Дополнительные равносильности
БУЛЕВЫ ФУНКЦИИ
Булевы переменные и функции
Переменная х, принимающая значения 0 или 1, называется булевой (или логической, двоичной). Функция F, зависящая от булевых переменных и принимающая также значения 0 или 1, называется булевой (или логической, двоичной) и обозначается .
Булевы функции F от n переменных могут быть заданы посредством таблицы истинности, содержащей строк и столбцов. В левой части таблицы содержатся наборы значений n переменных, расположенные в порядке возрастания их десятичного эквивалента, а в правой ее части - значения функции F на соответствующих наборах значений переменных.
В качестве примера рассмотрим таблицу истинности некоторой булевой функции F, зависящей от переменных , и .
F | |||
0 | 0 | 0 | 0 |
0 | 0 | 1 | 0 |
0 | 1 | 0 | 1 |
0 | 1 | 1 | 0 |
1 | 0 | 0 | 0 |
1 | 0 | 1 | 1 |
1 | 1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 |
Булева функция n переменных F однозначно определяется - разрядным булевым вектором ее значений w(F) (т.е. w(F) - таблица истинности функции F). Например, в этом примере имеем w(F)=(00100111).
Рассматриваемая булева функция F принимает значения 0 на наборах 000, 001, 011 и 100, а значение 1 - на наборах 010, 101, 110 и 111.
Множество наборов, на которых функция F принимает значение 1, называется характеристическим и обозначается через NF. В настоящем примере имеет место NF = (010, 101, 110, 111).
Общее число различных булевых функций F от n переменных равно . Т.е. число булевых функций от двух переменных равно , от трех переменных .
|
|
Элементарные булевы функции. Равносильности
Булевых (или логических) функций от одной переменной . Они приведены в следующей таблице:
0 | отрицание | 1 | ||
0 | 0 | 0 | 1 | 1 |
1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
Основные элементарные булевы функции от двух переменных приведены в следующей таблице:
конъюнк- ция | дизъюнк- ция | имплика- ция | эквивален-тность | сложение по модулю два | стрелка Пирса | штрих Шеффера | ||
0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 |
0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 |
1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 |
Функция называется конъюнкцией, ее обозначают также , но чаще всего знак конъюнкции аналогично знаку умножения опускают и пишут . Конъюнкция равна единице, только если =1 и =1 одновременно, поэтому ее часто называют функцией И. Еще одно название конъюнкции ― логическое умножение, поскольку ее таблица истинности действительно совпадает с таблицей обычного умножения для чисел 0 и 1.
Функция называется дизъюнкцией. Дизъюнкция равна единице, только если =1 или =1 (т.е. хотя бы одна переменная равна единице), поэтому ее часто называют функцией ИЛИ.
|
|
Кроме таблицы истинности, булевы функции могут быть заданы аналитически с помощью формул. Например, .
Если формула a реализует булеву функцию F,которая тождественно равна единице, то она называется тождественно истинной. Если формула a реализует булеву функцию F, которая тождественно равна нулю, то она называется тождественно ложной.
Если формулы a и b зависят от одних и тех же переменных и реализуют одну и ту же булеву функцию F,то формулы a и b называются равносильными.
Основные равносильности
Закон двойного отрицания
.
Идемпотентность
, .
Коммутативность
, .
Ассоциативность
, .
Дистрибутивность
, .
Законы де Моргана
, .
Формулы с константами
, , ,
, , .
Дополнительные равносильности
,
,
,
,
,
,
,
,
, (законы склеивания),
(закон поглощения).
(закон обобщенного склеивания).
Переменная булевой функции F называется несущественной (или фиктивной), если , то есть если изменение значения в каждом наборе значений не меняет значения функции. При этом существует такая формула, реализующая эту булеву функцию, в которой отсутствует .
|
|
Пример. С помощью основных равносильностей доказать, что в булевой функции F = переменная является фиктивной.
Решение.Применяя закон поглощения и закон склеивания, получим
F = .
Так как существует такая формула, реализующая эту булеву функцию, в которой отсутствует , то эта переменная является фиктивной.
Пример. С помощью таблицы истинности убедиться в справедливости законов де Моргана .
Решение. Построим таблицу истинности для и .
0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 1 |
1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 0 |
Так как в таблице истинности булевым функциям и соответствуют одинаковые столбцы, то формулы и равносильны.
Пример. С помощью основных равносильностей доказать закон обобщенного склеивания .
Решение. Применяя закон склеивания (в обратном порядке, то есть ) и дистрибутивность (то есть вынесем за скобки и ), получим
.
Пример. С помощью основных равносильностей доказать, что .
Решение. Применяя основные равносильности, получим
.
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 366; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!