Вычисление ДИ в декартовых координатах

Примеры решения

3.1. Расставить пределы интегрирования в двойных интегралах от функции , непрерывной в указанных областях D:

► 1. Построим область D (рис. 4). Первая линия − парабола, симметричная относительно оси ОY, вторая − прямая. Найдем точки пересечения этих линий. Решаем уравнения и , находим: Область интегрирования является правильной в направлении обеих осей.

Воспользуемся сначала формулой (вычисление ДИ в декартовых координатах)

Здесь в повторном интеграле внутреннее интегрирование производится по переменной , а внешнее − по . Пределы интегрирования получены следующим образом. Область D была спроектирована на ось ОX (область заключили в полосу, параллельную ОY ), тогда Через произвольную точку провели прямую, параллельную оси ОY в положительном направлении, отметили точки входа (К) этой прямой в область и выхода (М). Функция , которой удовлетворяют точки входа − нижний предел для , функция , которой удовлетворяют точки выхода − верхний предел. Таким образом,

При внешнем интегрировании по область D заключаем в полосу, параллельную оси ОХ, тогда .

Применив формулу (вычисление ДИ в декартовых координатах), получим:

2. Построим область D (рис. 5). Область D ограничена двумя прямыми и двумя ветвями гиперболы. Как видно из рисунка, область D является правильной в направлении оси ОХ.

По отношению к оси ОY область D не является правильной (почему?). Тогда используя формулу (вычисление ДИ в декартовых координатах), получим:

◄

3.2. Записать в виде одного повторного интеграла следующие выражения

2. .

► 1. Область . Построим области D₁ и D₂, если D₁= | (рис. 6).

Видно, что область D − правильная в направлении оси ОХ. Левая часть границы области − одна линия, а именно , а его правая часть состоит из двух линий ОВ и ВС, определяемых разными уравнениями: и Поэтому область D представлена суммой (D₁ D₂) двух областей D₁ и D₂. Однако область D является правильной в направлении оси ОY. Если её заключить в полосу, параллельную оси ОY, то а двойной интеграл запишется в виде одного повторного:

2. Построим области и (рис. 7).

Область является правильной в направлении оси ОY. Нижняя ее граница − одна линия , а верхняя состоит из двух линий ОВ и ВС, определяемых разными уравнениями: и . Область является правильной и в направлении оси ОX. Если её заключить в полосу, параллельную оси ОХ, то . В этом случае двойной интеграл представляется в виде одного повторного:

◄

3.3. Изменить порядок интегрирования в повторном интеграле

► Построим область, ограниченную прямыми: - cнизу, - сверху и линиями: - слева, - справа (рис. 8).

Как нетрудно заметить, линия есть левая половина окружности Область D является правильной относительно каждой из осей ОХ и ОY, но на разных отрезках оси ОХ она сверху ограничена разными линиями: на отрезке [−1, 0] − это верхняя половина окружности а на отрезке [0,1] − это прямая . Снизу область D ограничена осью абсцисс . Следовательно, можно записать

◄

3.4. Вычислить двойной интеграл

► В данном случае область интегрирования D (рис. 9) является правильной как относительно оси ОY, так и оси ОХ, поэтому нетрудно перейти к повторному интегралу двумя способами:

Однако, второй способ предпочтительней, поскольку в первом случае для внутреннего интеграла первообразная не выражается через элементарные функции. Это замечание может быть полезно и в ряде других примеров, поскольку изменение порядка интегрирования часто упрощает вычисления. В данном случае будем иметь:

◄

3.5. Найти среднее значение функции в треугольнике О (0, 0), А (1, 0), В (0, 1).

► Используя теорему о среднем ( ), имеем Площадь _∆ОАВ и

. ◄

Аудиторные задачи

I. Расставить пределы интегрирования в двойных интегралах от функции непрерывной в указанных областях D:

3.6.

3.7.

3.8.

3.9.

II. Изменив порядок интегрирования, записать в виде одного повторного интеграла следующие выражения:

3.10.

3.11.

3.12.

3.13.

III. Вычислить интегралы:

3.14.

3.15.

3.16.

3.17.

3.18.

3.19.

IV. Найти среднее значение функции:

3.20.

3.21.

3.22.

Задание на дом

3.23. Расставить пределы интегрирования в ДИ для указанных областей D: 1) D - треугольник с вершинами О (0, 0), А (1, −1), В (1, 1); 2) D:

3.24. Изменить порядок интегрирования:

3.25. Вычислить интегралы:

IV. Найти среднее значение функции в области

Ответы

3.6.

3.7.

3.8.

3.9.

3.10.

3.11.

3.12.

3.13.

3.14.

3.15. 9.

3.16. .

3.17. .

3.18. .

3.19. .

3.20. 4.

3.21. 3.

3.22. .

3.23. 1.

3.24. 1.

3.25. 1. .

3.26. .

ДИ в полярных координатах

Примеры решения

4.1. В повторных интегралах перейти к полярным координатам:

► 1. Пределы интегрирования позволяют построить область (рис. 10).

Уравнения границ и в полярных координатах записываются следующим образом:

и .

Угол меняется от до , а меняется от до 2, т.е. Тогда получаем:

2. Из условия следует, что − окружность с центром С (2, 0) и (рис. 11).

Уравнение окружности и прямой в полярных координатах принимает вид: .

Решая совместно уравнения , находим:

Угол изменяется от до . Любой луч, выходящий из полюса под углом , переcекает границу области в точках: и . Тогда область D

Таким образом,

◄

4.2. Переходя к полярным координатам, вычислить ДИ:

► 1. В данном случае переход к полярным координатам особенно удобен, так как область D − верхняя половина единичного круга (рис. 12). Для полярный радиус Поэтому, используя формулы (вычисление ДИв полярных координатах), получим:

2. В данном интеграле переход к полярным координатам удобен из-за вида области интегрирования (рис. 13).

Заметим, что уравнение луча в полярных координатах запишется , а . Таким образом, используя формулу (вычисление ДИв полярных координатах), получим:

◄

4.3. Вычислить ДИ где область D ограничена линиями и лежит вне первой окружности.

► Сначала определим пределы изменения полярного угла в области D, для чего решаем совместно систему из уравнений линий, ограничивающих область:

Таким образом, (рис. 14). Полярный радиус r изменяется в области D от R до

Следовательно,

◄

Аудиторные задачи

I. В повторных интегралах перейти к полярным координатам:

4.4.

4.5.

4.6.

II. Переходя к полярным координатам, вычислить ДИ :

4.7. D − первая четверть круга, радиуса c центром в т. О (0, 0).

4.8.

4.9.

4.10.

4.11.

5.2.12.

Задание на дом

4.13. В ДИ перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования:

4.14. Вычислить ДИ:

(переход к обобщённой полярной системе координат).

Ответы

4.4.

4.5.

4.6.

4.7.

4.8.

4.9.

4.10. 3.

4.11.

4.12.

4.13. 1.

4.14. 1.

5. Приложения ДИ

Примеры решения

       5.1. Найти площадь, ограниченную параболами                   и .

       ► Решая систему уравнений , найдем точки пересечения парабол , и сделаем чертеж (рис. 14).

       Область D на рис. 14 является правильной относительно оси OX, поэтому площадь можно представить в виде повторного интеграла:

.

       Здесь мы воспользовались симметрией области относительно оси OX. ◄

       5.2. Найти площадь, ограниченную кривыми и .

       ► В плоскости XOY фигура показана на рис. 15.

Вычислим по формуле (геометрические приложения ДИ) площадь верхней части и удвоим:

. ◄

       5.3. Площади каких областей выражаются интегралами:

1. ,

2. ?

       ► 1. Область ограничена системой неравенств: , . Искомая область располагается в полосе (это сразу отмечается на рисунке). Уравнения и запишем соответственно в виде: , . Далее строим область (рис. 16).



       2. Область ограничена системой неравенств: , .

       Луч, проведенный из полюса через любую внутреннюю точку области, сразу входит в область, т.к. , а точка его выхода находится на линии (или ). Далее строится область (рис. 17). ◄

       5.3.4. Найти объем тела, ограниченного поверхностями: , , , .

       ► Первая поверхность – параболический цилиндр с образующими, параллельными оси OZ (почему)? Сделаем чертеж (рис. 18).

Согласно формуле (геометрические приложения ДИ) получим

. ◄

       5.5. Найти объем тела, ограниченного плоскостью и параболоидом

► Сверху данное тело (рис. 19) ограничено параболоидом , поэтому .

       Область D - круг, его границу получим подстановкой             в уравнение . В полярных координатах уравнение этой окружности имеет вид или . Учитывая симметрию тела относительно плоскостей XOZ и YOZ, найдем

.

Откуда . ◄

5.6. Найти массу квадратной пластинки , поверхностная плотность которой равна .

►

. ◄

       5.7. Вычислить площадь части поверхности параболоида , вырезанной цилиндром .

► Сделаем чертеж (рис. 20). Согласно формуле (геометрические приложения ДИ) получим , где , тогда

.

       Перейдем к полярным координатам (почему?).

Используя формулу, получим

. ◄

       5.8. Тонкая пластина имеет форму кругового кольца с радиусами           и . Удельная теплоемкость пластинки меняется по закону , плотность постоянна и равна . Найти количество теплоты , полученное пластинкой при ее нагревании от температуры до .

       ► Количество теплоты определится по формуле

. ◄

       5.9. Найти координаты центра масс однородной пластинки, ограниченной кривыми .

       ► Кривые пересекаются в точках и (рис. 21).

       Поэтому можно записать:

,

,

.

       Подставляя найденные значения в формулы (физические               приложения ДИ), имеем:

, . ◄

       5.10. Найти моменты инерции однородного треугольника, заданного уравнениями .

       ► Построим область интегрирования (рис. 22).

       Используя формулы (физические приложения ДИ), можно записать

,

. ◄

Аудиторные задачи

      I. Найти площадь, ограниченную линиями:

5.11. .

5.12. .

5.13. .

5.14. .

5.15. .

5.16. (вне кардиоиды).

II. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

5.17.

5.18.

5.19.

5.20.

5.21.

5.22. .

III. Найти площадь поверхности , вырезаемую поверхностями :

5.23.

5.24.

5.25.

5.26.

5.27.

5.28.

IV. 5.29. Найти массу круглой пластинки радиуса , если плотность ее пропорциональна квадрату расстояния точки от центра и равна на краю пластинки.

5.30. Найти массу пластинки, имеющей форму прямоугольного треугольника с катетами и , если плотность ее в любой точке равна расстоянию точки от катета .

5.31. Найти массу квадратной пластинки со стороной , если плотность материала пластинки пропорциональна квадрату расстояния               от точки пересечения диагоналей и на углах квадрата равна единице.

V.   5.32. На тонкой пластинке, имеющей форму параболического сегмента, ограниченного осью и параболой , распределен электрический заряд с поверхностной плотностью . Найти полный заряд .

VI. Найти координаты центра масс однородной фигуры, ограниченной кривыми:

5.33. .

5.34. .

5.35. .

       VII. Найти моменты инерции относительно осей и однородной фигуры , ограниченной кривыми:

5.36. .

5.37. .

5.38. .

Задание на дом

5.39. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

1. .

2. (справа от прямой).

5.40. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

1.

2.

5.41. Найти площадь части поверхности между и .

5.42. Найти массу пластинки

с плотностью .

5.43. Найти координаты центра масс однородной фигуры, ограниченной кривыми .

Ответы

5.11. .

5.12. 5.

5.13. .

5.14. .

5.15. .

5.16. .

5.17. .

5.18. 1.

5.19. .

5.20. 28.

5.21. .

5.22. 45.

5.23. .

5.24. .

5.25. .

5.26. .

5.27. .

5.28. .

5.29. .

5.30. .

5.31. .

5.32. .

5.33. .

5.34.

5.35. .

5.36.

5.37.

5.38.

5.39. 1. . 2. .

5.40. 1. . 2. .

5.41. .

5.42.

5.43. .

Вопросы для самопроверки

1. Каков геометрический смысл теоремы о среднем для ДИ по плоской области от непрерывной неотрицательной функции?

2. Как записывается неравенствами множество точек области, правильной в направлении а) , б) ?

3. Какова должна быть область интегрирования, чтобы пределы           по x и y были постоянными?

4. Какая область является правильной в полярной системе координат?

5. В каких случаях вычисление ДИ целесообразно производить        в полярных координатах?

Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 348; Мы поможем в написании вашей работы!
Поделиться с друзьями:

⇐ Предыдущая 12

Мы поможем в написании ваших работ!