Номинальная и эффективная ставки процентов
Практическая работа №2
Начисление сложных процентов
Сложные проценты применяются в долгосрочных финансово-кредитных операциях, если проценты не выплачиваются периодически сразу после их начисления за прошедший интервал времени, а присоединяются к сумме долга.
Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, часто называют капитализацией процентов.
Формула наращения по сложным процентам
Пусть первоначальная сумма долга равна P, тогда через один год сумма долга с присоединенными процентами составит P(1+i), через 2 года P(1+i)(1+i)=P(1+i)2, через n лет – P(1+i)n.
Таким образом, получаем формулу наращения для сложныхпроцентов
S=P(1+i)n (1)
где S – наращенная сумма, i – годовая ставка сложных процентов, n – срок ссуды, (1+i)n – множитель наращения.
В практических расчетах в основном применяют дискретные проценты, т.е. проценты, начисляемые за одинаковые интервалы времени (год, полугодие, квартал и т.д.). Наращение по сложным процентам представляет собой рост по закону геометрической прогрессии, первый член которой равен P, а знаменатель (1+i).
При сроке n<1 наращение по простым процентам дает больший результат, чем по сложным, а при n>1 – наоборот. В этом нетрудно убедиться на конкретных числовых примерах. Наибольшее превышение суммы, наращенной по простым процентам, над суммой, наращенной по сложным процентам, (при одинаковых процентных ставках) достигается в средней части периода.
В том случае, когда ставка сложных процентов меняется во времени, формула наращения имеет следующий вид
S=P(1+i1)n1(1+i2)n2...(1+ik)nk , (2)
где i1, i2,..., ik – последовательные значения ставок процентов, действующих в периоды n1, n2,..., nk соответственно.
Пример 1.
В договоре зафиксирована переменная ставка сложных процентов, определяемая как 20% годовых плюс маржа 10% в первые два года, 8% в третий год, 5% в четвертый год. Определить величину множителя наращения за 4 года.
Решение: (1+0,3)2(1+0,28)(1+0,25)=2,704
Формула удвоения суммы
В целях оценки своих перспектив кредитор или должник может задаться вопросом: через сколько лет сумма ссуды возрастет в N раз при данной процентной ставке. Обычно это требуется при прогнозировании своих инвестиционных возможностей в будущем. Ответ получим, приравняв множитель наращения величине N:
а) для простых процентов
(1+niпрост) = N, откуда
(3)
б) для сложных процентов
(1+iсложн)n = N, откуда
(4)
Особенно часто используется N=2. Тогда формулы (3) и (4) называются формулами удвоения.
Если формулу (3) легко применять для прикидочных расчетов, то формула (4) требует применения калькулятора.
Однако при небольших ставках процентов (менее 10%) вместо нее можно использовать более простую приближенную.
Ее легко получить, если учесть, что ln 2 = 0,7, а ln(1+i) = i. Тогда
n ≈ 0,7/i. (5)
Пример 2.
Рассчитать, за сколько лет долг увеличится вдвое при ставке простых и сложных процентов равной 10%. Для ставки сложных процентов расчеты выполнить по точной и приближенной формуле. Результаты сравнить.
Решение.
а) При простых процентах:
б) При сложных процентах и точной формуле:
в) При сложных процентах и приближенной формуле:
n ≈ 0,7/i = 0,7/0,1 =7 лет.
Выводы:
1) Одинаковое значение ставок простых и сложных процентов приводит к совершенно различным результатам.
2) При малых значениях ставки сложных процентов точная и приближенная формулы дают практически одинаковые результаты.
При дробном числе лет проценты начисляются разными способами:
1) По формуле сложных процентов
S=P(1+i)n, (6)
а) На основе смешанного метода, согласно которому за целое число лет начисляются сложные проценты, а за дробное – простые
S=P(1+i)a(1+bi), (7)
где n=a+b, a-целое число лет, b-дробная часть года.
б) В ряде коммерческих банков применяется правило, в соответствии с которым за отрезки времени меньше периода начисления проценты не начисляются, т.е.
S=P(1+i)a. (8)
Номинальная и эффективная ставки процентов
Номинальная ставка. Пусть годовая ставка сложных процентов равна j, а число периодов начисления в году m. Тогда каждый раз проценты начисляют по ставке j/m. Ставка j называется номинальной. Начисление процентов по номинальной ставке производится по формуле:
S=P(1+j/m)N, (9)
где N – число периодов начисления (N=nm).
Если срок ссуды измеряется дробным числом периодов начисления, то при m разовом начислении процентов в году наращенную сумму можно рассчитывать несколькими способами, приводящими к различным результатам:
1) По формуле сложных процентов
S=P(1+j/m)N/τ, (10)
где N/τ – число (возможно дробное) периодов начисления процентов, τ – период начисления процентов,
2) По смешанной формуле
(11)
где a – целое число периодов начисления (т.е. a=[N/τ] – целая часть от деления всего срока ссуды N на период начисления τ), b – оставшаяся дробная часть периода начисления (b=N/τ – a).
Пример 3.
Размер ссуды 20 млн. руб. Предоставлена на 28 месяцев. Номинальная ставка равна 60% годовых. Начисление процентов ежеквартальное. Вычислить наращенную сумму в трех ситуациях: 1) когда на дробную часть начисляются сложные проценты, 2) когда на дробную часть начисляются простые проценты 3) когда дробная часть игнорируется. Результаты сравнить.
Решение.
Начисление процентов ежеквартальное. Всего имеется 28/3= 9 1/3 кварталов.
1) S=20(1+0.6/4)9 1/3 = 73,713 млн. руб.
2) S =20(1+0.6/4)9 (1+0.6/(4*3)) = 73,875 млн. руб.
3) S=20(1+0,6/4)9= 70,358 млн. руб.
Из сопоставления наращенных сумм видим, что наибольшего значения она достигает во втором случае, т.е. при начислении на дробную часть простых процентов.
Эффективная ставка показывает, какая годовая ставка сложных процентов дает тот же финансовый результат, что и m -разовое наращение в год по ставке j/m.
Если проценты капитализируются m раз в год, каждый раз со ставкой j/m, то, по определению, можно записать равенство для соответствующих множителей наращения:
(1+iэ)n=(1+j/m)mn, (12)
где iэ – эффективная ставка, а j – номинальная. Отсюда получаем, что связь между эффективной и номинальной ставками выражается соотношением
(13)
Обратная зависимость имеет вид
j=m[(1+iэ)1/m – 1]. (14)
Пример 4.
Вычислить эффективную ставку процента, если банк начисляет проценты ежеквартально, исходя из номинальной ставки 10% годовых.
Решение
iэ=(1+0,1/4)4-1=0,1038, т.е. 10,38%.
Пример 5.
Определить какой должна быть номинальная ставка приежеквартальном начислении процентов, чтобы обеспечить эффективную ставку 12% годовых.
Решение.
j=4[(1+0,12)1/4-1]=0,11495, т.е. 11,495%.
Дата добавления: 2018-05-02; просмотров: 418; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!