Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат
ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
ФУНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ
Двойной интеграл
Определение и свойства двойного интеграла
Определение 1: Пусть в замкнутой области плоскости определена функция . Разобьем область сетью кривых на конечное число областей , площади которых обозначим .
В i-й частичной области , возьмем произвольную точку и значение функции в данной точке умножим на площадь этой области.
Составим аналогичные произведения по всем частичным областям и, просуммировав полученные произведения, будем иметь
(1).
Сумма (1) называется интегральной суммой для функции в области .
Обозначим через наибольший из диаметров частичных областей .
Если при стремлении к нулю интегральная сумма (1) имеет определенный конечный предел I, не зависящий ни от способа деления области на частичные области , ни от выбора точек в каждой из них, то этот предел называется двойным интегралом от функции в области и обозначается .
Отметим достаточные условия существования двойного интеграла.
Теорема 1(достаточные условия существования двойного интеграла): Если в замкнутой ограниченной области однозначная функция непрерывна, то двойной интеграл от этой функции по области существует.
Свойства
. Двойной интеграл не зависит от обозначения переменных интегрирования.
|
|
. Постоянный множитель можно выносить за знак двойного интеграла
. Двойной интеграл от суммы двух (и более) функций равен сумме двойных интегралов от слагаемых
. Если область интегрирования разбита на две области и то
.
. Если всюду в области , то .
Если в области , то .
. Если функция задана в области , то
.
.
. (Теорема о среднем): Если функция непрерывна в замкнутой области , то в этой области существует точка , такая что
.
. Если функция интегрируема в области , то имеет место оценка
,
где площадь области ; - наименьшее, а - наибольшее значения функции в области .
Вычисление двойных интегралов
В прямоугольной системе координат
Пусть требуется найти значение двойного интеграла.
Определение: Плоская область называется правильной в направлении оси (рис. 1), если любая прямая, параллельная оси , пересекает границу области не более чем в двух точках. Точка входа в область (как и точка выхода) лежит на линии, уравнение которой задано одним аналитическим выражением.
Покажем, что, если область – правильная, то вычисление двойного интеграла сводится к вычислению повторного интеграла, то есть к последовательному интегрированию функции по каждой из переменных.
|
|
Найдем объем, воспользовавшись формулой вычисления объема по известным площадям поперечных сечений .
Будем считать, что - правильная в направлении оси OY. Спроектируем ее на ось ОХ, полагая (рис.2). Точки А и В разделяют на линии АКВ, ее уравнение и АNB, ее уравнение .
Проведем перпендикулярную оси ОХ плоскость, которая пересечет данное тело по некоторой криволинейной трапеции . Площадь сечения зависит от и может быть вычислена с помощью определенного интеграла .
Тогда .
С другой стороны, , получаем формулу
(1).
Интеграл, стоящий в правой части (1) – повторный; a и b – внешние пределы интегрирования (они всегда постоянны), и – внутренние пределы интегрирования (они могут быть как постоянными, так и переменными). Вначале вычисляется внутренний интеграл, при этом вторая переменная (для записанной формулы - ), соответствующая внешнему интегралу, считается постоянной, а затем внешний интеграл.
Для расстановки пределов интегрирования в двойном интеграле достаточно изобразить в область интегрирования .
|
|
Порядок интегрирования можно изменить: внутренний интеграл вычислить по переменной , а внешний – по . Допустим, что область - правильная в направлении оси ОХ (рис. 3). Спроектируем область на ось OY, , уравнение линии NAK ; NBK - .
Тогда
.
Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат
Осуществим в двойном интеграле , заданном в декартовой системе координат, замену переменных по известным формулам: . В этом случае подынтегральная функция будет зависеть от полярных координат и : .
Двойной интеграл в полярных координатах
.
Область такова, что любой луч, выходящий из начала координат и проходящий через внутреннюю точку области, пересекает границу не более чем в двух точках, т.е. является правильной применительно к полярным координатам.
Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двукратного интеграла по переменным и . Для расстановки пределов интегрирования из полюса проводят ограничивающие лучи и . Записывают уравнения линий (AMB) , и (AKB) , тогда , .
Как правило, внешний интеграл вычисляется по переменной , а внутренний по
|
|
.
Если область такова, что полюс находится в ее внутренней точке и любой луч, выходящий из полюса, пересекает границу только в одной точке, то формула для вычисления двойного интеграла в полярных координатах
.
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 669; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!