Найдем экспоненциальную скользящую среднюю (EMA).

Стр 1 из 2Следующая ⇒

МИНОБРНАУКИ РОССИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ "ВОРОНЕЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ" Контрольная работа по дисциплине "Финансовая математика" вариант №7 Выполнила студентка: Михайлова Анастасия Сергеевна Факультет:ИЗСО Специальность:Финансы и кредит Курс: 4 Воронеж 2013г. Содержание Задание 1………………………………………………………………….……….3 Задание 2…………………………………………………………………..……..14 Задание 3……………………………………………………………….…………25 Список использованных источников………………………………….….……30

Задание 1

Имеются данные о кредитах от коммерческого банка на жилищное строительство (в условных единицах) за 4 года - всего 16 кварталов, первая строка соответствует первому кварталу первого года (таблица 1.1).

Таблица 1.1

Кредиты от коммерческого банка на жилищное строительство

t	1	2	3	4	5	6	7	8
Y(t)	38	48	57	37	40	52	63	38
t	9	10	11	12	13	14	15	16
Y(t)	44	56	67	41	49	60	72	44

Требуется:

1) Построить адаптивную мультипликативную модель Хольта-Уинтерса с учетом сезонного фактора, приняв параметры сглаживания ; ; .

2) Оценить точность построенной модели с использованием средней относительной ошибки аппроксимации.

3) Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

- случайности остаточной компоненты по критерию пиков;

- независимости уровней ряда остатков по d-критерию (критические значения и ) и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении ;

- нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию с критическими значениями от 3 до 4,21.

4) Построить точечный прогноз на 4 шага вперед, т.е. на 1 год.

5) Отразить на графике фактические, расчетные и прогнозные данные.

Решение:

Для оценки начальных значений а(0) и b(0) применим линейную модель с первым восьми значениям заданного временного ряда y (t) (табл. 2).

Линейная модель имеет вид: . Оценим коэффициенты линейной модели а(0) и b(0) с помощью метода наименьших квадратов (МНК).

Таблица 1.2. Расчет коэффициентов линейной модели

	t
	1 2 3 4 5 6 7 8	38 48 57 37 40 52 63 38	-8,625 1,375 10,375 -9,625 -6,625 5,375 16,375 -8,625	-3,5 -2,5 -1,5 -0,5 0,5 1,5 2,5 3,5	12,25 6,25 2,25 0,25 0,25 2,25 6,25 12,25	30,1875 -3,4375 -15,5625 4,8125 -3,3125 8,0625 40,9375 -30,1875
Сумма	36	373			42	31,5
Сред. знач.	4,5	46,625

Определим значения коэффициентов нашей линейной модели по формулам:

; ; ; .

Подставив исходные данные, получим:

;

Линейная модель с учетом полученных коэффициентов имеет вид:

Из этого уравнения находим расчетные значения Y_p(t) и сопоставляем их с фактическими значениями заданного временного ряда (табл. 3).

;

Таблица 1.3. Значения заданного временного ряда и расчетной модели

t	1	2	3	4	5	6	7	8
Y(t)	38	48	57	37	40	52	63	38
Y_p(t)	44	44,75	45,5	46,25	47	47,75	48,5	49,25

Оценим приближенные значения коэффициентов сезонности I-IV кварталов F(-3) , F(-2) , F(-1) и F(0) для года, предшествующего первому году, по которому имеются данные. В результате расчета получим следующие данные:

F(-3) = [Y(1)/Y_p(1) + Y(5)/Y_р(5)]/2 = [38/44 + 40/47]/2 = [0,8636 + 0,8511]/2 = 0,8573;

F(-2) = [Y(2)/Y_p(2) + Y(6)/Y_р(6)]/2 = [48/44,75 + 52/47,75]/2 = [1,0727 + 1,0890]/2 = 1,0809;

F(-1) = [Y(3)/Y_p(3) + Y(7)/Y_р(7)]/2 = [57/45,5 + 63/48,5]/2 = [1,2527 + 1,2990]/2 = 1,2758;

F(0) = [Y(4)/Y_p(4) + Y(8)/Y_р(8)]/2 = [37/46,25 + 38/49,25]/2 = [0,8 + 0,7716]/2 = 0,7858.

Будем считать, что зависимость между компонентами тренд – сезонный временной ряд мультипликативная. Мультипликативная модель Хольта-Уинтерса с линейным ростом имеет следующий вид:

Где k – период упреждения;

- расчетное значение экономического показателя для t-го периода.

, , - коэффициенты модели; они адаптируются, уточняются по мере перехода членов ряда с номером t-1 к t.

- значение коэффициента сезонности того периода, для которого рассчитывается экономический показатель;

L – период сезонности (для квартальных данных L=4, для месячных – L=12).

Уточнение (адаптация к новому значению параметра времени t) коэффициентов модели производится с помощью формул:

Оценив значения a(0), b(0), а также F(-3), F(-2), F(-1), F(0), можно перейти к построению адаптивной мультипликативной модели Хольта – Уинтерса.

Параметры сглаживания имеют значения ; ; и обеспечивают удовлетворительную адекватность и точность модели.

Тогда для момента времени t = 0 , k = 1 имеем:

При моменте времени t = 1 имеем:

Для t = 1, k = 1 имеем: ;

Для момента времени t = 2 имеем:

Для t =2, k = 1 имеем: .

Для момента времени t = 3 имеем:

Для t = 3, k = 1 имеем: .

Для момента времени t = 4 имеем:

Для t = 4, k = 1 имеем: .

Для момента времени t = 5 имеем:

Для t = 5, k = 1 имеем: .

Для момента времени t = 6 имеем:

Для t = 6, k = 1 имеем: .

Для момента времени t = 7 имеем:

Для t = 7, k = 1 имеем: .

Для момента времени t = 8 имеем:

Для t = 8, k = 1 имеем: .

Для момента времени t = 9 имеем:

Для t = 9 k = 1 имеем: .

Для момента времени t = 10 имеем:

Для t = 10, k = 1 имеем: .

Для момента времени t = 11 имеем:

Для t = 11, k = 1 имеем: .

Для момента времени t = 12 имеем:

Для t = 12, k = 1 имеем: .

Для момента времени t = 13 имеем:

Для t = 13, k = 1 имеем: .

Для момента времени t = 14 имеем:

Для t = 14, k = 1 имеем: .

Для момента времени t = 15 имеем:

Для t = 15, k = 1 имеем: .

Для момента времени t = 16 имеем:

Занесем полученные данные модели Хольта-Уинтерса в табл. 1.4.

2. Оценим точность нашей модели по средней относительной ошибки аппроксимации:

, .

E (t) = Y (t)-Y p (t);

E(1)=38-37,72=0,28;

E(2)=48-48,5= -0,50;

Аналогично рассчитаем последующие E(t). Результаты расчетов представим в таблице 1.4.

Для того чтобы модель была качественной, уровни остаточного ряда E(t) (разности - между фактическими и расчетными значениями экономического показателя) должны удовлетворять определенным условиям (точности и адекватности). Будем считать, что условие точности выполнено, если относительная погрешность (абсолютное значение отклонения , поделенное на фактическое значение Y(t) и выраженное в процентах в среднем не превышает 5%.

100%×abs{E(t)}/Y(t);

1 относ. погр. = 100%×abs (0,28/38) = 0,73;

2 относ. погр. = 100%×abs (-0,50/48) = 1,05 и т.д.

Аналогично рассчитаем последующие относительные погрешности.

Суммарное значение относительных погрешностей составляет 28,36, что дает среднюю величину 28,36 / 16 = 3,34%.

Вывод: Условие точности выполнено, если относительная погрешность в среднем не превышает 5%. Точность построенной модели свидетельствуют о хороших прогностических свойствах модели, следовательно, условие точности выполнено, т.к. 3,34% < 5%.

Таблица 1.4

Модель Хольта – Уинтерса

t	Y(t)	a(t)	b(t)	F(t)	Yp(t)	E(t)	отн.погр.	точки поворота
0		43,25	0,750	0,79
1	38	44,10	0,78	0,86	37,72	0,28	0,73	-
2	48	44,74	0,74	1,08	48,50	-0,50	1,05	-
3	57	45,23	0,67	1,27	58,02	-1,02	1,79	1
4	37	46,26	0,77	0,79	36,07	0,93	2,52	1
5	40	46,87	0,73	0,86	40,44	-0,44	1,11	1
6	52	47,82	0,79	1,08	51,22	0,78	1,50	-
7	63	48,95	0,89	1,28	61,56	1,44	2,29	1
8	38	49,24	0,71	0,78	39,59	-1,59	4,18	1
9	44	50,39	0,84	0,87	42,76	1,24	2,81	1
10	56	51,38	0,89	1,09	55,48	0,52	0,92	-
11	67	52,30	0,90	1,28	66,83	0,17	0,25	-
12	41	53,00	0,84	0,78	41,53	-0,53	1,30	1
13	49	54,65	1,08	0,88	46,64	2,36	4,83	1
14	60	55,57	1,03	1,08	60,59	-0,59	0,99	1
15	72	56,50	1,00	1,28	72,46	-0,46	0,64	1
16	44	57,25	0,93	0,77	44,64	-0,64	1,47	-

Рис.1 График остатков.

3. Оценим адекватность построенной модели. Для оценки адекватности модели исследуемому процессу нужно, чтобы ряд остатков Е(t) обладал свойствами случайности, независимости последовательных уровней, нормальности распределения.

а) случайности остаточной компоненты по критерию пиков:

Общее число поворотных точек р в данной задаче р = 10.

Вывод:Если количество поворотных точек p больше p kp, то условие случайности уровней выполнено. В этом случае p = 10 > p kp = 6, значит условие случайности уровней ряда остатков выполнено.

б)независимости уровней ряда остатков по d-критерию и по первому коэффициенту автокорреляции при критическом значении r(1)=0,32:

- по d-критерию Дарбина-Уотсона:

d = 43,99 / 16,32 = 2,69;

Вывод: Величина d=2,69 >2, значит, имеет место отрицательная автокорреляция, поэтому необходимо уточнить величину d, вычитая из 4 величину d:

4-2,69=1,3

Полученное значение 1,3 сравним с d1=1,10 и d2=1,37.

Так как d2=1,1<d=1,3<1,37, значит уровни ряда E (t) остатков являются независимыми.

- по первому коэффициенту автокорреляции r(1):

;

r (1) = -5,92 / 16,32 = -0,363.

Вывод: Модуль рассчитанного значения первого коэффициента автокорреляции меньше критического значения |-0,363|>0,32, значит, уровни ряда остатков нельзя считать независимыми.

в)нормальности распределения остаточной компоненты по R/S-критерию:

Рассчитаем значение R/S:

R/S = (Emax – Emin) / S;

где:

Emax – максимальное значение уровней ряда остатков E(t);

Emin – минимальное значение уровней ряда остатков E(t);

S – среднее квадратическое отклонение.

Emax = 2,36; Emin = -1,59;

Emax – Emin =2,36-(-1,59) = 3,95;

=1,035;

R/S = 3,95 / 1,035 = 3,816.

Вывод: Полученное значение R/S: 3,0 < 3,816 < 4,21; попадает в заданный интервал, значит, уровни ряда остатков подчиняются нормальному распределению.

Все условия адекватности и точности выполнены. Следовательно, можно говорить об удовлетворительном качестве модели и возможности построения прогноза показателя Yp(t) на четыре квартала вперед.

4) Построим точечный прогноз на четыре шага вперед:

Составим прогноз на четыре квартала вперед (т.е. на 1 год, с t=17 по t=20). Рассчитав значения a(16) и b(16)можно определить прогнозные значения экономического показателя Yp(t). Для t=17 имеем:

Yp (17) = [a(16) +1×b(16)]×F(13) = (57,25+1×0,93) ×0,88=51,45;

Аналогично находим Yp(18), Yp(19), Yp(20):

Yp (18) = [a(16) +2×b(16)]×F(14) = (57,25+2×0,93)×1,08=63,99;

Yp (19) = [a(16) +3×b(16)]×F(15) = (57,25+3×0,93)×1,28=76,64;

Yp (20) = [a(16) +4×b(16)]×F(16) = (57,25+4×0,93)×0,77=47,04.

5) Отразим на графике фактические, расчетные и прогнозные данные:

Рис.2 Модель Хольта-Уинтерса

ВЫВОД:Точность модели достаточно высокая, однако модель не является адекватной, т. к для нее выполняются не все свойства оценки качества (свойство независимости остатков не выполняется).

Использовать модель можно только в учебных целях.

Задание 2

Даны цены (открытия, максимальная, минимальная и закрытия) за 10 дней (таблица 2.1).

Таблица 2.1.

Исходные данные о ценах

Дни	Цены
	макс.	мин.	закр.
	H	L	C
1	663	605	610
2	614	577	614
3	639	580	625
4	625	572	574
5	600	553	563
6	595	563	590
7	608	590	598
8	610	573	580
9	595	575	595
10	600	580	580

Интервал сглаживания принять равным пяти дням. Рассчитать:

- экспотенциальную скользящую среднюю;

- момент;

- скорость изменения цен;

- индекс относительной силы;

- %R, %К и %D.

Расчеты проводить для всех дней, для которых эти расчеты можно выполнить на основании имеющихся данных.

Решение:

Найдем экспоненциальную скользящую среднюю (EMA).

EMA_t=C_tK+EMA_t_-1(1-K),

где EMA_t – значение экспоненциальной скользящей средней текущего дня t; C_t – цена закрытия t-го дня, - коэффициент. Интервал сглаживания n = 5.

К=2/(n+1)=2/(5+1)=0,33

При расчете EMA учитываются все цены предшествующего периода, а не только того отрезка, который соответствует интервалу сглаживания.

Найдем среднее значение с 1 по 5 день:

EMA5= MA5= (610+614+625+574+563)/5=597,2

Рассчитаем:

k=2/ (5+1) =1/3

EMA6= 1/3 × 590+ (1-1/3) ×597,2 =594,8

EMA7=1/3 × 598+ (1-1/3) ×594,8 =595,8

EMA8=1/3× 580 + (1-1/3) × 595,8 = 590,6

EMA9= 1/3×595+ (1-1/3) × 590,6 = 592,0

EMA10=1/3×580+ (1-1/3) × 592,0 = 588,0

Рис. 3. Экспоненциальная скользящая средняя

Вывод:с 5 по 6 день EMA(t) выше, чем C(t), тренд восходящий – рекомендуется продажа; с 6 по 7 день пересечение EMA(t) с C(t)-сигнал разворота; с 7 по 8 день EMA(t) выше C(t), тренд нисходящий – рекомендуется покупка; с 8-по 9 день EMA(t) ниже C(t), тренд восходящий – рекомендуется продажа; с 9 по 10 день EMA(t) выше C(t), тренд нисходящий – рекомендуется покупка.

Вычислим момент (MOM)

Момент рассчитывается как разница конечной цены текущего дня C_t и цены n дней тому назад C_t_-_n.

Рассчитываем по формуле:

MOM _t = C_t – C _t_-_n,

где МОМ_t – значение момента текущего дня t, С_t – цена закрытия t-го дня, C_t_-_n - цена закрытия n дней назад. В итоге получим следующие значения момента:

МОМ 6= 590 - 610= -20

МОМ 7= 598 - 614= -16

МОМ 8= 580 - 625= -45

МОМ 9= 595 – 574 = 21

МОМ 10= 580 – 563 = 17

Рис. 4. Момент

Вывод: с 6 по 9 день момент ниже 0-го уровня, следовательно, тренд нисходящий – рекомендуется продажа; с 9 по 10 день момент выше 0-го уровня, тренд восходящий – рекомендуется покупка.

Дата добавления: 2018-05-02; просмотров: 178; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

12 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!