Метод неопределенных коэффициентов
Правая часть f(x) неоднородного дифференциального уравнения часто представляет собой многочлен, экспоненциальную или тригонометрическую функцию, или некоторую комбинацию указанных функций. В этом случае решение удобнее искать с помощью метода неопределенных коэффициентов.
Подчеркнем, что данный метод работает лишь для ограниченного класса функций в правой части, таких как
В данном случае, если число α в экспоненциальной функции совпадает с корнем характеристического уравнения, то частное решение будет содержать дополнительный множитель xs, где s − кратность корня α в характеристическом уравнении.
37) Линейные неоднородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и правой частью вида f(x)=eax(Acoskx+Bsinkx).
Линейное неоднородное уравнение данного типа имеет вид:
где p, q − постоянные числа (которые могут быть как действительными, так и комплексными). Для каждого такого уравнения можно записать соответствующее однородное уравнение:
Теорема: Общее решение неоднородного уравнения является суммой общего решения y0(x) соответствуюшего однородного уравнения и частного решения y1(x) неоднородного уравнения:
Метод неопределенных коэффициентов
Правая часть f(x) неоднородного дифференциального уравнения часто представляет собой многочлен, экспоненциальную или тригонометрическую функцию, или некоторую комбинацию указанных функций. В этом случае решение удобнее искать с помощью метода неопределенных коэффициентов.
|
|
|
Подчеркнем, что данный метод работает лишь для ограниченного класса функций в правой части, таких как
-
где Pn(x) и Qm(x) − многочлены степени n и m, соответственно.
В данном случае, если число α + βi совпадает с корнем характеристического уравнения, то выражение для частного решения будет содержать дополнительный множитель x.
38) Понятие матрицы. Виды матриц. Линейные операции над матрицами. Транспонирование матрицы.
Матрицами называются массивы элементов, представленные в виде прямоугольных таблиц, для которых определены правила математических действий. Элементами матрицы могут являться числа, алгебраические символы или математические функции.
Виды матриц :
1)Матрицы С и D имеют размеры 3х3 и 2х2. В том случае, когда количество строк матрицы равняется количеству ее столбцов, матрица называется квадратной.
2) Матрица, которая содержит только одну строчку или один столбец называется вектором. В таких матрицах можно выделить вектор-строка и вектор-столбец.
3) Квадратная матрица, у которой в главной диагонали стоят ненулевые элементы, а все остальные - это нули называется диагональная матрица.
|
|
|
4) Если ненулевые элементы равны только единицам, то это единичная матрица, она всегда обозначается буквой Е. В нашем случае матрица Е - тоже единичная матрицатретьего порядка.
Линейные операции над матрицами :
1)Сложение матриц:
Пусть 
и 
— матрицы одинаковых размеров 
. Матрица 
тех же размеров 
называется суммой матриц
Умножение матрицы на число
Произведением матрицы на число 
называется матрица тех же размеров, что и матрица 
, каждый элемент которой равен произведению числа на соответствующий элемент матрицы 
Транспонирование матрицы :
Если в данной матрице поменять строки и столбцы местами, то получится транспонированная матрица данной. Например, дана матрица М, каждую строчку этой матрицы перенесем в соответствующий столбец матрицы, стоящей на рисунке рядом. Вторая матрица - это транспонированная матрица матрицы М.
39) Определитель квадратной матрицы:
Определи́тель —является многочленом от элементов квадратной матрицы (то есть такой, у которой количество строк и столбцов равно). В общем случае матрица может быть определена над любым коммутативным кольцом, в этом случае определитель будет элементом того же кольца.Определитель матрицы А обозначается как: det(A), |А| или Δ(A).
|
|
|
Свойства определителя :
1)Если поменять местами два параллельных ряда, то определитель изменит знак.
2)Определитель не изменится, если к элементам любого ряда прибавить элементы параллельного ряда, предварительно умноженные на одно и то же число.
3)Определитель равен сумме произведений элементов любого ряда на их алгебраические дополнения.
4)Определитель с двумя одинаковыми параллельными рядами равен нулю.
5)Определитель с нулевым рядом равен нулю.
6)Определитель треугольного вида равен произведению диагональных элементов.
7)Определитель не меняется при транспонировании.
8)Общий множитель можно вынести за знак определителя.
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 599; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!