Решение одномерной осесимметричной задачи магнитостатики аналитически и методом конечных элементов

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное
учреждение высшего образования

Пермский национальный исследовательский

Политехнический университет

Кафедра конструирования и технологий в электротехнике

ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

Методические указания
к практическим работам

Пермь 2018

УДК 519.63

Рецензент

доцент кафедры КТЭ, канд. техн. наук Е.В. Субботин

(Пермский национальный исследовательский
политехнический университет)

Вычислительные методы исследования электромагнитных полей. Методические указания к практическим работам / Сост. А.Г. Щербинин. ПНИПУ. Пермь, 2018. 15 с.

Приводятся методические указания к практическим работам и варианты заданий по дисциплинам «Вычислительные методы в электротехнике» и «Вычислительные методы в электротехнологии» для студентов академической магистратуры по направлению 13.04.02 «Электроэнергетика и электротехника».

УДК 519.63

Ó ПНИПУ, 2018

Решение одномерной осесимметричной задачи электростатики аналитически и методом конечных элементов

Рассмотрим электростатическую задачу определения потенциала коаксиального кабеля (рис. 1.1). Уравнения Лапласа в цилиндрической системе координат запишется следующим образом

, (1.1)

где , , – координаты в цилиндрической системе координат; – электрический потенциал; – абсолютная диэлектрическая проницаемость; – электрическая постоянная, Ф/м; – относительная диэлектрическая проницаемость.

Рис. 1.1. Поперечное сечение коаксиального кабеля

Для плоскопараллельного поля в осесимметричной постановке и . Тогда уравнение (1.1) преобразуется к виду

, (1.2)

Дифференциальное уравнение (1.2) дополним граничными условиями:

. (1.3)

Необходимо найти распределение потенциала по радиусу.

Применение метода Галёркина к уравнению (1.2) даст

. (1.4)

где – приближенное решение; – весовая функция. В методе Галёркина весовые функции равны базисным функциям (функциям формы).

В результате применения метода Галеркина и последующих преобразований, получим

. (1.5)

Неизвестная функция в уравнении (1.5) определяются соотношением

. (1.6)

Тогда

(1.7)

Подставляя формулу (1.7) в первый интеграл уравнения (1.5), получим

. (1.8)

Поскольку на левой и правой границах задано граничное условие первого рода (1.3), то уравнение (1.5) с учетом (1.8) запишется следующим образом

(1.9)

В уравнении (1.9) неизвестными являются .

Функции формы одномерного симплекс элемента

. (1.10)

где – длина конечного элемента.

Для одномерного симплекс-элемента матрица градиентов запишется

. (1.11)

С учетом выражения (1.11) запишем

(1.12)

Уравнение (1.12) перепишем в виде

, (1.13)

Здесь: .

Размерности локальных матриц

; .

Определим члены уравнения для текущего элемента

(1.14)

Или по другому, при условии что и , запишем

(1.15)

Распределение напряженности электрического поля по известному распределению потенциал определяется по формуле

. (1.16)

Аналитические выражения для определения потенциала и напряженности электрического поля по радиусу двухслойной изоляции коаксиального кабеля запишутся как:

(1.17)

(1.18)

(1.19)

ЗАДАНИЕ

Дан коаксиальный кабель с двухслойной изоляцией. К внутреннему проводнику приложен потенциал , а внешний проводник имеет нулевой потенциал. Найти распределение потенциала и напряженности электрического поля по толщине изоляции. Варианты заданий представлены в таблице 1.1.

Таблица 1.1. Варианты заданий

Вариант №	, мм	, мм	, мм	, мм	, мм			, кВ
1	10	15	25	0,5	1	2	3	110
2	10	16	25	0,6	0,9	3	2	110
3	10	17	25	0,7	0,8	2	4	110
4	10	18	25	0,8	0,7	4	2	110
5	10	19	25	0,9	0,6	3	4	110
6	10	20	25	1	0,5	4	3	110
7	10	17,5	32,5	0,5	1	3	5	220
8	10	19	32,5	0,6	0,9	5	3	220
9	10	20,5	32,5	0,7	0,8	4	5	220
10	10	22	32,5	0,8	0,7	5	4	220
11	10	23,5	32,5	0,9	0,6	4	6	220
12	10	25	32,5	1	0,5	6	4	220

Отчет

1. Титульный лист

2. Задание

3. Постановка задачи

4. Глобальная система алгебраических уравнений с расшифровкой локальной матрицы коэффициентов

5. Аналитические формулы

6. Матрица коэффициентов

7. Результаты вычислений

№ узла

, мм

, В

, %

№ элемента

, мм

, В/мм

, %

8. Графики ,

9. Емкость

10. Выводы

Решение одномерной осесимметричной задачи магнитостатики аналитически и методом конечных элементов

Рассмотрим магнитостатическую задачу определения потенциала одиночного проводника (рис. 2.1). Уравнение для магнитного потенциала в одномерной осесимметричной постановке запишется

, (2.1)

где – магнитный потенциал (в одномерной осесимметричной постановке направлен по координате ); – абсолютная магнитная проницаемость; – относительная магнитная проницаемость; – магнитная постоянная; – плотность тока; – заданный ток, – сечение токопроводящей жилы.

Рис. 2.1. Поперечное сечение одиночного проводника

Необходимо найти распределение магнитного потенциала по радиусу.

Применение метода Галёркина к уравнению (1.1) даст

, (2.2)

где – приближенное решение.

В результате применения метода Галеркина и последующих преобразований, получим

. (2.3)

Неизвестная функция в уравнении (17) определяются соотношением

. (2.4)

Тогда

(2.5)

Подставляя формулу (2.5) в первый интеграл уравнения (2.3), запишем

. (2.6)

Поскольку в уравнении (2.3) выражение содержит множитель , то в этом случае его можно использовать в качестве граничного условия на бесконечно удаленной границе, которое можно записать в виде граничного условие Робина . Или

. (2.7)

Здесь: – радиус границы, на которой задано условие бесконечной границы; – расстояние от проводника до границы области, на которой задано условие бесконечной границы.

Тогда

(2.8)

Уравнение (2.3) с учетом выражений (2.6) и (2.8) запишется

(2.9)

Функции формы и матрица градиентов одномерного симплекс-элемента определяются выражениями (1.10) и (1.11). Тогда уравнение (2.9) запишется в виде

(2.10)

Уравнение (2.10) перепишем в виде

. (2.11)

Здесь: ; ; .

Размерности локальных матриц

; .

Определим члены уравнения для текущего элемента

(2.12)

На правой границе расчетной области матрица определится как

. (2.13)

Вектор столбец свободных членов определится выражением

. (2.14)

ЗАДАНИЕ

Дан одиночный проводник (рис. 2.1), по которому протекает ток. Найти распределение магнитного потенциала и напряженности магнитного поля. Варианты заданий представлены в таблице 2.1.

Таблица 2.1. Варианты заданий

Вариант №	, мм	, мм	, мм	, мм	, A
1	10	55	0,5	1	1500
2	11	54	0,6	1	2000
3	12	53	0,7	1	2500
4	13	52	0,8	1	3000
5	14	51	0,9	1	3500
6	15	50	1	1	4000
7	10	49	0,5	1	1500
8	11	48	0,6	1	2000
9	12	47	0,7	1	2500
10	13	46	0,8	1	3000
11	14	45	0,9	1	3500
12	15	44	1	1	4000