Beispiel 7.5: Inverse Kinematik des ebenen, dreigliedrigen Mechanismus
110. Bei dem abgebildeten Mechanismus handelt es sich um ein redundantes System, wenn nur die Position des EP von Interesse ist.
111. Dann gilt:
Umweltvektor:
Vektor der verallgemeinerten Koordinaten:
.
112. Bild 7.7: Ebener, dreigliedriger Mechanismus
113. Lösung:
Direkte Kinematik:
Die kinematischen Gleichungen werden mit Hilfe der DH-Notation abgeleitet:
| Nr. | 
| 
| 
| 
|
| 1 | 
| 0 | 
| 0 |
| 2 | 
| 0 | 
| 0 |
| 3 | 
| 0 | 
| 0 |
114. Nach Gl. (6.36) haben die A-Matrizen die Gestalt
115. Durch Ausmultiplizieren findet man für die Gesamttransformation
.
116. Abkürzungen:
117. Für die Position des EP folgt daraus
118. Inverse Kinematik:
Die Lösung wird mit Hilfe von Gl. (7.12) vorgenommen.
119. Dazu ist die (2×3)-Jacobi-Matrix zu berechnen,
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120. In Bild 7.8 sind die Ergebnisse einer numerischen Auswertung für drei verschiedene Wichtungsmatrizen W enthalten, die auf der Grundlage der Iterationsvorschrift (6.47) berechnet wurden.
121. Als Bahn wurde dabei eine Gerade gewählt, die die Punkte 
und 
verbindet und mit konstanter Bahngeschwindigkeit 
abgefahren wird.
122. Die Stützstellenzahl betrug N = 100. Deutlich ist der Einfluß von W erkennbar, z.B. ist im Bild 7.8c nur eine geringe Bewegung dieses Gliedes erkennbar.
7.2 Trajektorienplanung und inverse Dynamik
123. Selbstverständlich kann die Trajektorienplanung auch auf der Grundlage einer dynamischen Modellbildung erfolgen.
124. Die dazu notwendigen Bewegungsgleichungen können z.B. nach der Lagrangeschen Methode abgeleitet warden.
125. Sie haben nach Gl. (6.77) die Form
und stellen den kinetischen Zusammenhang zwischen den verallgemeinerten Koordinaten, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen und den verallgemeinerten Kräften im Konfigurationsraum dar.
126. Das Problem der Trajektorien planung läßt sich in folgenden Schritten lösen:
1. Schritt (Bahnplanung): Festlegung der Trajektorie in Umweltkoordinaten, d.h. Bestimmung von 
bzw. 
nach geeigneten Kriterien
2. Schritt (inverse Kinematik): Berechnung der verallgemeinerten Koordinaten, Geschwindigkeiten und Beschleunigungen durch Lösung der inversen Kinematik
3. Schritt (inverse Dynamik): Einsetzen von 
und 
in Gl. (7.13) und Ermittlung der notwendigen Antriebskräfte und -momente.
127. Die modellgestützte Berechnung der erforderlichen Antriebskräfte und -momente aus der Kenntnis der gegebenen Trajektorien wird als inverse Dynamik bezeichnet.
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128. Die inverse Dynamik ist damit das Hilfsmittel für die Dimensionierung und Ansteuerung von Antrieben in mechatronischen Systemen.
129. Im Sprachgebrauch der Steuerungs- und Regelungstechnik stellen 
Stellgrößen dar, die nur von der Zeit und nicht vom aktuellen Systemzustand abhängen und damit den Charakter von Steuerungen haben.
130. Die Aufschaltung der aus der inversen Dynamik ermittelten Stellgrößen auf die Antriebe wird häufig auch als Momentenvorsteuerung bezeichnet.
131. Sie stellt einen wichtigen Block in modernen Regelungskonzepten dar (vgl. Kapitel 8).
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