Частотные критерии устойчивости
Частотные критерии устойчивости базируются на принципе аргумента. Рассмотрим этот принцип, для чего запишем выражение для характеристического вектора, которое получим из характеристического полинома системы 
, предварительно разложенного на множители, путем замены p на jω:
| D(jω) = an(jω- p1)(jω- p2)...(jω- pn), | (2.4) |
где pi - корни характеристического уравнения (полюсы системы).
Определим изменение аргумента вектора D(jω) при изменении частоты ω от -∞ до +∞:
| (2.5) |
Если корень характеристического уравнения pi расположен на комплексной плоскости слева от мнимой оси, то вектор (jω-pi) поворачивается на угол π, если этот корень находится на комплексной плоскости справа от мнимой оси, то вектор (jω-pi) поворачивается на угол -π. Допустим, что m корней характеристического уравнения расположены справа от мнимой оси, а остальные n-m корней – слева. Тогда изменение аргумента характеристического вектора равно:
| (2.6) |
В устойчивой системе m=0, и изменение аргумента характеристического вектора получается следующим:
| (2.7) |
Критерии устойчивости Найквиста
Критерий Найквиста позволяет определить устойчивость замкнутой системы, построив частотную характеристику разомкнутой системы.
Пусть L(s) – передаточная функция разомкнутой системы, а (Ljω) – ее частотная характеристика.
Рисунок 2.3 – Модель системы
|
|
|
Для простоты сначала будем считать, что разомкнутая система устойчива и не содержит интегрирующих звеньев, то есть:
| L(0)=K = ∞, | (2.8) |
где K – некоторое число.
Для каждой частоты ω значение (Ljω) – это комплексное число, которое можно изобразить точкой на комплексной плоскости. При изменении частоты от 0 до ∞ из этих точек складывается годограф Найквиста – некоторая кривая, которая начинается в точке (K;0) на вещественной оси и заканчивается в начале координат (если L(s) – строго правильная функция, то есть степень ее числителя меньше степени знаменателя). Можно доказать, что система устойчива тогда и только тогда, когда годограф (Ljω) не охватывает точку (-1;0). На рисунке 2.4 годограф не охватывает эту точку (и замкнутая система устойчива), а на рисунке 2.5 – охватывает (система неустойчива).
Рисунок 2.4 – Иллюстрация годографа устойчивой системы
Рисунок 2.5 – Иллюстрация годографа неустойчивой системы
Запасы устойчивости
Качество системы можно оценивать не только во временной области (переходный процесс во времени), но и в частотной (по частотной характеристике). Из частотных оценок наиболее важны запасы устойчивости. Дело в том, что поведение реального объекта всегда несколько отличается от принятой модели, более того, динамика может меняться во времени, например, когда корабль расходует топливо в ходе рейса. Поэтому недостаточно спроектировать просто устойчивую систему, нужно, чтобы система сохранила устойчивость при некоторых изменениях параметров объекта и регулятора в сравнении с расчетными, то есть, обладала запасами устойчивости.
|
|
|
Обычно рассматривают запасы устойчивости по амплитуде и по фазе.
Запас устойчивости по амплитуде gm – это дополнительное усиление контура, которое необходимо, чтобы вывести систему на границу области устойчивости. Эта величина измеряется в децибелах.
Запас по амплитуде вычисляется по формуле:
| (2.9) |
где Ag < 1 – значение амплитудной характеристики на частоте ωg, где фазовая характеристика равна −180°. В практических задачах нужно обеспечивать запас по амплитуде не менее 6 дБ.
Запас устойчивости по фазе φm – это дополнительный сдвиг фазы («поворот» частотной характеристики против часовой стрелки), который необходим для того, чтобы вывести систему на границу устойчивости. Он определяется на частоте среза ωс, где A(ωс) = 1. Запас по фазе должен быть не менее 30°.
|
|
|
Если в системе есть запаздывание на время τ, каждая точка годографа частотной характеристики дополнительно поворачивается против часовой стрелки на угол, равный τω для частоты ω. Поэтому запасы устойчивости (как по амплитуде, так и по фазе) уменьшаются.
Запасы устойчивости легко определяются по логарифмическим частотным характеристикам. Запас устойчивости по амплитуде определяется в точке пересечения ЛФХ прямой -π (-180°), а запас устойчивости по фазе – в точке пересечения ЛАХ оси абсцисс, т.е., как уже было указано выше – на частоте среза. Что проиллюстрировано на рисунке 2.6.
Рисунок 2.6 – Запасы устойчивости по модулю и по фазе
Запас по амплитуде может быть равен бесконечности, если фазовая характеристика не пересекает линию −180 °.
Результаты моделирования
Для овладения практическими навыками создания моделей линейных САУ и анализа их устойчивости будем использовать пакет SimuLink программы MatLab.
1. Создание модели системы
Рассмотрим САУ, заданную структурной схемой, показанной на рисунке 2.7.
|
|
|
|
|
|
| Xвх |
| Δε |
| Подсистема |
|
|
|
Рисунок 2.7 – Структурная схема САУ
Блок схема модели будет состоять из следующих основных компонентов, находящихся в библиотеке модулей (блоков) Simulink:
· Блок Gain – коэффициент усиления (модуль Math Operations).
· Блок Sum– звено-сумматор (модуль Math Operations).
· Блок Integrator – идеальное интегрирующее звено (модуль Continuous).
· Блок Transfer Fcn – динамическое звено с произвольной передаточной функцией (модуль Continuous).
Блок схема модели системы представлена на рисунке 2.8.
Рисунок 2.8 – Блок схема модели
Полученную блок-схему можно упростить. Для этого создадим путем группировки блоков подсистему (внутренний контур). На структурной схеме системы подсистема выделена пунктиром.
Выделим при помощи рамки блоки, которые необходимо включить в состав подсистемы. Выберете в меню Edit команду Create Subsystem.
Результат группировки блоков в подсистему после редактирования схемы показан на рисунке 2.9.
Рисунок 2.9 – Результат группировки блоков в подсистему
2. Исследование устойчивости многоконтурных САУ с помощью критерия Найквиста.
Разомкнем систему, удалив обратную связь выхода подсистемы на вход сумматора.
Используя возможности линейного анализа – Linear Analysisобозначьте вход и выход разомкнутой системы и командой Get Linearized Model меню Simulink окна LTI Viewer получим линеаризованную модель. В графическом поле появится график переходной функции разомкнутой системы.
Выбрав процедуру Bode (magnitude and phase), программа построит графики логарифмических частотных характеристик АЧХ и ФЧХ. Для получения значений устойчивости выберем характеристики графиков Stability (All Crossings) – все пересечения устойчивости. На графиках появятся точки, соответствующие критической точки (-1;j0). Щелкнув по ним мышкой, снимем показания запасов устойчивости по модулю и фазе.
Рисунок 2.10 – Результат расчета запасов устойчивости по модулю и фазе
Вывод.
Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 2064; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!