Переходный процесс в цепи с последовательно
Соединенными резистором и конденсатором
Рассмотрим переходный процесс при включении цепи RC к источнику постоянного напряжения (рис. 9.4).
После замыкания ключа происходит процесс заряда конденсатора до величины напряжения U источника питания. В течение этого времени в цепи протекает ток, который после полной зарядки конденсатора становится равным нулю. Это физическое понимание переходного процесса. Опишем процесс математически.
В соответствии со вторым законом Кирхгофа составим уравнение электрического состояния для рассматриваемой цепи относительно напряжения конденсатора:
или с учетом того, что
.
Решение этого дифференциального уравнения находится как сумма принужденной и свободной составляющих: uС(t) = uСпр(t) +uСсв(t) = U+ Вept .
Характеристическое уравнение для этой схемы: RCp + 1=0,
корень этого уравнения
p = -1/(RC).
Постоянная времени переходного процесса .
Постоянную интегрирования В найдем, рассмотрев искомую функцию в момент времени t=0. Так как схема до коммутации была отключена от источника питания, то есть конденсатор не был заряжен, то согласно второму закону коммутации начальное значение напряжения на конденсаторе uС(0+) = uС(0-) = 0.
Так как uС(0+)= U + B =0, то В = uc(0+) – U = –U.
Искомая переходная функция имеет вид
|
|
Ток в цепи
.
Напряжение на резистивном элементе
Графики переходных функций тока и напряжений представлены на рис. 9.5.
Переходные процессы в неразветвленной цепи R, L, С
Пусть к источнику постоянного напряжения U подключается цепь с последовательным соединением элементов R, L, C (рис. 9.6). Для послекоммутационной схемы (ключ замкнут) можно составить уравнение по второму закону Кирхгофа в дифференциальной форме:
.
Дифференцируя это уравнение по времени, получим дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, составленное относительно тока в цепи:
так как
Так как правая часть уравнения равна нулю, то принужденная составляющая тока отсутствует и переходный ток имеет только одну свободную составляющую:
Вид свободной составляющей определяется видом корней характеристического уравнения.
Составим характеристическое уравнение для данного дифференциального уравнения:
или
Корни такого уравнения
Знак подкоренного выражения определяет характер свободного процесса.
Если , то корни действительные, разные, отрицательные и в этом случае характер свободного процесса называют апериодическим, а решение дифференциального уравнения имеет вид:
|
|
,
где А1 и А2 – вещественные постоянные интегрирования, определяемые из начальных условий.
Продифференцируем решение дифференциального уравнения по времени:
.
Запишем решение дифференциального уравнения и его производную для момента времени t=0+:
Так как согласно первому закону коммутации
то или
Значение найдем из уравнения, составленного по второму закону Кирхгофа для момента времени t=0+:
Так как согласно законам коммутации i(0+)=0 и uC(0+)=0, то
или .
Следовательно,
откуда
Переходные функции тока в цепи и напряжений на элементах R, L, C:
Кривые зависимостей i(t), uL(t), uC(t) приведены на рис. 9.7 и 9.8 а, б.
Переходный ток i(t) состоит из двух экспоненциальных составляющих (рис. 9.7) с различной степенью затухания. Время t1 достижения током его максимального значения можно определить, приравняв к нулю производную di/dt функции. Кривые uL(t) и uC(t) также состоят из двух экспоненциальных составляющих (рис. 9.8, а, б).
|
|
Напряжение uL убывает от значения U, переходит через ноль в момент времени t1, когда ток максимален, затем возрастает до некоторого отрицательного максимума, после чего стремится к нулю.
а) б)
Рис. 9.8
Напряжение uС монотонно возрастает от нуля до значения равного напряжению источника U, причем точка перегиба кривой при t=t1 получается когда ток достигает максимума.
При корни характеристического уравнения действительные, одинаковые, отрицательные .
В этом случае общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид
,
а ее производная
При t=0+ эти выражения запишутся, учитывая значения начальных условий: ;
Переходный ток в этом случае имеет вид
,
а напряжения на элементах R, L, C определяются:
;
;
.
Характер изменения тока и напряжений на элементах цепи не будет отличаться от того, что мы наблюдали при . Переходный процесс в этом случае является предельным апериодическим процессом и носит название критического. Из условия можно определить критическое сопротивление контура , при котором имеет место критический режим.
|
|
При корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные:
,
где - угловая частота свободных колебаний контура.
Переходный процесс в этом случае называется колебательным.
Решение однородного дифференциального уравнения в этом случае записывается:
,
а производная этой функции:
При t=0+ эти функции имеют вид:
;
Так как начальные условия такие же, как и в предыдущих случаях, то
, откуда ψ=0 и
тогда .
Переходная функция тока запишется:
То есть ток совершает затухающие колебания около нулевого значения (рис. 9.9).
Время переходного процесса tпп зависит от величины постоянной времени, которая в данном случае может быть определена как , тогда .
Период затухающих колебаний определяется частотой свободных колебаний . Определить количество колебаний можно, сравнив время переходного процесса и период свободных колебаний.
Напряжение на индуктивном элементе
где
Составим дифференциальное уравнение, где в качестве неизвестного выступает напряжение емкостного элемента uC:
Решение этого уравнения
.
Продифференцируем это выражение
Для момента времени t=0+ эти выражения с учетом независимых начальных условий запишутся:
Из первого уравнения получим , тогда
Откуда .
Искомая функция имеет вид
Кривая переходной функции uC показана на рис. 9.10.
Из рис.9.10 видно, что напряжение колеблется около своего установившегося значения U и не может превзойти значения двойного напряжения 2U. Оно достигает максимального значения примерно через половину периода после включения цепи. Этим пользуются в импульсной технике для получения напряжения на конденсаторе, равного двойному значению напряжения источника питания.
ОПИСАНИЕ ЛАБОРАТОРНОЙ УСТАНОВКИ
Для получения устойчивой картины переходного процесса на экране осциллографа исследуемые цепи подключают к источнику прямоугольных импульсов – транзисторному ключу (рис. 9.11, а), форма выходного сигнала которого показана на рис.9.12. Амплитуда выходного сигнала транзисторного ключа Um=10 B.
Транзисторный ключ управляется звуковым генератором (рис. 9.11, а). Частота коммутации ключа равна частоте сигнала генератора. Для исследования цепи важен момент коммутации и интервал времени до следующего включения.
Для того чтобы за время, равное половине длительности прямоугольных импульсов, переходный процесс успевал завершиться, необходимо выполнение условия tпп≤Т/2. А так как tпп = 5τ, то длительность прямоугольно импульса определяется как Т/2 = 5τ или Т = 10τ. Частота прямоугольных импульсов (частота сигнала генератора) f= 1/T.
Для экспериментального снятия кривых переходного процесса используется осциллограф С1-55, позволяющий учитывать масштабы напряжения и времени.
Резистор с сопротивлением R представляет собой магазин сопротивлений 0 10000 Ом.
Конденсатор с емкостью С - блок конденсаторов универсального стенда 0 34.75 мкФ.
Катушка с индуктивностью L - обмотка однофазного универсального трансформатора на разомкнутом сердечнике из комплекта стенда: катушка с разомкнутым сердечником: клеммы 2-3 – L=0,5 Гн; клеммы 1-3 – L=0,16 Гн; клеммы 1-2 –L=0,18 Гн. Катушка без сердечника: клеммы 2-3 – L=0,016 Гн; клеммы 1-3 – L=0,09 Гн.
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 765; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!