Объекты теории вероятностей и математической статистики

2.6.1. Случайный эксперимент и вероятность случайного события

Случайный эксперимент (random experiment)вводится следующим образом:

— известно число непредсказуемых исходовi =1,2…m: a₁, a₂,…a_i…a_m;

— исключены посторонние факторы: условия чётко оговорены;

— состоит в проведении испытаний, в каждом из которых фиксируют, какой исход получен;

— допускает мысленное продолжение испытаний до бесконечности.

Элементарное событие (elementaryorbasicevent): наступление одного из mвозможных исходов.Они являются несовместимыми по определению условий эксперимента.

Случайное событие (random event)определяется наложением условий на исходы случайного эксперимента.

После nиспытаний можно определить число наступленийi-го элементарного событияn_i и ввести понятие частоты (частости) как относительное кол-во наступлений события

Вероятностьэлементарного события вводится как предел частости при бесконечном повторениислучайного эксперимента:

Значения вероятностей лежат в пределах

при нуле — невозможное событие, при единице — определённое, не случайное.

2.6.2. Сумма и произведение событий

Суммой событий А и Bназываетсясложное событие, состоящее в наступлении одногоИЛИ второго, т. е. любого из них

Вероятность суммы несовместимых событий равна сумме вероятностей. Например, для элементарных событий

Вероятность суммы всехэлементарных событий т. е. всех возможных исходов случайного эксперимента равна единице — вероятность полной группы событий:

На результатах случайного эксперимента можно задать сложные события как комбинации элементарных исходов.

Пример.Бросание игральной кости. Случайный эксперимент имеет 6 равновероятных исходов, следовательно, вероятность элементарного события равна

p₀ = 1/6.

Геометрическая модель: каждое элементарное событие — квадрат, полная группа — фигура из 6 одинаковых квадратов. Вероятность элементарного события — отношение площади квадрата к суммарой площади фигуры.

Пусть событиеA— сумма исходов 1 и 4: ; ; C— сумма исходов 2 и 3: ; и одновременно «ненаступление ни A, ни B» (рис. 2.12).

Рис. 2.15 — Геометрическая модель вероятности сложных событий

Вероятность A равна .

Вероятность B равна .

Вероятность С равна .

События A и B частично накладываются. Если бы они были независимы, то она была бы равна .

Из геометрической модели находим

Вывод: при взаимосвязи событий формула вероятности суммы должна быть другой!

Вариант 1.Использование полной группы событий.

Воспользуемся тем, что событие Cестьненаступление суммы A и B

Так как С не накладывается ни на A, ни наB, они образуют полную группу:

откуда находим вероятность суммы A и B

Получили правильный результат, но рассуждения довольно громоздкие.

Вариант 2. Использование условных вероятностей и произведения событий.

Понятие «условная вероятность» вводится как вероятность наступления одного события, если наступило другое. То есть наступившее событие «выбывает» из случайного эксперимента, его вероятность не учитывается (фильм «Армагеддон» и пародия на него — мультфильм «Всем хана», самый свежий — «Притяжение» Бондарчука).

В нашем примереA и B— зависимые события: если наступило B, то для A наступил только исход «4», то есть площадь перекрытия составила одну клетку.По отношению к полной площади одна клетка является 1/6, т. е. полная вероятность составила 1/6. Но так как наступило событие B, можем определить, какую часть площади занимает исход «4» события Aот площади событияB.

Таким образом, геометрически условная вероятность равна отношениюплощади перекрытия событий к площади наступившего события:

— вероятность наступленияA,если наступило B, равна

;

— вероятность наступленияB,если наступило A, равна

Вводитсяпонятиепроизведение или пересечениедвух событий как наступление одновременно обоих событий: произошло первоеИ второе

Вероятность произведения несовместимых событий равна произведению их вероятностей. Например, для элементарных событий

В нашем примере игральной кости для определения вероятности пар элементарных событий нужно рассмотреть число возможных сочетаний пар событий в двух последовательных испытаниях случайного эксперимента:

— всего 36 событий, следовательно, .

Вероятность произведения взаимосвязанных событий определяется с учетом условных вероятностей

Проверим для нашего примера:

;

Вернемся к сумме взаимосвязанных событий. Из геометрической модели видно, что область пересечения входит в сумму площадей два раза, то есть для правильного определения вероятности суммы взаимосвязанных событий нужно область пересечения исключить

Проверим:

Лк 8

2.6.3. Формула полной вероятности

Пусть на элементарных событиях задано взаимосвязанное с ними событие A. Это означает, что существует пересечения A с эл. событиями: и известны их вероятности .

Так как элементарные события несовместимы, их пересечения также несовместимы, поэтому полная вероятность равна сумме вероятностей всех пересечений

2.6.4. Формула Байеса

Для вероятности пересечения событий сложного события A иэлементарного события имеем два варианта записи

Отсюда можем выразить условную вероятность наступления элементарного события, если наступило событие A

или, подставив вместо P(A) формулу полной вероятности, получим

Данная формула называетсяформулой апостериорной вероятности гипотез Байеса.

называются прямыми или априорными вероятностями.

Если был произведен опыт, и в результате произошло событиеA, то формула Байеса позволяет переоценить вероятности элементарных событий, найти так называемыеапостериорные вероятности.

Вероятность называетсяобратной вероятностью.

Ценность формулы Байеса проявляется тогда, когда нужно уточнить априорные вероятности по результатам реальногоэксперимента, который не может повторяться до бесконечности: такая ситуация часто встречается в задачах обработки сигналов.

Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 283; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 1 2 3 456 7 8 9 10 Следующая ⇒

Мы поможем в написании ваших работ!