Математическая формализация задачи в декартовых координатах

Теперь обратимся к относительной скорости. Построим рядом с вектором  вектор , совместив их начала. Так как  интересующее нас изменение скорости может быть найдено из образующегося здесь треугольника: .

Итак, оба изменения скорости и направлены в одну сторону, одинаковы по величине и определяют добавочное ускорение:

                                                     (1.1)

Направление добавочного ускорения зависит как от направления , так и от направления вращения. При изменении направления вращения на противоположное изменяется направление и и, следовательно, изменится на противоположное направление добавочного ускорения. В этом можно убедиться, произведя построение аналогичное Фиг.3. Если относительная скорость изменит своё направление, то и изменит направление на противоположное (т.к.  больше ) и изменит направление на противоположное (т.к. поворот вектора будет происходить в противоположную сторону).

Математическая формализация задачи в декартовых координатах

Рассмотрим задачу об определении абсолютной скорости и ускорения для случая сложного движения с формальной, математической точки зрения. Для простоты вначале разберём задачу , когда движение происходит в одной плоскости.

Имеем две среды, неподвижную и подвижную , и точку , которая находится в подвижной среде и движется в ней. Задача состоит в том, чтобы найти движение т. (т. координаты, скорость и ускорение) в неподвижной среде, если известно как движется среда в среде , и как движется т. в среде . Введём для каждой среды свою прямоугольную систему координат (Фиг.4). Обозначим интересующие нас координаты т. в неподвижной среде ,а известные координаты т. в подвижной среде .

Фиг.4.

Известные из аналитической геометрии формулы преобразования координат устанавливают зависимость между координатами точки в двух системах:

                                                   (1.2)

                                                   (1.3)

С течением времени координаты  т. изменяются. Определим их скорость изменения. Известно, что математическим представлением скорости является производная по времени от функции, определяющей координату. Продифференцируем функции (1.2) и (1.3).

  (1.4)

  (1.5)

Здесь буквы с точками означают производные соответствующих параметров по времени. В формуле (1.4) выражение  представляет проекцию вектора скорости т. в подвижной среде

на ось неподвижной среды. Это следует из геометрического построения на Фиг. 5.

Фиг. 5.

Оставшиеся члены образуют выражение , в котором представляет проекцию на ось       вектора скорости начала подвижной системы координат , а

 представляет проекцию на ось  вектора скорости той точки подвижной среды , с которой в данный момент совпадает т. , вызванной вращением подвижной среды с угловой скоростью           вокруг начала координат. Это следует из построения на Фиг. 6.

Фиг. 6.

Таким образом, структура выражения (1.4) позволяет считать, что скорость т.  в неподвижной среде складывается из двух элементов: скорости т.  относительно подвижной среды и скорости той точки подвижной среды , с которой в данный момент совпадает т. , вызванной движением среды  относительно . Эти два элемента принято называть относительной скоростью и переносной скоростью.

Итак,                                                                     (1.6)

Математическим представлением ускорения является производная от функции скорость по времени. Продифференцируем функции (1.4) и (1.5):

(1.7)

                             (1.8)

В формуле (1.7) выражение  получено путем дифференцирования выражения, представляющего проекцию на ось      вектора относительной скорости  при условии  и, следовательно, по аналогии может быть названо проекцией относительного ускорения. Выражение

получено путем дифференцирования по времени проекции на ось      переносной скорости при условии  и, следовательно, может быть названо проекцией переносного ускорения. Оставшиеся числа правой части формулы (1.7) группируются в выражение                           и представляют проекцию на ось  еще какого-то вектора. Этот вектор принято называть добавочным, поворотным или кориолисовым ускорением. Члены, образующие кориолисово ускорение, возникают, во-первых, в связи с дифференцированием проекции вектора относительно скорости при условии , но переменном , во-вторых, при дифференцировании проекции вектора переносной скорости при условии , по переменных  и .

Выражение (1.7) и (1.8) в аналитической форме представляют так называемую кинематическую теорему Кориолиса, утверждающую, что абсолютное ускорение точки в сложном движении складывается геометрически из ускорения переносного, относительного и кориолисова.

                                                                  (1.9)

В выражении   множитель  можно рассматривать как проекцию на ось  вектора относительной скорости , повернутою на   в сторону вращения подвижной среды . Это следует из построения на Фиг.7.

Фиг.7.

Аналогичные утверждения можно сделать для проекции добавочного ускорения на ось . Отсюда следует, что абсолютная величина кориолисова ускорения определяется по формуле:

                                                                         (1.10)

а его направление совпадает с направлением вектора относительной скорости, повернутого на  в сторону вращения подвижной среды.

Заметим следующие свойства кориолисова ускорения:

1.Кориолисово ускорение отсутствует, если подвижная среда не вращается, а движется только поступательно, поскольку в этом случае ;

2.Кориолисово ускорение отсутствует, если тело покоится в подвижной среде, т.к. в этом случае ;

§3.Векторная форма кинематической теоремы Кориолиса 

Рассмотрим задачу о сложном движении в общем случае пространственного движения. При этом воспользуемся наиболее удобным и экономным векторным способом доказательства кинематической теоремы Кориолиса. Пусть т.  находится в среде  и движется относительно ее произвольным образом. Сама среда  движется в пространстве относительно неподвижной среды . Введем координатные системы  и , связав их с неподвижной и подвижной средой. Пусть  и        радиус-векторы т.  в неподвижной и подвижной среде (Фиг.8).

Фиг.8.

Из векторного треугольника на фиг.8 следует:

                                                                            (1.11)

где — радиус-вектор т.О. разложим радиус-вектор по ортам  подвижной системы координат:                            (1.12)

здесь  выражают проекции радиус-вектора на подвижные оси. Определим скорость т.  в неподвижной системе координат (абсолютную скорость), для чего продифференцируем выражение (1.11) с учетом (1.12) по времени:

                  (1.13)                                                                                                             

Для определения ускорения т. в неподвижной системе продифференцируем выражение (1.13) и сгруппируем члены:

           (1.14)                   

Проанализируем полученные выражения. Рассмотрим три последних члена выражения (1.13). Они совпадают с тем выражение, которое получается при разложении по осям вектора скорости т. , если бы среда  была неподвижна и, следовательно, все предыдущие члены выражения (1.13) равнялись нулю. Естественно, что в случае подвижной среды, этот вектор можно назвать относительной скоростью.

Четыре оставшихся члена совпадают с ем выражением для скорости т. , которое получилось бы, если бы т.  прекратила относительное движение в среде , «застряла» в ней в виде т.  и двигалась бы только вместе со средой С. Эту скорость называют переносной. Следовательно, выражение (1.13) представляет известное соотношение:

  (1.15)

скорость т.  в неподвижной среде равна геометрической сумме скорости той точки подвижной среды , в которой в данный момент находится т.  (переносной скорости) и скорости т.  относительно подвижной среды (относительной скорости).

Первые четыре элемента выражения (1.14) получаются путем дифференцирования выражения для переносной стороны, если считать                                      постоянными, а — переменными. Эти элементы составляют переносное ускорение. Следующие три элемента                            получаются при дифференцировании выражения для относительной скорости в предположении, что  — постоянные,  — переменные. Эти элементы составляют относительное ускорение. Наконец, последний член выражения (1.14)  представляет сумму выражений, получаемых при дифференцировании переменной скорости в предположении, что — постоянны, а  —переменные и дифференцировании относительной скорости в предположении, что              переменны, а — постоянны.

Таким образом, имеем:

                                                        (1.16)
         Ускорение т. М в неподвижной среде равно геометрической сумме ускорения той точки подвижной среды , в которой в данный момент находится т.  (переносное ускорение), ускорения т.  относительно подвижной среды (относительного ускорения) и дополнительного ускорения, возникающего как за счет поворота подвижной системы координат, так и относительного движения т.  (кориолисово ускорение).

Выражение для кориолисова ускорения можно записать по-другому, если учесть, что изменение ортов происходит только по направлению за счет вращения подвижной среды с угловой скоростью. Можно показать, что скорости концов ортов определяются по формулам , ,

.

где  — вектор угловой скорости подвижной среды. Подставив их в выражение для кориолисова ускорения получим

                                                            (1.16)

Множитель в круглых скобках представляет относительную скорость, поэтому кориолисово ускорение приводится к виду

                                                                                      (1.17)

из выражения (1.17) как частные случаи следуют выражения (1.10) и (1.1). отметим, что в случае пространственного движения кориолисово ускорение отсутствует, если переносное движение является поступательным , или тело покоится в подвижной системе , или вектор относительной скорости (на основании свойства векторного произведения).

Мы поможем в написании ваших работ!