Маятник математический (теория)
Математическим маятником называется материальная точка, подвешенная на нерастяжимой невесомой нити, совершающая колебательное движение в одной вертикальной плоскости под действием силы тяжести.
Таким маятником можно считать тяжелый шар массой m, подвешенный на тонкой нити, длина l которой намного больше размеров шара. Если его отклонить на угол α (рис.7.3.) от вертикальной линии, то под влиянием силы F – одной из составляющих веса Р он будет совершать колебания. Другая составляющая 
, направленная вдоль нити, не учитывается, т.к. уравновешивается силой натяжения нити. При малых углах смещения 
и, тогда координату х можно отсчитывать по горизонтальному направлению. Из рис.7.3 видно, что составляющая веса, перпендикулярная нити, равна
Знак минус в правой части означает то, что сила F направлена в сторону уменьшения угла α. С учетом малости угла α
Для вывода закона движения математического и физического маятников используем основное уравнение динамики вращательного движения
Момент силы относительно точки О: 
, и момент инерции:
M = FL .
Момент инерции J в данном случае
Угловое ускорение:
С учетом этих величин имеем:
или
| (7.8) |
Его решение
,
где  и 
| (7.9) |
Как видим, период колебаний математического маятника зависит от его длины и ускорения силы тяжести и не зависит от амплитуды колебаний.
4. Виды колебаний (свободные, затухающие, вынужденные), примеры.
|
|
|
Свободные (или собственные) колебания — это колебания в системе под действием внутренних сил, после того как система выведена из состояния равновесия (в реальных условиях свободные колебания всегда затухающие).
Простейшими примерами свободных колебания являются колебания груза, прикреплённого к пружине, или груза, подвешенного на нити.
Затухающие колебания — колебания, энергия которых уменьшается с течением времени. Бесконечно длящийся процесс вида 
в природе невозможен.
Вынужденные колебания — колебания, протекающие в системе под влиянием внешнего периодического воздействия.
Примеры: листья на деревьях, поднятие и опускание руки. При вынужденных колебаниях может возникнуть явление резонанса: резкое возрастание амплитуды колебаний при совпадении собственной частоты осциллятора и частоты внешнего воздействия.
Физический маятник (теория).
Физическим маятником называется твердое тело, закрепленное на неподвижной горизонтальной ocи (оси подвеса), не проходящей через центр тяжести, и совершающее колебания относительно этой оси под действием силы тяжести. В отличие от математического маятника массу такого тела нельзя считать точечной.
|
|
|
При небольших углах отклонения α (рис. 7.4) физический маятник так же совершает гармонические колебания. Будем считать, что вес физического маятника приложен к его центру тяжести в точке С. Силой, которая возвращает маятник в положение равновесия, в данном случае будет составляющая силы тяжести – сила F.
Знак минус в правой части означает то, что сила F направлена в сторону уменьшения угла α. С учетом малости угла α
Для вывода закона движения математического и физического маятников используем основное уравнение динамики вращательного движения
. Момент силы: определить в явном виде нельзя. С учетом всех величин, входящих в исходное дифференциальное уравнение колебаний физического маятника имеет вид:
| (7.10) |
| (7.11) |
Решение этого уравнения
Определим длину l математического маятника, при которой период его колебаний равен периоду колебаний физического маятника, т.е. 
или
.
Из этого соотношения определяем
Данная формула определяет приведенную длину физического маятника, т.е. длину такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника.
|
|
|
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 465; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!