ренты следует приравнять величине заменяемого платежа. Далее задача обычно сводится к определению члена ренты или ее срока при остальных заданных параметрах.

Замена немедленной ренты на отсроченную

Пусть имеется годовая немедленная рента с параметрами R₁, n₁, i и ее необходимо заменить на отсроченную на t лет ренту, то есть начало ренты сдвигается на t лет. Обозначим параметры отложенной ренты как R₂, n₂, i. Ставку процентов при этом будем считать неизменной. Тогда может быть два типа расчетных задач.

1. Задан срок n₂, требуется определить размер R₂.

Исходим из принципа финансовой эквивалентности результатов, то есть из равенства современных стоимостей заменяемого и заменяющего потоков: A₁=A₂. Раскрывая это равенство, получаем

R₁a_n_1,_i= R₂a_n_2,_iv^-^t

тоесть

В частном случае, когда n1=n2=n, решение упрощается и принимает следующий вид

R₂=R₁(1+i)^t

2. Размеры платежей заданы, требуется определить срок n₂. Рассмотрим частный случай, когда платежи годовой ренты остаются теми же R₂=R₁=R.

Исходя из равенства современных стоимостей,

Ra_n1,i= Ra_n2,iv^-t

Где

последовательно приходим к выражению

Изменение продолжительности ренты

Пусть имеется годовая обычная рента, и у партнеров есть договоренность об изменении срока ренты, то есть вместо срока n1, принят новый срок n2. Тогда для эквивалентости финансовых результатов требуется изменение и размера платежа. Найдем его из равенства

R₁a_n_1,_i= R₂a_n_2,_i

из которого следует, что

Общий случай изменения параметров ренты

В случае одновременного изменения нескольких параметров ренты, исходим из равенства A₁=A₂. Если рассматривается годовая рента, то приводится к виду

где A₁ подсчитывается заранее, t – период (возможной) отсрочки, ряд параметров задается по согласованию сторон, и один параметр находится из этого уравнения.

Объединение рент

В случае объединения (консолидации) нескольких рент в одну из принципа финансовой эквивалентности обязательств до и после операции следует, что

где A- современная величина заменяющей ренты, Ak – современная величина k-ой объединяемой ренты.

Изучение темы “Финансовые ренты (аннуитеты)” должно познакомить студентов с определением потока платежей, финансовой ренты, основными параметрами ренты классификацией рент, областью их применения. Методами расчета параметров постоянных и переменных рент.

Изучив эту тему, студенты должны:

знать:

• Основные понятия и определения величин, используемых в анализе финансовых потоков

• Область применения рент

• Классификацию рент

• Обобщающие характеристики рент

• Параметры рент

• Формулы расчета наращенной суммы постоянной ренты постнумерандо при различной частоте начисления процентов и следования платежей

• Формулы расчета современной стоимости постоянной ренты постнумерандо при различной частоте начисления процентов и следования платежей

• Расчет других видов постоянной ренты: ренты пренумерандо, вечной ренты, отложенной ренты

• Переменные ренты

• Конверсию аннуитетов

уметь:

• Правильно интерпретировать параметры постоянной и переменной ренты

• Производить вычисления любого параметра ренты по заданным остальным

• Различать ренты постнумерандо и пренумерандо, постоянные и переменные, немедленные и отложенные и т.п.

• Находить новые параметры ренты в операциях по конверсии аннуитетов

получить навыки:

• Адекватного применения формул расчета постоянных и переменных рент, рент постнумерандо и пренумерандо, немедленных и отложенных, ограниченных и вечных

• Правильной интерпретации исходных данных и полученных результатов

• Использования для расчетов калькуляторов (для финансовых или научных расчетов) и компьютеров

Ссылки на учебный материал

• Четыркин Е.М. Финансовая математика. - М: Дело. – 6-е изд. – 2006.

• Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов. - 2-изд. испр. и доп. - М.: Дело Лтд, 1995. - 320 с.

• Лукашин Ю.П. Финансовая математика. Учебное пособие. - М.: МЭСИ, 2007.

• Лукасевич И.Я. Анализ финансовых операций. Методы, модели, техника вычислений. Учеб. пособие. - М.: Финансы, ЮНИТИ, 1998. - 400с.

Задания для самооценки

• Дайте определение финансовых потоков и ренты

• Дайте классификацию финансовых рент

Ответьте на вопросы:

• Какими параметрами характеризуется финансовая рента?

• Что такое постоянная рента?

• Что такое переменная рента?

• Что такое рента постнумерандо и рента пренумерандо?

• Что такое немедленная и отложенная рента?

• Каковы принципы эквивалентного пересмотра параметров

ренты?

• Что такое ограниченная и вечная рента?

• Когда на практике применяются формулы расчета вечной

ренты?

Задачи «Потоки платежей»

Вариант	Задача	Вариант	Задача
1	1, 11, 21, 31, 41	8	8, 18, 28, 38, 48
2	2, 12, 22, 32, 42	9	9, 19, 29, 39, 49
3	3, 13, 23, 33, 43	10	10, 20, 30, 40, 50
4	4, 14, 24, 34, 44	11	5, 12, 25, 37, 41
5	5, 15, 25, 35, 45	12	4, 18, 22, 35, 42
6	6, 16, 26, 36, 46	13	1, 14, 26, 38, 43
7	7, 17, 27, 37, 47	14	2, 16, 29, 33, 44

Задача 1

Инвестиции производятся на протяжении 4 лет один раз в конце года по 2 млн. руб. Ставка сложных процентов 17% годовых. Найти сумму инвестиций к концу срока.

Задача 2

Найти наращенную сумму годовой ренты, если проценты начисляются по номинальной ставке 16% ежемесячно, член ренты 50 000 руб., срок ренты 4 года.

Задача 3

Для формирования фонда ежеквартально делаются взносы по 100 000 руб., Проценты начисляются один раз в год по ставке 17%. Найти величину накопленного фонда к концу пятилетнего срока.

Задача 4

Для формирования фонда ежеквартально делаются взносы по 100 000 руб., Проценты начисляются ежемесячно по номинальной ставке 17%. Найти величину накопленного фонда к концу пятилетнего срока. Полученную сумму сравните с результатом предыдущей задачи.

Задача 5

Инвестиции производятся на протяжении 4 лет один раз в конце года по 2 млн. руб. Ставка сложных процентов 17% годовых. Найти современную стоимость инвестиций.

Задача 6

Найти современную стоимость годовой ренты, если проценты начисляются по номинальной ставке 16% ежемесячно, член ренты 50 000 руб., срок ренты 4 года.

Задача 7

Для формирования фонда ежеквартально делаются взносы по 100 000 руб., Проценты начисляются один раз в год по ставке 17%. Найти современную стоимость фонда, который будет накоплен к концу пятилетнего срока.

Задача 8

Для формирования фонда ежеквартально делаются взносы по 100 000 руб., Проценты начисляются ежемесячно по номинальной ставке 17%. Найти современную стоимость фонда, накопленного к концу пятилетнего срока. Полученную сумму сравните с результатом предыдущей задачи.

Задача 9

Определите размер равных ежегодных взносов, которые необходимо делать для погашения долга через 3 года в размере 1 млн. руб., если ставка сложных процентов 17% годовых.

Задача 10

Определите размер равных ежегодных взносов, которые необходимо делать для погашения в течение 3 лет текущего долга в размере 1 млн. руб., если ставка сложных процентов 17% годовых.

Задача 11

За счет привлеченных средств сделаны инвестиции в размере 10 млн. руб. расчетная отдача от них составляет по 2,2 млн. руб. в конце каждого года. За какой срок окупятся инвестиции, если на долг начисляются проценты по квартальной ставке 4%?

Задача 12

При какой минимальной ставке процентов удастся за 5 лет создать фонд в 1 млн. руб., если ежемесячные взносы планируются в размере 10 тыс. руб. Задачу решить методом линейной интерполяции.

Задача 13

При какой минимальной ставке процентов удастся за 7 лет создать фонд в 1,5 млн. руб., если ежемесячные взносы планируются в размере 12 тыс. руб. Задачу решить методом линейной интерполяции.

Задача 14

Кредит в объеме 200 млн. руб. выдается на 50 мес. под 18% годовых. Контракт предусматривает погашение кредита и процентов по нему равными ежемесячными платежами. Начисление процентов также ежемесячное. Рассчитайте размер каждого такого платежа, дайте разбивку этих платежей на сумму погашения и на сумму процентов. Постойте график изменения долга во времени.

Задача 15

Кредит в размере 200 млн. руб. выдается на 50 месяцев под 18% годовых. Контракт предусматривает погашение кредита равными суммами ежемесячно и начисление процентов также помесячно на остаток долга. Рассчитайте ежемесячные погасительные платежи, идущие на обслуживание долга. По стройте график погасительных платежей.

Задача 16

Договор предусматривает выплату взносов в течение 5 лет, увеличивая их каждый год на 2 млн. руб. Первый взнос составляет 10 млн. руб. Ставка равна 18% годовых. Платежи и начисление процентов производится один раз в конце каждого года. Найдите современную величину ренты и наращенную величину фонда в конце срока.

Задача 17

Платежи увеличиваются в течение 2 лет ежеквартально на 25 тыс. руб. Первый взнос 100 тыс. руб. Проценты начисляются по годовой ставке 16% ежеквартально. Чему равна современная стоимость и наращенная сумма платежей.

Задача 18

Кредит дан в размере 20 млн. руб. на 3 года, который предполагается погашать по схеме ренты с постоянным приростом платежей. Платежи и начисление процентов на остаток долга производятся один раз в конце каждого года, ставка 16% годовых. Величина прироста составляет ¹/₄ от размера первого платежа. Определить размеры платежей в конце каждого года, то есть составьте план (график) погашения долга.

Задача 19

Кредит предоставлен в размере 10 млн. руб. на срок 3 года, под ставку 18% годовых. Погасительные платежи предполагаются один раз в конце каждого года, проценты также начисляются один раз в год. Первый платеж установлен в размере 2 млн. руб. Остальные возрастают постоянным темпом. Определить размеры всех платежей, проверить точность расчетов, если потребуется, уточните последний платеж.

Задача 20

Кредит предоставлен в размере 10 млн. руб. на срок 3 года под ставку 18% годовых. Погасительные платежи предполагаются в конце каждого месяца, проценты также начисляются помесячно. Первый платеж согласован в размере 200 тыс. руб. Остальные возрастают постоянным темпом. Определить все платежи. Проверить точность расчетов, если нужно, скорректируйте последний платеж.

Задача 21

Замените эквивалентным образом годовую ренту постнумерандо с платежами по 1 млн. руб., сроком 3 года, на отложенную на 1 год ренту с тем же сроком выплат. Ставка 18% годовых.

Задача 22

Замените эквивалентным образом годовую ренту постнумерандо с платежами по 2 млн. руб., сроком 3 года, на отложенную на 2 года ренту с теми же ежегодными платежами. Ставка 18% годовых. В случае необходимости, скорректируйте последний платеж.

Задача 23

Задан следующий денежный поток инвестиционного проекта (в тыс. руб.):

Год	1	2	3	4	5
Сумма	-100	-200	50	200	200

Рассчитайте суммарную приведенную стоимость денежных потоков этого проекта, если ставка дисконтирования равна 15%, все суммы выплачиваются и поступают в конце год

Задача 24

Инвестиции производятся на протяжении 5 лет два раза в год по 5 млн. руб. Ставка сложных процентов 15% годовых. Найти сумму инвестиций к концу срока.

Задача 25

Найти наращенную сумму годовой ренты, если проценты начисляются по номинальной ставке 12% ежемесячно, член ренты 4 000 руб., срок ренты 3 года.

Задача 26

Для формирования фонда ежемесячно делаются взносы по 12 000 руб., Проценты начисляются два раза в год по ставке 12%. Найти величину накопленного фонда к концу пятилетнего срока.

Задача 27

Для формирования фонда ежеквартально делаются взносы по 15 000 руб., Проценты начисляются ежемесячно по номинальной ставке 10%. Найти величину накопленного фонда к концу пятилетнего срока.

Задача 28

Инвестиции производятся на протяжении 5 лет один раз в конце года по 1,5 млн. руб. Ставка сложных процентов 12% годовых. Найти современную стоимость инвестиций.

Задача 29

Найти современную стоимость годовой ренты, если проценты начисляются по номинальной ставке 10% ежемесячно, член ренты 5 000 руб., срок ренты 24 года.

Задача 30

Для формирования фонда ежемесячно делаются взносы по 13 500 руб., Проценты начисляются один раз в год по ставке 11%. Найти современную стоимость фонда, который будет накоплен к концу пятилетнего срока.

Задача 31

Для формирования фонда ежеквартально делаются взносы по 12 300 руб., Проценты начисляются ежемесячно по номинальной ставке 16%. Найти современную стоимость фонда, накопленного к концу пятилетнего срока.

Задача 32

Определите размер равных ежегодных взносов, которые необходимо делать для погашения долга через 5 лет в размере 2,5 млн. руб., если ставка сложных процентов 12% годовых.

Задача 33

Определите размер равных ежемесячных взносов, которые необходимо делать для погашения в течение 5 лет текущего долга в размере 1,8 млн. руб., если ставка сложных процентов 13% годовых.

Задача 34

За счет привлеченных средств сделаны инвестиции в размере 15 млн. руб. расчетная отдача от них составляет по 3,5 млн. руб. в конце каждого года. За какой срок окупятся инвестиции, если на долг начисляются проценты по квартальной ставке 3,5%?

Задача 35

При какой минимальной ставке процентов удастся за 6 лет создать фонд в 2 млн. руб., если ежемесячные взносы планируются в размере 12 тыс. руб. Задачу решить методом линейной интерполяции.

Задача 36

При какой минимальной ставке процентов удастся за 9 лет создать фонд в 4,5 млн. руб., если ежемесячные взносы планируются в размере 10 тыс. руб. Задачу решить методом линейной интерполяции.

Задача 37

Кредит в объеме 100 млн. руб. выдается на 60 мес. под 17% годовых. Контракт предусматривает погашение кредита и процентов по нему равными ежемесячными платежами. Начисление процентов также ежемесячное. Рассчитайте размер каждого такого платежа, дайте разбивку этих платежей на сумму погашения и на сумму процентов. Постойте график изменения долга во времени.

Задача 38

Кредит в размере 100 млн. руб. выдается на 60 месяцев под 17% годовых. Контракт предусматривает погашение кредита равными суммами ежемесячно и начисление процентов также помесячно на остаток долга. Рассчитайте ежемесячные погасительные платежи, идущие на обслуживание долга. По стройте график погасительных платежей.

Задача 39

Договор предусматривает выплату взносов в течение 4 лет, увеличивая их каждый год на 1,2 млн. руб. Первый взнос составляет 6 млн. руб. Ставка равна 15% годовых. Платежи и начисление процентов производится один раз в конце каждого года. Найдите современную величину ренты и наращенную величину фонда в конце срока.

Задача 40

Платежи увеличиваются в течение 4 лет ежеквартально на 15 тыс. руб. Первый взнос 100 тыс. руб. Проценты начисляются по годовой ставке 12% ежеквартально. Чему равна современная стоимость и наращенная сумма платежей.

Задача 41

Кредит дан в размере 20 млн. руб. на 4 года, который предполагается погашать по схеме ренты с постоянным приростом платежей. Платежи и начисление процентов на остаток долга производятся один раз в конце каждого года, ставка 19% годовых. Величина прироста составляет ¹/₄ от размера первого платежа. Определить размеры платежей в конце каждого года, то есть составьте план (график) погашения долга.

Задача 42

Кредит предоставлен в размере 15 млн. руб. на срок 4 года, под ставку 17% годовых. Погасительные платежи предполагаются один раз в конце каждого года, проценты также начисляются один раз в год. Первый платеж установлен в размере 3 млн. руб. Остальные возрастают постоянным темпом. Определить размеры всех платежей, проверить точность расчетов, если потребуется, уточните последний платеж.

Задача 43

Кредит предоставлен в размере 12 млн. руб. на срок 3 года под ставку 16% годовых. Погасительные платежи предполагаются в конце каждого месяца, проценты также начисляются помесячно. Первый платеж согласован в размере 250 тыс. руб. Остальные возрастают постоянным темпом. Определить все платежи. Проверить точность расчетов, если нужно, скорректируйте последний платеж.

Задача 44

Замените эквивалентным образом годовую ренту постнумерандо с платежами по 1,5 млн. руб., сроком 4 года, на отложенную на 1 год ренту с тем же сроком выплат. Ставка 16% годовых.

Задача 45

Замените эквивалентным образом годовую ренту постнумерандо с платежами по 2,5 млн. руб., сроком 4 года, на отложенную на 2 года ренту с теми же ежегодными платежами. Ставка 19% годовых. В случае необходимости, скорректируйте последний платеж.

Задача 46

Задан следующий денежный поток инвестиционного проекта (в тыс. руб.):

Год	1	2	3	4	5
Сумма	-250	0	150	300	50

Рассчитайте суммарную приведенную стоимость денежных потоков этого проекта, если ставка дисконтирования равна 12%, все суммы выплачиваются и поступают в конце год

Задача 47

Для формирования фонда ежеквартально делаются взносы по 3 500 руб., Проценты начисляются два раза в год по ставке 12%. Найти современную стоимость фонда, который будет накоплен к концу шестилетнего срока.

Задача 48

Для формирования фонда ежеквартально делаются взносы по 8 500 руб., Проценты начисляются ежемесячно по номинальной ставке 10%. Найти современную стоимость фонда, накопленного к концу пятилетнего срока.

Задача 49

Определите размер равных ежеквартальных взносов, которые необходимо делать для погашения долга через 4 года в размере 5,5 млн. руб., если ставка сложных процентов 16% годовых.

Задача 50

Определите размер равных ежемесячных взносов, которые необходимо делать для погашения в течение 4 лет текущего долга в размере 2,8 млн. руб., если ставка сложных процентов 19% годовых.

Дата добавления: 2018-05-02; просмотров: 1606; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 12

Мы поможем в написании ваших работ!