Решение двухмерной задачи электростатики МКЭ
Решим двухмерную задачу электростатики
, (3.1)
где 
– электрический потенциал; 
– относительная диэлектрическая проницаемость.
На рис. 3.1 приведена произвольная двухмерная область исследования 
. Здесь: 
– площадь боковой поверхности объема 
; 
– длина контура двухмерной области; 
и 
.
Рис. 3.1. Исследуемая область
Применение метода Галёркина к уравнению (3.1) даст
. (3.2)
где 
– приближенное решение.
В результате применения метода Галеркина и последующих преобразований, получим
. (3.3)
Неизвестная функция в уравнении (3.3) определяется соотношением
(3.4)
Тогда
и 
(3.5)
Уравнение (3.3) с учетом выражений (3.4) и (3.5) запишется
(3.6)
Перепишем уравнение (3.6) в виде
(3.7)
Здесь: 
– матрица градиентов.
Выражение (3.7) в матричной форме можно записать как
, (3.8)
где 
– матрица коэффициентов.
Эффективная процедура решения задач МКЭ строится на том, что сначала определяются матрица коэффициентов и вектор столбец свободных членов для конкретного текущего конечного элемента. Все узловые неизвестные, которые не относятся к этому элементу, исключаются из рассмотрения.
|
|
|
Переходим к матрице по элементам
. (3.9)
Здесь: 
.
Будем считать, что постоянно в пределах элемента.
Интерполяционный полином для двухмерного линейного элемента имеет вид
, (3.10)
где 
; 
; или 
;
; 
; или 
;
; 
; или 
.
Тогда для треугольного симплекс-элемента матрица градиентов запишется
(3.11)
Определим члены уравнения для текущего элемента
(3.12)
ЗАДАНИЕ
Дан 2-х, 3-х или 4-х жильный экранированный кабель, заполненный однородной изоляцией. На рис. 3.2 приведена схема 3-х жильного кабеля. К внутренним областям приложены заданные значения потенциала (см. табл. 3.1). К экрану приложено значение потенциала, равное нулю. Найти распределение потенциала в изоляции кабеля. Варианты заданий представлены в таблице 3.1. Геометрические параметры расчетной области и разбиение ее на конечные элементы даны в электронной таблице.
|
|
|
Рис. 3.2. Поперечное сечение трехжильного кабеля
Таблица 3.1. Варианты заданий
| Вариант № | Количество жил |  , В
|  , В
|  , В
|  , В
|
| 1 | 2 | 200 | -100 | – | – |
| 2 | 3 | 200 | -100 | 150 | – |
| 3 | 4 | 200 | -100 | 150 | 0 |
| 4 | 2 | 500 | 100 | – | – |
| 5 | 3 | 500 | 100 | 150 | – |
| 6 | 4 | 500 | 100 | 150 | -50 |
| 7 | 2 | -200 | -100 | – | – |
| 8 | 3 | -200 | -100 | 100 | – |
| 9 | 4 | -200 | -100 | 100 | 200 |
| 10 | 2 | 200 | 200 | – | – |
| 11 | 3 | 200 | 200 | -150 | – |
| 12 | 4 | 200 | 200 | -150 | -50 |
Отчет
1. Титульный лист
2. Задание
3. Постановка задачи
4. Результаты вычислений
5. Выводы
Дата добавления: 2018-04-04; просмотров: 339; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!