Определение продольных усилий в опорных стержнях
Обозначим стержни цифрами 1, 2, 3 (рис. 1.4, а). Стержни имеют по концам шарниры, поэтому внутренняя продольная сила N направлена вдоль стержня. Так как материал стержней имеет разные значения допускаемых напряжений на растяжение и сжатие, то для составления условий прочности важно знать растянут стержень или сжат. Это оценивается направлением продольной силы. Если сила 
растягивает стержень, то она считается положительной, и перед её значением ставится знак « + »; если сила сжимает стержень, то она считается отрицательной, и перед её значением ставится знак « - ». Чтобы автоматически получить правильный знак силы , поставим для всех стержней направление сил 
, 
, 
, при котором происходит растяжение стержней.
Рис. 1.4
Силы , , должны удовлетворять условиям равновесия бруса 
. Брус нагружен внешней нагрузкой 
и 
и неизвестными силами , , , которые в совокупности представляют плоскую систему сил, поэтому для бруса имеем три уравнения равновесия:
Запишем эти уравнения:
Заметим, что вычисления с целью уменьшения цифрового объёма можно выполнять через доли ql, подставляя заданное соотношение 
.
Из третьего уравнения
.
Округляя, запишем N1 = -86,4 кН. Усилие N1 получено отрицательным, значит, стержень 1 сжат.
Из первого уравнения
кН.
Продольное усилие положительно, значит, стержень 2 растянут.
|
|
|
Из второго уравнения
кН.
Продольное усилие положительно, значит, стержень 3 растянут.
Для проверки правильности найденных усилий составим неиспользованное уравнение равновесия ∑ МА = 0:
=0,
,
Равенство нулю говорит, что усилия в стержнях найдены верно.
Подбор площади сечения стержней
Для подбора сечений в условие прочности по допускаемым напряжениям (1.1), нужно брать 
, если стержень растянут, и 
= 
, если сжат.
Стержень 1 сжат, условие прочности (1.1) для него принимает вид
Необходимо помнить, что для сжатого стержня в условие прочности ставим модуль продольной силы. Подставляя в это условие прочности значения =86,4 кН и 
МПа, получим
,
отсюда площадь сечения
.
Принимаем в соответствии со знаком «больше либо равно» площадь сечения 1-го стержня 
.
Составим условие прочности для 2-го стержня. Стержень 2 растянут, то по условию (1.1)
.
Подставляя значения 
кН и 
МПа, получаем
,
откуда требуемая площадь сечения
.= .
Округляя, принимаем площадь сечения 2-го стержня 
.
Для 3-го стержня продольное усилие положительно, поэтому условие прочности имеет вид:
.
Подставляя в это условие прочности значения 
кН и МПа, получаем
|
|
|
,
откуда требуемая площадь сечения
.
Принимаем площадь сечения 3-го стержня 
.
Таблица 1.1. Схемы стержневых систем задачи 1
| 
|
| 
|
| 
|
Таблица 1.1. Схемы стержневых систем задачи 1 (продолжение)
| 
|
| 
|
| 
|
Таблица 1.1. Схемы стержневых систем задачи 1 (продолжение)
| 
|
| 
|
| 
|
Таблица 1.1. Схемы стержневых систем задачи 1 (продолжение)
| 
|
| 
|
| 
|
Таблица 1.1. Схемы стержневых систем задачи 1
(окончание)
| 
|
| 
|
| 
|
Таблица 1.2. Исходные значения к задаче 1
| Номер варианта | Длина L, м | Интенсивность нагрузки q, кН/м | Отношение P/(q L) |
| 1 | 2,00 | 40 | 1,5 |
| 2 | 1,25 | 50 | 2,0 |
| 3 | 1,80 | 30 | 1,5 |
| 4 | 1,60 | 35 | 2,0 |
| 5 | 1,45 | 45 | 1,5 |
| 6 | 1,40 | 50 | 2,5 |
| 7 | 1,75 | 40 | 2,0 |
| 8 | 1,90 | 35 | 1,0 |
| 9 | 1,70 | 30 | 2,0 |
| 10 | 1,35 | 40 | 2,5 |
| 11 | 1,85 | 50 | 0,5 |
| 12 | 1,30 | 45 | 2,0 |
| 13 | 1,65 | 35 | 1,0 |
| 14 | 1,75 | 45 | 2,5 |
| 15 | 1,80 | 40 | 0,5 |
| 16 | 2,20 | 20 | 3,0 |
| 17 | 1,55 | 30 | 1,0 |
| 18 | 2,15 | 35 | 3,0 |
| 19 | 2,05 | 45 | 1,0 |
| 20 | 1,35 | 30 | 0,5 |
| 21 | 1,95 | 40 | 1,5 |
| 22 | 1,50 | 30 | 1,0 |
| 23 | 2,25 | 25 | 3,0 |
| 24 | 1,85 | 45 | 1,5 |
| 25 | 2,00 | 35 | 1,0 |
| 26 | 1,65 | 50 | 2,0 |
| 27 | 1,20 | 35 | 1,5 |
| 28 | 1,45 | 50 | 1,3 |
| 29 | 1,90 | 30 | 2,5 |
| 30 | 1,80 | 40 | 1,0 |
Задача 2.
|
|
|
Проверочный расчёт бруса
Условие задачи
Для стального бруса, изображённого на рис. 2.1, а, известна внешняя нагрузка, заданы площадь поперечного сечения и длина (см. табл 2.1).
Требуется:
1. Построить эпюру продольных сил N.
2. Вычислить нормальные напряжения σ и проверить прочность при допускаемом напряжении [σ]=200Мпа.
3. Вычислить продольные перемещения, построить эпюру перемещений δ и проверить жёсткость при допускаемом перемещении [δ] = 0,5 мм. Принять модуль упругости E=2∙105Мпа.
Теоретические основы решения
В задаче рассматривается брус, схема которого дана на рис 2, а. В начальном сечении бруса задана сосредоточенная сила Р, и по всей длине бруса действуют распределённая нагрузка интенсивности q. Например, в реальном брусе, расположенным вертикально, это может быть собственный вес, для которого вес куска бруса длиною 1 м является интенсивностью силы собственного веса, равной 
, гдеА ¾ площадь сечения, 
¾ объёмный вес материала стержня.
|
|
|
Внешняя нагрузка направлена по оси бруса, тогда в поперечных сечениях бруса возникает только продольная сила N, по которой можно оценить сопротивление бруса внешним воздействиям и составить условия прочности и жёсткости. Если сила N положительна, то она вызывает растяжение, если отрицательна, ¾ сжатие.
Продольная сила это внутренняя сила, и её значение вычисляют методом сечений. Выполним вычисление продольной силы N для заданного бруса, выполняя последовательно правило РОЗУ метода сечений: разрезать, отбросить, заменить, уравновесить.
Выполним разрез бруса на расстоянии z от свободного края (это будет текущее сечение) и изобразим правую часть (рис. 2.1, б). В текущем сечении поставим силу N, направив её от сечения, чтобы она растягивала отсечённую часть бруса, т.е. направление продольной силы ставим положительное.
Заметим, что, поставив силу N в текущем сечении, мы произвели замену воздействия отброшенной части бруса на оставленную. Составим уравнение равновесия. Как следует из вида нагрузки, при растяжении-сжатии имеем только одно уравнение равновесия, − это сумма проекций всех сил на продольную ось бруса:
. (2.1)
В нашем примере в это уравнение войдут внешние силы 
и 
и внутренняя продольная сила N. Уравнение принимает вид:
отсюда получим формулу продольной силы:
. (2.2)
Как видно, продольная сила Nв сечении равна алгебраической сумме проекций на ось z всех внешних сил, действующих по одну сторону от рассматриваемого сечения.
|
а Заданная схема бруса б Отсечённая часть в Эпюра продольной силы N г Эпюра продольных перемещений δ |
 Мы поможем в написании ваших работ! |
