Неравенство Клаузиуса-Дюгема
Второе полугодие. Лекция №2 Теория определяющих соотношений. Термодинамический подход. 1. Термодинамика сплошной среды 2. Неравенство Клаузиуса-Дюгема 3. Закон Гука 1. Термодинамика сплошной среды. Плотность тела, закон движения, сила… Силы делятся на массовые и поверхностные , (1) Плотность поверхностных сил зависит от координаты точки элемента поверхности и его нормали. Постулат Коши – вектор напряжений идентичен в данной точке для разных поверхностей с одинаковой нормалью (2) Фундаментальная лемма Коши о нечетности вектора напряжений относительно нормали (3) Из (2) и (3) следует Фундаментальная теорема Коши: Если - непрерывная функция по , то существует такое тензорное поле , что (4) В случае отсутствия собственного момента среды, массовых и поверхностных моментов тензор напряжений Коши симметричен. Мощность работы внешних массовых и поверхностных сил определяется в инерциальной системе отсчета следующим образом , (5) Кинематические величины напрямую связаны с силами, являясь их причиной и следствием. Есть иные внутренние степени свободы среды, другие внутренние параметры системы, такие как температура. Температура как мера нагретости тела в виде скалярной величины, ограниченной снизу наибольшей нижней гранью, называется абсолютной температурой . Для температуры существует собственная причина и следствие в виде скорости подвода тепла (6) Объемная скорость подвода тепла определяется плотностью объемных источников тепла , задающей количество тепла, переданное единице массы за единицу времени (7) А поверхностная скорость подвода тепла определяется величиной поверхностного притока тепла , (8) Поверхностный приток тепла определяет количество тепла поступающее через единицу площади поверхности контактирующих тел за единицу времени. Он аналогичен вектору напряжений и для него верны те же утверждения: Постулат Фурье – Поверхностный приток тепла идентичен в данной точке для разных поверхностей с одинаковой нормалью (9)
|
|
|
Лемма Фурье
| (10) |
Из (2) и (3) следует Фундаментальная теорема Фурье-Стокса:
Если 
- непрерывная функция по 
, удовлетворяющая (10), то существует такое векторное поле теплового потока 
, что
| (11) |
Минус перед вектором берется для того, чтобы подчеркнуть, что мы описываем именно приток тепла – то есть вектор направлен навстречу вектору внешней нормали 
.
Пользуясь формулой Гаусса-Остроградского мы можем выразить скорость подвода тепла в виде единого интеграла по объему
| (12) |
Первый закон термодинамики
Скорость изменения полной энергии системы равна сумме мощности работы внешних сил и скорости притока тепла извне
|
|
|
| (13) |
Полная энергия системы представляется в виде суммы кинетической энергии и внутренней энергии.
 ,  , 
| (14) |
Из(14)получаем с учетом уравнения неразрывности
| (15) |
Из (5), (12), (13) и (15) получаем уравнение энергии
| (16) |
В силу произвольности объема получаем дифференциальное уравнение энергии для точки среды
| (17) |
Но с учетом уравнения движения, слагаемые при сомножителе – компоненте скорости сокращаются
| (18) |
Мы получили уравнение притока тепла (уравнение баланса энергии) в простом виде для точки среды:
| (19) |
Для некоторого объема среды мы получим его , проинтегрировав (19) по объему
| (20) |
где 
- мощность работы внутренних поверхностных сил.
Второй закон термодинамики
Один из видов формулировка второго закона термодинамики состоит из четырех утверждений для новой функции состояния системы 
, называемой энтропией:
 , при этом 
| (21) |
если процесс обратимый
- приток энтропии извне определяется либо притоком массы, либо притоком тепла.
 , если нет притока массы к системе и во всех ее точках температура одинакова.
| (22) |
То есть на основании равенств (21)и (22) и неравенства из (21) мы имеем важное неравенство
|
|
|
| (23) |
Выражая скорость притока тепла 
из (19) в виде 
, получаем из (23)
Неравенство Клаузиуса-Дюгема.
| (24) |
Или, переходя к подынтегральным выражениям, вводя плотность энтропии 
как 
| (25) |
Итак, на данный момент мы имеем следующие уравнения, которые выполняются для любой сплошной среды, некоего термомеханического континуума.
 уравнение неразрывности
| (26) |
 уравнение движения
| (27) |
 уравнение притока тепла (ур-е энергии)
| (28) |
 неравенство Клаузиуса-Дюгема
| (29) |
Мы имеем пять независимых уравнений, одно неравенство и… шестнадцать неизвестных!
Плотность, три компоненты вектора скорости, шесть компонент тензора напряжений, три компоненты вектора потока тепла, плотность внутренней энергии, температура и плотность энтропии.
Где взять ещеодиннадцать уравнений?
Шесть дают определяющие соотношения, связывающие в единую энергетическую пару некий тензор деформации 
и соответствующий ему тензор напряжений 
, так, что плотность мощности работы внутренних сил представима в виде свертки одного тензора на полную производную по времени от второго 
. При условии введения параметров состояния для плотности внутренней энергии в виде пары – энтропия и тензор деформаций, мы получаем следующее определяющее соотношение
|
|
|
| (30) |
Одно уравнение дает связь плотности энтропии, внутренней энергии и температуры
| (31) |
Вводя температуру 
как еще одну степень свободы наравне с деформацией, мы можем, согласно закону Фурье для изотропного тела, выразить вектор потока тепла через температуру:
 , где  - коэффициент теплопроводности.
| (32) |
Это еще три уравнения. И последнее уравнение постулируется в виде калорического уравнения
Дата добавления: 2018-04-05; просмотров: 449; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!