Приближенные вычисления с помощью радианной меры угла
Практическая работа №2. Применение тригонометрических функций к решению геодезических задач.
Цель занятия:научиться применять тригонометрические функции при решении геодезических задач.
Краткие теоретические сведения
Измерения и построения в геодезии.
Под измерениями понимают процесс сравнения какой-либо величины с другой однородной величиной, принимаемой за единицу. При всем многообразии геодезических измерений все они сводятся в основном к трем видам:
· линейные, в результате которых на местности определяются расстояния между заданными точками;
· угловые, когда определяются значения горизонтальных и вертикальных углов между направлениями на заданные точки;
· высотные (нивелирование), в результате которых определяются разности высот отдельных точек.
За единицу линейных и высотных измерений (расстояний, высот и превышений) в геодезии принят метр.
Единицей для измерений углов (горизонтальных и вертикальных) служит градус, представляющий 1/90 прямого угла, или 1/360 окружности. Градус содержит 60 угл. мин, минута делится на 60 угл. с. В некоторых странах применяют градовую систему, в которой 1 град составляет 1/400 окружности, градовая минута - 1/100 град, а градовая секунда - 1/100 град мин.
В современных автоматизированных угломерных приборах единицей измерений служит гон, равный 1 град или 54 угл. мин; тысячная его доля, равная 3,24 угл. с, называется миллигон.
|
|
|
Измерения называют прямыми, если их выполняют с помощью приборов, позволяющих непосредственно сравнить измеряемую величину с величиной, принятой за единцу, и косвенными, когда искомую величину получают путем вычислений на основе результатов прямых измерений. Так, угол в треугольнике можно непосредственно измерить угломерным прибором (прямое измерение) или вычислить по результатам измерения трех сторон треугольника (косвенное измерение).
Необходимые условия любого измерения: объект измерения; субъект измерения - лицо, производящее измерение; мерный прибор, которым выполняют измерения; метод измерения - совокупность правил и действий, определяющих процесс измерения; внешняя среда, в которой выполняют измерения.
Обозначенные на местности точки, от которых выполняют геодезические измерения, называются исходными. Точки, положение которых на местности необходимо определить, называют определяемыми.
Исходные и определяемые точки могут располагаться в горизонтальной плоскости в плане (плановые точки) и в вертикальной - по высоте (высотные точки).
Рассмотрим основные геодезические способы построения, применяемые для определения положения точки в плане.
|
|
|
Требуется определить положение точки С относительно обозначенных на местности исходных точек А и В.
Первый способ (Рис. 1, а). Положение точки С можно определить, если опустить из этой точки перпендикуляр на прямую АВ, а затем измерить расстояние / от точки А до основания перпендикуляра и длину перпендикуляра d. Отрезки / и dбудут координатами точки С. Такое построение называютспособом перпендикуляров.
Если прямую АВ принять за ось абсцисс прямоугольной системы координат, перпендикуляр d будет ординатой определяемой точки, а расстояние l - ее абсциссой. Поэтому способ называют также способом ординат.
Второй способ (Рис. 1, б). Положение точкиС определяется, если измерить из точки А угол α и длину АС - r. Такой способ называют способом полярных координат: полярные координаты точкиС - α и r; угол α - полярный, точка А - полюс, прямая АВ - полярная ось, отрезок r - радиус-вектор.
Третий способ (Рис. 1, в). Для определения положения точкиС относительно прямой АВ достаточно измерить углы α и b из точек А и В. Этот способ называют прямой угловой засечкой (прямая АВ - базис засечки).
Рис. 1. Схемы (а...е) к способам определения положения точки в плане
Рис. 2. Схема к способу определения положения точки по высоте
|
|
|
Четвертый способ (Рис. 1, г). Положение точкиС определяется, если измерить угол а из точки А и угол γ из определяемой точки С (способ боковой засечки).
Пятый способ (Рис. 1, д). Для определения положения точки С можно измерить длину линий АС = b и ВС = а (способ линейной засечки).
Шестой способ (Рис. 1, e). ТочкаС находится на линии АВ (в створе АВ) и на расстоянии l от точки А (способ створно-линейной засечки).
Эти построения выполняют, если расстояния между точками сравнительно невелики и есть непосредственная видимость между исходными и определяемыми точками. Когда расстояния между исходными точками значительны или требуется найти положение нескольких точек, пользуются более сложными построениями.
Положение определяемой точкиС по высоте (Рис. 2.) находят, измерив ее превышение h над исходной точкой А или угол наклона v линии АС к горизонту и горизонтальное проложениеd (проекцию линии АС на горизонтальную плоскость).
Приближенные вычисления с помощью радианной меры угла.
При решении геодезических задач этот способ вычислений применяют, когда конечный результат достаточно знать приближенно (с 2—3 значащими цифрами).
|
|
|
Известно, что любой центральный угол в радианной мере (Рис. 3)
равен отношению дуги окружности MN = Iк радиусу R, т. е.
aрад = l/R. (1)
Если дуга окружности AB = l0 = R, то центральный угол b = l0/R = 1 рад, а отношение всей окружности (0, R) к радиусу равно 2p» 6,283185 рад.
Между градусной и радианной мерой любого центрального угла существует зависимость, которую можно выразить постоянным отношением
(2)
Поскольку полная окружность (0,R) в градусной мере содержит 360°, а в радианной мере 2pрадиан, то можно получить следующие приближенные значения величины р (в приведенных отношениях радианная мера условно представлена в виде отвлеченного числа, хотя в действительности она является именованной величиной— радиан (рад), принятой за единицу измерения плоского угла в Международной системе единиц физических величин (СИ):
(3)
Рис. 3. Радианная мера угла
На основе выражения (2) переход от градусной к радианной мере угла осуществляют по формуле
(4)
В формуле (4) величину ρ подставляют с таким количеством значащих цифр, которое обеспечивает заданную точность результата вычислений.
Примеры.
1. Вычислить радианную меру угла a=19°06' с округлением до трех десятичных знаков.
2. С точностью до двух значащих цифр вычислить радианную меру угла j=0°05¢10¢¢.
Выражения (1) и (4) позволяют вычислять приближенную величину длины дуги окружности по измеренным значениям радиуса и центрального угла, выраженного в градусной мере. Для этого используют формулу
l = R×aрад» 
Пример.
Вычислить длину дуги l (Рис. 3), если радиус R = 86 м, а центральный угол a = 0°25'.
Аналогично вычисляют градусную величину центральных углов по известным значениям длины дуги и радиуса окружности, пользуясь формулами
; 
; 
. (5)
Пример.
Вычислить центральный угол t (в секундах), если длина дуги окружности l = 21 мм и радиус R = 104 м.
.
Выражение (4) позволяет также выполнять приближенные вычисления при решении геодезических задач по формулам, в которых участвуют синусы и тангенсы малых углов. Из рис. 3 видно, что при малых углах aотношения
или (6)
Примеры.
1. По формуле (6) вычислить sin 8°36’ с округлением до третьего десятичного знака.
sin 8°36' » 
» 0,150 или sin 8°36' » 
» 0,150.
2. Вычислить превышение hом = S×tgaом (Рис. 1), если S=172 м, aом = +1°12'.
3. По формуле Dd = 2dsin2 
вычислить поправку за наклон линии, измеренной лентой, если d = 34 м,
n = 5041’.
При вычислительной обработке выполненных на местности измерений, а также при проектировании инженерных сооружений и расчетах для перенесения проектов в натуру возникает необходимость решения прямой и обратной геодезических задач.
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 261; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!