Сумма вероятностей элементарных событий, образующих полную группу.

Вероятности элементарных событий обладают очень важным свойством:

Сумма вероятностей всех элементарных событий, образующих полную группу событий, равна 1.

Например, если в результате испытания может произойти только одно из двух событий А или В, то Р(А)+Р(В) = 1.

Рассмотрим это свойство на конкретном примере.

Пример. В пенале находятся четыре ручки со стержнями разного цвета: красным (К), синим (С), зеленым (З) и черным (Ч). Вероятность извлечь из пенала ручку с красным стержнем Р(К)=1/4=0,25. Вероятности Р(С)=1/4=0,25, Р(З)=1/4=0,25, Р(Ч)=1/4=0,25. Данные события образуют полную группу событий.

Тогда Р(К)+Р(С)+Р(З)+Р(Ч)=1.

И действительно, 0,25+0,25+0,25+0,25=1.

Это свойство вероятностей является отражением аналогичного свойства частот. Повторим опыт N раз. Пусть элементарное событиеА произошло N(А) раз, событие В произошло N(В) раз, событие С произошло N(С) раз. Ясно, что N(А)+N(В)+N(С)=N.

Поэтому сумма частот элементарных событийА, В и С равна 1.

Вероятность противоположных событий

Рассмотрим два противоположных событияА и . Противоположные события образуют полную группу, следовательно

Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице:Р(А)+Р( )=1.

Зная вероятность некоторого события, мы всегда можем вычислить вероятность противоположного события по формуле:

Р( )=1 - Р(А).

Пример. Вероятность того, что найденный подберезовик будет червивый равна 0,4. Найти вероятность того, что подберезовик будет хорошим.

Решение: Обозначим буквой А событие – «подберезовик хороший», тогда событие-«подберезовик червивый».Р(А)=1 - Р( )=1-0,4=0,6.

Ответ: 0,6.

3.4.Сумма вероятностей совместных событий.

Теорема. Вероятность наступления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:

.

Замечание. При использовании данной формулы следует иметь в виду, что события А и В могут быть как зависимыми, так и независимыми.

Для независимых событий формула будет иметь вид: ,

Для зависимых:

Теорема. Вероятность наступления хотя бы одного из событий А₁, А₂, …, А_n, независимых в совокупности находится по формуле

.

Пример. Два ученика решают задачу по математике. Вероятность того, что первый решит ее, равна 0,7, второй ученик решит ее с вероятностью 0,5. Найти вероятность того, что хотя бы один ученик решит задачу.

Решение: Обозначим буквой А событие – «первый ученик решит задачу», тогда В-«второй ученик решит задачу». События А и В - независимые

=0,7+0,5 - 0,7×0,5=0,85

Ответ: 0,85.

Пример.На день рождения Насте подарили три орхидеи. Вероятность того, что первая из них приживется 0,9, вторая – 0,8 и третья – 0,7. Какова вероятность того, что хотя бы одна орхидея приживется.

Решение: Обозначим буквой А событие – «первая орхидея приживется», тогда В-«вторая приживется», С-«третья приживется». События А, В, С - независимые

Ответ: 0,994.

Дата добавления: 2018-04-15; просмотров: 931; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 12

Мы поможем в написании ваших работ!