ИССЛЕДОВАНИЕ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ РЕГУЛИРОВАНИЯ
Цель работы: Установление зависимостей между частотными характеристиками разомкнутой системы, которые могут быть получены как экспериментально, так и аналитически, и поведением системы в замкнутом состоянии.
Постановка задачи: Исходными данными для расчета системы на устойчивость являются характеристическое уравнение замкнутой системы, или АФХ разомкнутой системы, которые могут быть получены экспериментально или аналитически.
Необходимо:
1) построить годограф Найквиста для разомкнутой системы;
2) по виду полученной кривой оценить устойчивость системы в замкнутом состоянии;
3) подтвердить полученный вывод об устойчивости замкнутой системы, построив для нее графики переходных процессов.
Теоретические сведения:
Под устойчивостьюсистемы понимается способность ее возвращаться к состоянию установившегося равновесия после снятия возмущения, нарушившего это равновесие. Неустойчивая система непрерывно удаляется от равновесного состояния или совершает вокруг него колебания с возрастающей амплитудой.
Критерий Найквиста позволяет определить устойчивость системы с отрицательной обратной связью (так называемой замкнутой системы) по амплитудно-фазовой частотной характеристике разомкнутой системы.
Рис. 3.1. Структурная схема замкнутой системы.
Рассмотрим этот критерий для системы с единичной обратной связью (рис. 3.1), на структурной схеме W0(p) – передаточная функция устойчивой разомкнутой системы, которая в общем случае представляет собой последовательное соединение объекта и регулятора.
|
|
|
При теоретических расчетах на комплексной плоскости строится АФХ разомкнутой системы, по виду которой, используя критерий Найквиста, можно определить поведение системы в замкнутом состоянии.
Если АФХ устойчивой разомкнутой системы не охватывает точку с координатами -1; i0, то замкнутая система, полученная из разомкнутой путем охвата ее отрицательной обратной связью, будет устойчива. Если АФХ устойчивой разомкнутой системы охватывает точку с координатами -1; i0, то замкнутая система будет неустойчива. Если АФХ устойчивой разомкнутой системы проходит через точку с координатами -1; i0, то замкнутая система будет находиться на границе устойчивости.
Все положения критерия Найквиста сформулированы и относительно ЛАЧХ и относительно ЛФЧХ разомкнутой системы.
Если ЛАЧХ разомкнутой системы пересекает линию 0 дБ раньше, чем ЛФЧХ пересечет линию -1800, то замкнутая система будет устойчивой. Если ЛАЧХ разомкнутой системы пересекает линию 0 дБ позже, чем ЛФЧХ пересечет линию -1800, то замкнутая система будет неустойчивой. Если ЛАЧХ разомкнутой системы пересекает линию 0 дБ на частоте, при которой ЛФЧХ пересечет линию -1800, то замкнутая система будет находиться на границе устойчивости. Это означает, что на частоте ωс система регулирования не изменяет по амплитуде входной сигнал, а вносит фазовое запаздывание, равное -1800.
|
|
|
При экспериментальных методах исследования критерий Найквиста формулируется так же, как и при теоретических методах, но частотные характеристики получают экспериментальным путем.
В условиях эксплуатации параметры системы по тем или иным причинам могут меняться в определенных пределах (старение, температурные колебания и т.п.). Эти колебания параметров могут привести к потере устойчивости системы, если она работает вблизи границы устойчивости. Поэтому стремятся спроектировать САУ так, чтобы она работала вдали от границы устойчивости. Степень этого удаления называют запасом устойчивости.
На основе критерия Найквиста можно получить частотные оценки запаса устойчивости, которые характеризуют удаление амплитудно-фазовой характеристики разомкнутой системы от критической точки 
.
Запас устойчивости по модулю (h) показывает, насколько можно увеличить модуль АФХ разомкнутой системы без потери устойчивости замкнутой и определяется расстояниемh от критической точки до точки пересечения годографом оси абсцисс (рис. 3.2).
|
|
|
Запас устойчивости по фазе (g) определяется на частоте wс, где 
. Он показывает, насколько можно изменить фазу АФХ разомкнутой системы без потери устойчивости замкнутой и определяется углом φ между отрицательным направлением вещественной полуоси и лучом, проведенным из начала координат в точку пересечения годографа с единичной окружностью.
Рис. 3.2. Определение запасов устойчивости по АФХ.
Аналогичные запасы устойчивости можно найти и по логарифмическим характеристикам разомкнутой системы. В этом случае запас устойчивости по модулю будем обозначать DL, единицей измерения является децибел. Он показывает, во сколько раз можно увеличить коэффициент усиления системы без потери устойчивости. Определяется DL на частоте, где фазовая частотная характеристика достигает значения -p (рис. 3.3).
Рис. 3.3. Определение запасов устойчивости по логарифмическим характеристикам
Запас устойчивости по фазе Dj вычисляется на частоте wс, где L(wс) = 0, и характеризует отклонение от -p, т. е. 
.
Опытом настроек установлено, что для нормальной работы многих систем управления необходимо обеспечить следующие запасы устойчивости:
|
|
|
Эти значения получены эмпирическим путем. Исходя из технологических требований, для некоторых систем могут потребоваться большие или меньшие запасы устойчивости.
Последовательность выполнения работы
Для выполнения лабораторной работы используется пакет прикладных программ (ППП) Control System Toolbox. ППП предназначен для работы с LTI-моделями (Linear Time Invariant Models) систем управления.
Работа выполняется в следующей последовательности:
1) изучить теоретические сведения;
2) запустить систему MATLAB;
3) записать передаточную функцию апериодического звена в соответствии с заданным вариантом;
4) определить частотные характеристики АФХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ апериодического звена, используя команды NYQUIST и BODE;
5) записать передаточную функцию колебательного звена в соответствии с заданным вариантом;
6) определить частотные характеристики АФХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ колебательного звена, используя команды NYQUIST и BODE;
7) определить частотные характеристики последовательно соединенных апериодического и колебательного звеньев;
8) используя критерий Найквиста, составить прогноз на поведение системы в замкнутом состоянии; если АФХ разомкнутой системы охватывает точку (-1; i0), то изменением параметров добиться устойчивости системы в замкнутом состоянии;
9) определить частоту среза ωс и запас устойчивости по фазе;
10) для отрицательной единичной обратной связи определить поведение системы в замкнутом состоянии, используя команду FEEDBACK;
11) изменением параметров апериодического и колебательного звеньев, добиться, чтобы АФХ разомкнутой системы охватывала точку с координатами -1, i0, что соответствует неустойчивой системе в замкнутом состоянии;
12) определить частоту среза ωс и фазовый сдвиг для неустойчивой системы.
Методический пример
Дана передаточная функция апериодического звена 
.
Создадим LTI-объект с именем w1, для этого выполним:
>> w1=tf(3,[2,1])
Передаточная функция колебательного звена 
Создадим LTI-объект с именем w2:
>> w2=tf(3,[15,8,1])
Определим частотные характеристики для каждого звена по отдельности (рис. 3.4) и при их последовательном соединении w1*w2 (рис. 3.5).
а) >> nyquist(w1,w2):
б) >> bode(w1, w2):
Рис. 3.4. Годограф АФХ (а) и логарифмические характеристики (б) апериодического и колебательного звеньев.
а) >> nyquist(w1*w2)
б) >> bode(w1*w2)
Рис. 3.5. Годограф АФХ (а) и логарифмические характеристики (б) цепочки звеньев.
Частоту среза можно определить, используя команду MARGIN (рис. 3.6):
>> margin(w1*w2)
Рис. 3.6. Определение частоты среза
Частота среза составляет 0.57 рад/с.
Как видно из полученных графиков, замкнутая система находится на границе устойчивости, поскольку годограф АФХ устойчивой разомкнутой системы проходит через точку (-1, i0) и ЛАЧХ разомкнутой системы пересекает линию 0 дБ на частоте, при которой ЛФЧХ пересечет линию -1800. Запас устойчивости такой системы равен 0.
Подтвердим сделанные выводы, построив график переходного процесса замкнутой системы при ступенчатом входном воздействии.
Передаточная функция замкнутого контура с отрицательной единичной обратной связью:
>> w3=feedback(w1*w2,1).
График переходного процесса получим с помощью команды step (рис. 3.7):
>> step(w3)
Рис. 3.7. График переходного процесса.
Варианты заданий
| № варианта | Апериодическое звено | Колебательное звено | |||
| k | T | k1 | T22 | T1 | |
| 1 | 1 | 2 | 2 | 9 | 2 |
| 2 | 1 | 7 | 1.5 | 6 | 1 |
| 3 | 1.7 | 9 | 1.3 | 7 | 2 |
Окончание таблицы
| № варианта | Апериодическое звено | Колебательное звено | |||
| k | T | k1 | T22 | T1 | |
| 4 | 2 | 4 | 1 | 14 | 3 |
| 5 | 1 | 12 | 1.5 | 12 | 2 |
| 6 | 2 | 3 | 0.8 | 10 | 2.5 |
| 7 | 2 | 8 | 4 | 21 | 4 |
| 8 | 2.2 | 6 | 1 | 19 | 3 |
| 9 | 3 | 4 | 2.5 | 11 | 4 |
| 10 | 1.5 | 8 | 1 | 10 | 3 |
| 11 | 1.3 | 6 | 3 | 13 | 1.5 |
| 12 | 2.5 | 1 | 2 | 16 | 2.7 |
Контрольные вопросы
1. Что называется устойчивостью системы?
2. В чем особенность критерия устойчивости Найквиста?
3. Какая система называется разомкнутой?
4. Какая система называется замкнутой?
5. С помощью какой команды определяется передаточная функция замкнутой системы?
6. Как оценить устойчивость замкнутой системы по логарифмическим характеристикам разомкнутой?
7. Что такое частота среза?
8. Как определяется запас устойчивости по модулю?
9. Как определяется запас устойчивости по фазе?
10. С помощью какой команды находится частота среза?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №4
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 686; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!