Несмещенность. Состоятельность
Оценка 
(Zn) параметра θ называется несмещенной, если ее МО равно θ, т.е. 
для любого 
Оценка (Zn) параметра θ называется состоятельной, если она сходится по вероятности к θ, т.е. Р 
при 
со для любого .
Оценка (Zn) параметра θ называется сильно состоятельной, если она сходится почти наверное к θ, т.е. 
при для любого .
Очевидно, что если оценка сильно состоятельная, то она является также состоятельной.
Несмещенная оценка 
*(Zn) скалярного параметра θ называется эффективной, если 
Функцией правдоподобия для неизвестного параметра θ∈Θ⊂ℝs называется: в случае непрерывной наблюдаемой СВ X — плотность распределения
L(zn,θ1,...,θs)≜fZn(zn,θ1,...,θs)=∏ fX(xk,θ1,...,θs),
где fX(x,θ1,...,θs) — плотность распределения СВ X, а в случае дискретной наблюдаемой СВ X — произведение вероятностей
L(zn,θ1,...,θs)≜∏PX(xk,θ1,...,θs),
где PX(xk,θ1,...,θn) — вероятность события {X=xk}.
Оценкой максимального правдоподобия (МП-оценкой) параметра θ∈Θ называется статистика θˆ(Zn), максимизирующая для каждой реализации zn функцию правдоподобия, т.е.
θˆ(zn)=argmaxθ∈ΘL(zn,θ).
Способ построения МП-оценки называется методом максимального правдоподобия .
Поскольку функция правдоподобия L(zn,θ) и её логарифм lnL(zn,θ) достигают максимума при одних и тех же значениях θ, то часто вместо L(zn,θ) рассматривают логарифмическую функцию правдоподобия lnL(zn,θ).
|
|
|
В случае дифференцируемости функции lnL(zn,θ) по θ МП-оценку можно найти, решая относительно θ1,...,θs систему уравнений правдоподобия
∂lnL(zn,θ1,...,θs)/∂θ1=0,...,∂lnL(zn,θ1,...,θs)/∂θs=0.
Интервальное оценивание
Пусть имеется параметрическая статистическая модель ( 
), 
, и по выборке Zn = = col(Х1, ...,Xn), соответствующей распределению F(x,θ) наблюдаемой СВ X, требуется оценить неизвестный параметр θ. Вместо точечных оценок, рассмотренных ранее, рассмотрим другой тип оценок неизвестного параметра .
Определение 3.8. Интервал 
со случайными концами, «накрывающий» с вероятностью 1 — а, 0 < а < 1, неизвестный параметр θ,
т. е.
,
называется доверительным интервалом (или интервальной оценкой) уровня надежности 1 - а параметра θ.
Определение 3.9. Число 
называется доверительной вероятностью или уровнем доверия (надежности).
Определение 3.10. Доверительный интервал 
называется центральным, если выполняются следующие условия:
Часто вместо двусторонних доверительных интервалов рассматривают односторонние доверительные интервалы, полагая 
или 
.
Определение 3.11. Интервал, границы которого удовлетворяют условию:
|
|
|
(или 
),
называется соответственно правосторонним (или левосторонним) доверительным интервалом.
Проверка гипотезы о виде закона распределения
Пусть имеется реализация zn выборки Zn порожденной СВ Xс неизвестной функцией распределения F(x).Требуется проверить гипотезу H0, состоящую в том, что СВ X имеет определенный закон распределения F−(x,θ) (например, нормальный, равномерный и т.д.). Истинный закон распределения F(x) неизвестен. Для проверки такой гипотезы можно использовать статистический критерий хи-квадрат (критерий Пирсона).
Правило проверки заключается в следующем.
1) Формулируется гипотеза H0, состоящая в том, что СВ X имеет распределение определенного вида F−(x,θ1,...,θs) с s неизвестными параметрами θ1,...,θs (например, m и σ2 для нормального распределения, a и b — для равномерного и т.д.).
2) По реализации zn выборки Zn методом максимального правдоподобия находятся оценки θˆ1,...,θˆs неизвестных параметров θ1,...,θs.
3) Действительная ось ℝ1 разбивается на l+1 непересекающийся полуинтервал (разряд) Δ0,...,Δl следующим образом. Действительная ось ℝ1=(−∞,∞) разделяется точками α0,...,αl+1, образуя таким образом l+1 непересекающийся полуинтервал Δk=[αk,αk+1), k=0,l−−−, при этом −∞=α0<α1<... ...<αl<αl+1=+∞. Обычно выбирают α1≤x(1), αl≤x(n)так, как это сделано при построении гистограммы в .Подсчитывается число nk элементов выборки, попавших в каждый k -й разряд Δk, k=1,l−1, за исключением Δ0 и Δl. Полагается n0=nl=0
|
|
|
4) Вычисляются гипотетические вероятности pk попадания СВ X в полуинтервалы Δk, k=0,l. Если у распределения F−(x,θ1,...,θs) имеется плотность f−(x,θ1,...,θs), то вероятности pk могут быть вычислены следующим образом:
где α0=−∞, αl+1=+∞, или приближенно по формуле
pk≅f−(xk,θˆ1,...,θˆs)(αk+1−αk), k=1,l−1,
где xk≜(αk+1+αk)/2 — середина разряда Δk.
5) Вычисляется реализация статистики критерия хи-квадрат по формуле
6) Известно, что при соблюдении некоторых естественных условий регулярности и достаточно большом объеме n выборки Zn распределение F(z|H0) статистики Z=ϕ(Zn) хорошо аппроксимируется распределением χ2(l−s) с l−s степенями свободы, где s — количество неизвестных параметров предполагаемого закона распределения F−(x,θ1,...,θs), а l+1 — количество разрядов, вероятность попадания в которые ненулевая. Тогда критическая область 
принимает вид: =(x1−α(l−s),+∞), где x1−α(l−s) — квантиль уровня 1−α распределения χ2(l−s), α — заданный уровень значимости (обычно α=0,05 ).
|
|
|
7) В соответствии с критерием хи-квадрат гипотеза H0 принимается (т.е. реализация выборки zn согласуется с гипотезой H0 ) на уровне надежности 1−α, если ϕ(zn)∈G=[0,x1−α(l−s)]. Если же ϕ(zn)∈ , то гипотеза H0 отвергается.
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 332; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!