Интегрирование рациональных дробей

Тема: Интегрирование функций различными методами.

Основные понятия.

Определение. Функция называется первообразной функции на интервале , если для любого выполняется равенство

Определение. Совокупность всех первообразных функций +С для функции называется неопределенным интегралом функции

Свойства неопределенного интеграла.

1. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла

, - число

2. Неопределенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме интегралов от слагаемых функций

Таблица основных интегралов

1.	10.
2.	11.
3.	12.
4.	13.
5.	14.
6.	15.
7.	16.
8.	17.
9.	18.

Метод непосредственного интегрирования.

При непосредственном интегрировании применяют:

- тождественные преобразования подынтегральной функции ;

- свойства неопределенного интеграла;

- таблицу основных интегралов.

Пример 2.1. Найти интеграл .

Пример 2.2. Найти интеграл .

Интегрирование по формуле линейной замены

Если первообразная для , то первообразная для .

, a, b – числа

Пример 3.1. Найти интеграл

Рассмотрим подынтегральную функцию .

Аргументом синуса является линейная функция:

Пример 3.2. Найти интеграл .

линейная функция: или

Интегрирование методом замены переменной (или подстановкой)

Метод применяется, если под знаком интеграла произведение (частное) двух функций. Причём:

одна функция является производной другой функции, или

одна функция является производной от внутренней функции другой.

Формула интегрирования подстановкой

Пример 4.1. Найти интеграл .

Под знаком интеграла произведение двух функций и .

Причём

Тогда .

Таким образом, получаем интеграл от новой переменной :

Вернемся к прежней переменной, для этого заменим на , получим: - ответ.

Запись:

Пример 4.2. Найти интеграл

Под знаком интеграла произведение двух функций и . Причём второй множитель является сложной функцией, где показательная функция – внешняя функция, а - внутренняя функция. Заметим, что производная внутренней функции

Тогда эту внутреннюю функцию обозначим за новую переменную

Найдем .

Таким образом получаем интеграл от новой переменной :

5. Метод интегрирования по частям.

Нахождение интеграла по формуле

называется интегрированием по частям.

Формула показывает, что вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла , который должен оказаться более простым или даже табличным.

Суть метода:

- подынтегральное выражение представляют в виде произведения двух сомножителей и ;

- находят и ;

- применяют формулу интегрирования по частям.

Укажем основные типы интегралов, интегрируемых методом по частям.

I) В интегралах типа

где - многочлен n-ой степени, k – const.

Обозначим ,

dV - оставшееся выражение

Тогда

Если степень многочлена n > 1, то интегрирование по частям применяют последовательно несколько раз.

Пример 5.1. Найти интеграл .

Пример 5.2. Найти интеграл .

II) В интегралах типа

где - многочлен n-ой степени, k – const.

Обозначим ,

U - оставшаяся функция (или , или , или , или ).

Тогда ,

Пример 5.4. Найти интеграл .

Пример 5.5. Найти интеграл .

Интегрирование рациональных дробей

Дробно-рациональной функцией (рациональной дробью) называется отношение двух многочленов с действительными коэффициентами, т.е. , где - степени многочленов.

Если , то дробь правильная.

Если , то дробь неправильная.

Всякую неправильную дробь можно путем деления числителя на знаменатель, представить в виде суммы многочлена и правильной остаточной дроби , , т.е. .

Пример 6.1. Представить рациональную дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби

- неправильная рациональная дробь, т.к. степень числителя ( ) больше степени знаменателя ( ).

Разделим числитель на знаменатель. При этом многочлены запишем по убыванию степеней, а степени отсутствующие в явном виде с нулевыми коэффициентами.

- целая часть

- остаток

тогда .

Интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию соответствующих простейших дробей. Простейшими дробями называются дроби следующих 3-х типов:

- I тип

, где , - II тип

, где дискриминант знаменателя отрицательный, - III тип

Рассмотрим интегрирование простейших рациональных дробей на примерах.

Пример 6.2. Интегрирование простейшей рациональной дроби I типа.

Пример 6.3. Интегрирование простейшей рациональной дроби II типа.

Пример 6.4. Интегрирование простейшей рациональной дроби III типа.

1. Найдем дискриминант знаменателя

дробь III типа.

2. Выделим в знаменателе полный квадрат.

3. Введем замену: основание выделенного квадрата принимаем за новую переменную.

I-й интеграл берется методом замены, а II-й – табличный

4. Возвращаемся к прежним переменным

Рассмотрим общее правило интегрирования рациональных дробей.

Чтобы проинтегрировать рациональную дробь, необходимо:

а) Если дробь неправильная, то выделить целую часть и остаточную правильную рациональную дробь;

б) разложить знаменатель правильной рациональной дроби на линейные и квадратичные множители (если это необходимо), при этом возможны следующие типы множителей:

- линейный,

- линейный кратности “k”,

- квадратичный;

в) разложить правильную дробь на сумму простейших, при этом:

множителю соответствует простейшая рациональная дробь I типа

множителю соответствует разложение (сумма дробей I и II типов)

множителю соответствует дробь III типа ;

г) привести обе части равенства к общему знаменателю и приравнять числители;

д) найти неопределенные коэффициенты;

е) проинтегрировать каждую из полученных дробей и выделенную целую часть.

Методы нахождения неопределенных коэффициентов рассмотрим на примерах.

Пример 6.5. Найти интеграл

- правильная рациональная дробь.

Разложим знаменатель на множители по формуле , где - корни квадратного трехчлена.

тогда .

Представим подынтегральную дробь в виде суммы простейших дробей. Линейным множителям и знаменателя данной дроби соответствуют простейшие рациональные дроби вида