Годовая рента, начисление процентов m раз в году
Практическая работа №3
Потоки платежей
Многие финансовые, кредитные и коммерческие операции предполагают выплату одной из сторон регулярных периодических платежей, которые образуют поток платежей. Такие потоки характеризуются рядом параметров, совокупность которых существенно влияет на доходность операции. К таким параметрам относятся: сумма платежа (размер регулярных инвестиций, взносов, выплат и т.п.), периодичность поступлений или выплат, способы начисления процентов, срок операции и т.д. Важнейшей задачей при этом является расчет конечных финансовых результатов, определение их чувствительности к значениям параметров, разработка условий соглашений, эквивалентное изменение условий контрактов и т.д.
Ряд последовательных выплат и поступлений называют потоком платежей. Выплаты представляются отрицательными величинами, а поступления – положительными.
Обобщающими характеристиками потока платежей являются наращенная сумма и современная величина. Каждая из этих характеристик является числом.
Наращенная сумма потока платежей это сумма всех членов последовательности платежей с начисленными на них процентами к концу срока ренты.
Под современной величиной потока платежей понимают сумму всех его членов, дисконтированных (приведенных) на некоторый момент времени, совпадающий с началом потока платежей или предшествующий ему.
|
|
|
Конкретный смысл этих обобщающих характеристик определяется природой потока платежей, причиной, его порождающей. Например, наращенная сумма может представлять собой итоговый размер формируемого инвестиционного или какого-либо другого фонда, общую сумму задолженности. Современная величина может характеризовать приведенную прибыль, приведенные издержки.
Поток платежей, все члены которого положительные величины, а временные интервалы постоянны, называют финансовой рентой или аннуитетом.
Финансовая рента имеет следующие параметры: член ренты – величина каждого отдельного платежа, период ренты – временной интервал между двумя соседними платежами, срок ренты – время, измеренное от начала финансовой ренты до конца ее последнего периода, процентная ставка– ставка, используемая при наращении или дисконтировании платежей, образующих ренту, число платежей в году, число начислений процентов в году, моменты платежа внутри периода ренты.
Классификация рент может быть произведена по различным признакам:
| Признак | Вид ренты | Характеристика | ||
| В зависимости от продолжительности периода | годовые | выплаты один раз в год | ||
| p-срочные | p – число выплат в году | |||
| По числу начислений процентов
| с начислением один в году | моменты начисления процентов могут не совпадать с моментами рентных платежей | ||
| m раз в год | ||||
| непрерывно | ||||
| По величине членов | постоянные | с равными членами | ||
| переменные | с изменяющимися выплатами | |||
| в т.ч. - размеры платежей изменяются по математическому закону | возможность вывести стандартные формулы, значительно упрощающие расчеты | |||
| По вероятности выплаты | верные | подлежат безусловной выплате, например, при погашении кредита | ||
| условные | выплата ренты ставится в зависимость от случайного события | |||
| По числу членов | с конечным числом | ограниченные во времени | ||
| бесконечные или вечные | не ограниченные во времени | |||
| По наличию сдвига момента начала ренты к началу действия контракта | немедленные | срок немедленных рент начинается сразу | ||
| отложенные или отсроченные | начало ренты сдвинуто во времени | |||
| По моменту выплаты платежей | обычные или постнумерандо | платежи осуществляются в конце каждого периода | ||
| пренумерандо | выплаты производятся в начале каждого периода | |||
| иногда предусматриваются платежи в середине каждого периода | ||||
Анализ потоков платежей в большинстве случаев предполагает расчет наращенной суммы или современной величины ренты.
|
|
|
Формулы наращенной суммы
Обычная годовая рента
Пусть в конце каждого года в течение n лет на расчетный счет вносится по R рублей, проценты начисляются один раз в год по ставке i. В этом случае первый взнос к концу срока ренты возрастет до величины R(1+i)n-1, так как на сумму R проценты начислялись в течение n-1 года. Второй взнос увеличится до R(1+i)n-2 и т.д. На последний взнос проценты не начисляются.
Таким образом, в конце срока ренты ее наращенная сумма будет равна сумме членов геометрической прогрессии
S=R+R(1+i)+R(1+i)2+. . . + R(1+i)n-1,
в которой первый член равен R, знаменатель (1+i), число членов n. Эта сумма равна
(1)
где
(2)
и называется коэффициентом наращения ренты. Он зависит только от срока ренты n и уровня процентной ставки i.
Пример 1
В течение 3 лет на расчетный счет в конце каждого года поступает по 10 млн. руб., на которые начисляются проценты по сложной годовой ставке 10%. Требуется определить сумму на расчетном счете к концу указанного срока.
Решение
Годовая рента, начисление процентов m раз в году
Посмотрим как усложнится формула, если предположить , что платежи делают один раз в конце года, а проценты начисляют m раз в году. Это означает, что применяется каждый раз ставка j/m, где j – номинальная ставка процентов. Тогда члены ренты с начисленными до конца срока процентами имеют вид
|
|
|
R(1+j/m)m(n-1), R(1+j/m)m(n-2), . . . , R.
Если прочитать предыдущую строку справа налево, то нетрудно увидеть, что перед нами опять геометрическая прогрессия, первым членом которой является R, знаменателем (1+j/m)m, а число членов n. Сумма членов этой прогрессии и будет наращенной суммой ренты. Она равна
(3)
Рента p-срочная, m=1
Найдем наращенную сумму при условии, что рента выплачивается p раз в году равными платежами, а проценты начисляются один раз в конце года. Если R – годовая сумма платежей, то размер отдельного платежа равен R/p. Тогда последовательность платежей с начисленными до конца срока процентами также представляет собой геометрическую прогрессию, записанную в обратном порядке,
у которой первый член R/p, знаменатель (1+i)1/p, общее число членов np. Тогда наращенная сумма рассматриваемой ренты равна сумме членов этой геометрической прогрессии
(4)
где
(5)
коэффициент наращения p-срочной ренты при m=1.
Рента p-срочная, p=m
В контрактах часто начисление процентов и поступление платежа совпадают во времени. Таким образом число платежей p в году и число начислений процентов m совпадают, т.е. p=m. Тогда для получения формулы расчета наращенной суммы можно воспользоваться аналогией с годовой рентой и одноразовым начислением процентов в конце года, для которой
Различие будет лишь в том, что все параметры теперь характеризуют ставку и платеж за период, а не за год. Таким образом получаем
(6)
Рента p-срочная, p≥1, m≥1
Это самый общий случай p-срочной ренты с начислением процентов m раз в году, причем, возможно p≥m.
Первый член ренты R/p, уплаченный спустя 1/p года после начала, составит к концу срока вместе с начисленными на него процентами
Второй член ренты к концу срока возрастет до
и т.д. Последний член этой записанной в обратном порядке геометрической прогрессии равен R/p, ее знаменатель (1+j/m)m/p, число членов nm.
В результате получаем наращенную сумму
(7)
Из нее легко получить все рассмотренные выше частные случаи, задавая соответствующие значения p и m.
Формулы современной величины
Обычная годовая рента
Пусть член годовой ренты равен R, процентная ставка i, проценты начисляются один раз в конце года, срок ренты n. Тогда дисконтированная величина первого платежа равна
где
– дисконтный множитель.
Приведенная к началу ренты величина второго платежа равна Rv2 и т.д. В итоге приведенные величины образуют геометрическую прогрессию: Rv, Rv2, Rv3, ..., Rvn, сумма которой равна
(8)
где
(9)
– коэффициент приведения ренты.
Коэффициент приведения ренты зависит только от двух параметров: срока ренты n и процентной ставки i.
Рента p-срочная, p ≥ 1, m ≥ 1
Аналогичные рассуждения позволяют получить формулу для расчета современной величины ренты в самом общем случае для произвольных значений p и m
(10)
от которой нетрудно перейти к частным случаям при различных p и m.
Дата добавления: 2018-05-02; просмотров: 463; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!