Теория вероятностей и математическая статистика
Нормальным называют распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, плотность которого имеет вид
где а – математическое ожидание, σ – среднее квадратическое отклонение Х.
Вероятность того, что Х примет значение, принадлежащее интервалу (α,β),
Р(α<х<β)=Ф 
(1)
где Ф(х)= 
- функция Лапласа.
Пример 1. Математическое ожидание а нормально распределенной случайной величины Х а=10, среднее квадратическое отклонение σ=2. Найти вероятность попадания этой величины в интервал (12;14).
Решение: Подставив в формулу (1) α=12, β=14, а=10, σ=2, получаем
Р(12<х<14)=Ф 
По таблице для функции Лапласа находим, что Ф(2)= 0,4772, Ф(1)=0,3413 и искомая вероятность Р(12<х<14)=0,1359.
Оценки, которые определяются одним числом, называют точечными. При малом числе наблюдений эти оценки могут приводить к грубым ошибкам. Чтобы избежать этих ошибок, используют интервальные оценки, которые определяются двумя числами – концами интервала (в котором заключена оцениваемая величина с заданной вероятностью).
Таким образом, задача сводится к отысканию такого интервала (его называют доверительным), который с заданной вероятностью γ (ее называют надежностью) покрывают оцениваемый параметр. Наиболее часто надежность принимают равной 0,95 или 0,99, или 0,999.
В частности, при надежности γ=0,95 доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения (по выборочной средней 
выборки объема n, при известном σ) находят по формуле
|
|
|
В обозначениях формула принимает вид: 
Если доверительный интервал найден, то с надежностью 0,95 можно считать, что оцениваемый параметр заключен в этом интервале.
Пример 2.Найти доверительный интервал для оценки математического ожидания а нормального распределения с надежностью 0,95, зная выборочную среднюю =10,43 (статистическую среднюю 
), объем выборки (число наблюдений) n=100 и среднее квадратическое отклонение σ=5.
Решение: Воспользуемся формулой:
Подставляя данные, получаем:
10,43-1,96(5/10)<а<10,43+1,96(5/10), или окончательно 9,45<а<11,41.
Контрольные задания
Ниже приведена таблица номеров задач, входящих в задания на контрольные работы.
Студент выполняет тот вариант контрольных работ, который совпадает с последней цифрой его учебного шифра. При этом если предпоследняя цифра учебного шифра есть число нечетное (1, 3, 5, 7, 9), то номера задач для соответствующего варианта даны в табл. 1; если же предпоследняя цифра учебного шифра есть число четное или ноль (2, 4, 6, 8, 0), то номера задач для соответствующего варианта даны в табл.2
|
|
|
Таблица 1
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 202; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!