ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ТИПОВЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
Нижнекамский химико-технологический институт (филиал)
Государственного образовательного учреждения
Высшего профессионального образования
«Казанский государственный технологический
Университет»
В.В.Гетман, Н.В.Лежнева
АНАЛИЗ И СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ
АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Лабораторный практикум
Казань
КГТУ
2007
УДК –
ББК –
Гетман, В.В.
Анализ и синтез линейных систем автоматического управления: лабораторный практикум / В.В.Гетман, Н.В. Лежнева. – Казань: Изд-во Казан. гос. технол. Ун-та, 2007. – 64с.
Приведены лабораторные работы по разделам дисциплины «Теория автоматического управления». Рассмотрены статические и динамические характеристики линейных систем, устойчивость линейных систем, синтез систем автоматического управления.
Предназначен для студентов, обучающихся по направлениям «Информатика и вычислительная техника», «Автоматизированные технологии и производства».
Подготовлен на кафедре «Автоматизация технологических процессов и производств» Нижнекамского химико-технологического института КГТУ.
Печатается по решению редакционно-издательского совета Казанского государственного технологического университета.
Рецензенты: канд. физ.-мат. наук, доц. Н.Н.Саримов
канд. физ.-мат. наук доц. О.В.Шемелова
СОДЕРЖАНИЕ
|
|
|
Введение………………………………………………........4
Лабораторная работа №1. Временные и частотные характеристики линейных систем автоматического управления……..6
Лабораторная работа №2. Исследование динамических
характеристик типовых динамических звеньев...........................18
Лабораторная работа №3. Исследование линейных систем регулирования………………………………………..….........33
Лабораторная работа №4. Анализ и синтез САУ методом
корневого годографа……………………………...........................45
Лабораторная работа №5. Определение настроек регулятора методом незатухающих колебаний………….......................56
Библиографический список................................................64
ВВЕДЕНИЕ
При автоматизации технологических объектов управления широко применяют одноконтурные системы автоматического управления, обеспечивающие стабилизацию выходных координат объектов. Синтез таких систем предполагает знание статических и динамических характеристик ТОУ, позволяющих определить структуру регулятора и найти параметры его настройки.
Первый шаг процесса синтеза – определить назначение системы. Второй шаг – это указать те переменные, которые подлежат управлению (например, температура, давление, уровень, концентрация и т.д.). На третьем шаге необходимо предъявить требования к точности. Следующий шаг – это выбор конфигурации системы, которая обладала бы желаемым качеством. Такая конфигурация обычно включает в себя датчик, объект управления, исполнительное устройство и регулятор.
|
|
|
Затем необходимо составить математическое описание объекта управления. Для этого требуется установить все взаимосвязи между переменными, характеризующими поведение объекта. В качестве описания можно использовать дифференциальные уравнения. Если эти уравнения могут быть линеаризованы, то можно воспользоваться преобразованием Лапласа. В результате мы можем получить передаточную функцию объекта управления.
Далее необходимо выбрать регулятор. Выбор типа регулятора может начинаться с простейших двухпозиционных регуляторов и заканчиваться самонастраивающимся микропроцессорным регулятором.
Заключительный шаг процедуры синтеза состоит в настройке параметров системы, которые обеспечивали бы желаемые показатели качества.
Данный лабораторный практикум посвящен преимущественно изучению основных этапов синтеза систем автоматического объекта управления, включая получение оптимальных настроечных параметров регулятора и оценки качества переходных процессов в САУ.
|
|
|
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №1.
ВРЕМЕННЫЕ И ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ
Цель работы: Ознакомление с динамическими и частотными характеристиками систем автоматического управления (САУ) и получение навыков исследования линейных систем.
Постановка задачи: В качестве объекта исследования выступают линейные динамические системы управления с одним входом и одним выходом. При этом модель одномерной САУ задана в виде комплексной передаточной функции, записанной как отношение полиномов
.
Необходимо:
1. Определить полюсы и нули передаточной функции.
2. Записать дифференциальное уравнение, определяющее функционирование САУ.
3. Построить графики переходной и импульсной переходной функции: h(t), w(t).
4. Построить логарифмические частотные характеристики L(ω).
5. Построить частотный годограф Найквиста W(iω).
Теоретические сведения
В качестве объекта исследования предлагается разомкнутая система, представленная на рис. 1.1.
Рис. 1.1. Структурная схема разомкнутой системы: u – входной сигнал; y – выходной сигнал
|
|
|
Уравнение линейной стационарной системы с одним входом и одним выходом можно записать в следующем виде:
.
После преобразования по Лапласу мы получим это же уравнение в операторной форме:
.
Передаточная функция представляет собой отношение преобразованного по Лапласу выхода системы y(p) к преобразованному по Лапласу входу u(p):
.
Функцию W(iω), которую получаем из передаточной функции при подстановке 
, называют амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ):
.
Функцию W(iω) можно представить в виде:
,
где U(ω) – вещественная частотная характеристика;
V(ω) – мнимая частотная характеристика;
- амплитудная частотная характеристика (АЧХ);
- фазовая частотная характеристика (ФЧХ).
Для исследования частотных свойств системы удобно использовать графические изображения частотных характеристик. В этом случае амплитудно-фазовая характеристика W(iω) строится в плоскости комплексного переменного и представляет собой годограф вектора, длина (модуль) которого равна A(ω), а аргумент (угол, образованный этим вектором с действительной, положительной полуосью) – φ(ω):
;
.
Наряду с рассмотренными частотными характеристиками в теории автоматического управления используются логарифмические частотные характеристики. Удобство работы с ними объясняется тем, что операции умножения и деления заменяются на операции сложения и вычитания, а это позволяет во многих случаях строить их практически без вычислений.
Амплитудная частотная характеристика, построенная в логарифмическом масштабе,
,
называется логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ). При этом амплитуда измеряется в децибелах (дБ).
Другой важной характеристикой автоматических систем (звеньев) являются переходные и импульсные переходные функции и их графики – временные характеристики. Их используют при описании линейных систем - как стационарных, так и нестационарных.
Переходной функцией системы называют функцию, описывающую изменение выходной величины системы, когда на ее вход подается единичное ступенчатое воздействие при нулевых начальных условиях. Переходную функцию (рис. 1.2) обычно обозначают h(t).
Отметим, что единичная ступенчатая функция - это функция, которая обладает свойством
График переходной функции – кривую зависимости h(t) от t на-
Рис. 1.2. Пример переходной характе- зывают кривой разгона.
ристики системы
Импульсная переходная функция (характеристика) g(t) представляет собой реакцию на входное воздействие типа единичной импульсной функции при нулевых начальных условиях (рис. 1.3).
Такое входное
Рис. 1.3. Пример импульсной переход- воздействие математи-
ной характеристики системы чески отражает дельта-
функция, которая обладает следующими свойствами:
1. 
;
2. 
Для выполнения лабораторной работы используется пакет прикладных программ (ППП) Control System Toolbox. ППП предназначен для работы с LTI-моделями (Linear Time Invariant Models) систем управления.
В Control System Toolbox имеется тип данных, определяющих динамическую систему в виде комплексной передаточной функции. Синтаксис команды, создающий LTI-систему c одним входом и одним выходом в виде передаточной функции:
TF([bm, …, b1, b0], [an, …, a1, a0]),
где bm, …, b1 – значения коэффициентов полинома, стоящего в числителе передаточной функции.
an, …, a1 – значения коэффициентов полинома A, стоящего в знаменателе..
Для выполнения работы могут применяться команды, приведенные в таб. 1.1.
Другим вариантом получения графиков динамических характеристик САУ является использование графического интерфейса ППП CST – LTI viewer, вызов которого осуществляется командой ltiview, которой, в качестве параметра, можно указать имя переменной, содержащей LTI-объект.
Таблица 1.1. Некоторые команды Control System Toolbox
| Команда | Описание функций |
| pole | Вычисление полюсов передаточной функции |
| zero | Вычисление нулей передаточной функции |
Окончание табл.1.1
| Команда | Описание функций |
| step | Построение графика переходного процесса |
| impulse | Построение графика импульсной переходной функции |
| bode | Построение логарифмических частотных характеристик (диаграммы Боде) |
| nyquist | Построение частотного годографа Найквиста |
Последовательность выполнения работы
Лабораторная работа выполняется поэтапно:
1) изучить теоретические сведения;
2) запустить систему MATLAB;
3) создать tf-объект, в соответствии с заданным вариантом.
4) составить дифференциальное уравнение, определяющее функционирование САУ;
5) определить полюса передаточной функции с использованием команды pole;
6) определить нули передаточной функции с использованием команды zero;
7) используя LTI-viewer, или соответствующие команды (табл.1.1) получить динамические характеристики – переходную функцию h(t), импульсно-переходную функцию w(t) и частотные характеристики – диаграмму Боде, частотный годограф Найквиста;
8) получить представление исходной функции в виде произведения типовых звеньев;
9) ответить на контрольные вопросы;
10) оформить отчет;
11) сдать отчет преподавателю и защитить работу;
Методический пример
Задана передаточная функция САУ
Найдем ее динамические и частотные характеристики. Будем работать в командном режиме среды MATLAB.
1. Создадим LTI-объект с именем w:
>> w = tf([1,2],[3,4,5,3])
Transfer function:
s + 2
-----------------------
3 s^3 + 4 s^2 + 5 s + 3
2. Найдем полюса и нули передаточной функции с использованием команд pole, zero.
>> pole(w)
ans =
-0.2639 + 1.0825i
-0.2639 - 1.0825i
-0.8055
>> zero(w)
ans =
-2
3. Построим график переходной функции командой step(w) (рис. 1.4):
Рис. 1.4. График переходной характеристики
4. Построим импульсную переходную функцию командой impulse(w):
Рис. 1.5. График импульсной переходной функции
5. Графики ЛАЧХ и ЛФЧХ, а также АФХ получим, используя команды bode(w) (рис. 1.6а) и nyquist(w) (рис. 1.6б):
а)
б)
Рис. 1.6. Графики ЛАЧХ, ЛФЧХ и АФХ
Аналогичные результаты можно получить, используя команду ltiview(w), с соответствующими настройками в меню “Plot Configuration”.
Варианты заданий
Вид передаточной функции:
1. 
;
2. 
;
3. 
;
| Вид передаточной функции | № варианта |
Коэффициенты полиномов | ||||||
| b0 | b1 | a0 | a1 | a2 | a3 | а4 | ||
| 1 | 1. | 0 | 3 | 1 | 2 | 3 | 0 | 1 |
| 2. | 2 | 6 | 4 | 0 | 1 | 5 | 1 | |
| 3. | 0 | -3 | 5 | 2 | 0 | 2 | 1 | |
| 4. | 4 | 2 | 3 | 4 | 5 | 3 | 1 | |
| 5. | 0 | 1 | -2 | -2 | -3 | -2 | 0 | |
| b0 | b1 | b2 | a0 | a1 | a2 | а3 | ||
| 2 | 1. | 0 | -3 | 2 | 4 | 2 | 3 | 9 |
| 2. | 8 | 0 | -3 | -4 | -6 | -4 | -1 | |
Окончание таблицы
| Вид передаточной функции | № варианта |
Коэффициенты полиномов | ||||||
|
| 3. | -4 | 6 | -2 | 5 | 5 | 0 | 1 |
| 4. | 6 | -8 | -7 | 0 | -6 | -3 | -1 | |
| 5. | 2 | -1 | -3 | -1 | 0 | -7 | -2 | |
| b0 | b1 | b2 | a0 | a1 | a3 | a4 | ||
| 3 | 1. | 0 | 2 | 8 | -3 | 7 | -7 | 1 |
| 2. | -5 | 0 | 3 | -8 | -2 | -1 | -6 | |
| 3. | -7 | 1 | 2 | 0 | 5 | 2 | 9 | |
| 4. | -6 | 4 | -4 | 1 | 0 | 6 | 3 | |
| 5. | 2 | -2 | -1 | 5 | 3 | 0 | 9 | |
Контрольные вопросы
1. Что называется нулями и полюсами передаточной функции?
2. Что называется переходной характеристикой?
3. Что называется импульсной переходной характеристикой?
4. Что называется частотными характеристиками?
5. Как определяется АЧХ?
6. Как определяется ФЧХ?
7. Как строится годограф АФХ?
8. Как получают кривую разгона?
9. Какая связь между передаточной функцией и временными характеристиками?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №2
ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ТИПОВЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ ЗВЕНЬЕВ
Цель работы: Получение временных и частотных характеристики типовых динамических звеньев;изучение влияния изменения параметров передаточных функций на вид этих характеристик.
Постановка задачи: В качестве объекта исследования выступают типовые динамические звенья:
1) позиционные (апериодическое, колебательное);
2) интегрирующие (идеальное, с запаздыванием, изодромное);
3) дифференцирующие (идеальное, с запаздыванием).
Необходимо:
1) получить передаточные функции исследуемых звеньев;
2) определить переходные характеристики исследуемых звеньев;
3) определить импульсные переходные характеристики;
4) определить логарифмические переходные характеристики;
5) определить амплитудно-фазовые характеристики исследуемых звеньев;
6) произвести анализ влияния на временные и частотные характеристики величины коэффициента усиления и постоянных времени.
Теоретические сведения
Типовые динамические звенья подразделяют на три основные группы:
1) Звенья статического или позиционного типа, где 
, 
- коэффициент передачи звена.
2) Звенья интегрирующего типа, где 
3) Звенья дифференцирующего типа, где 
. Дифференцирующие звенья еще называют форсирующими.
Все статические звенья в установившемся режиме описываются одинаковым уравнением 
. К статическим звеньям относятся: статическое идеальное (усилительное), апериодическое, колебательное и консервативное.
Линейное дифференциальное уравнение апериодического звена:
,
где Т – постоянная времени звена;
k – коэффициент усиления.
Примером такого звена может служить любая цепочка, включающая в себя сопротивление и емкость независимо от их физической природы.
Постоянная времени Т зависит от величины сопротивления и емкости и характеризует инерционность звена, причем, чем больше сопротивление и емкость, тем больше постоянная времени и инерционность.
Передаточная функция получается из уравнения звена:
.
Уравнение статического колебательного звена II-го порядка:
,
где 
- постоянные времени; k – коэффициент усиления.
Уравнение установившегося статического режима этого звена имеет тот же вид, что и для усилительного и апериодического звеньев:
.
Передаточная функция определяется после преобразования по Лапласу :
.
Введем условное обозначение 
.
Если выполняется условие ξ < 1, то звено является колебательным, если выполняется условие ξ > 1, то мы имеем дело с апериодическим звеном II-го порядка, которое описывается тем же уравнением, что и колебательное звено.
В интегрирующих звеньях выходной сигнал пропорционален интегралу от входного.
Уравнение идеального интегрирующего звена имеет вид:
.
Передаточную функцию интегрирующего звена получим после преобразования этого уравнения по Лапласу:
.
Интегрирующее звено с запаздыванием описывается дифференциальным уравнением
.
Передаточная функция звена:
.
Изодромное звено описывается уравнением
.
Передаточная функция звена
,
где 
- постоянная времени изодромного звена.
Из этих выражений видно, что звено можно условно представить в виде совокупности двух звеньев, действующих параллельно: идеального интегрирующего с коэффициентом передачи k и безынерционного с коэффициентом передачи k1.
Выходной сигнал дифференцирующих звеньев пропорционален дифференциалу от входного сигнала.
Идеальное дифференцирующее звено описывается уравнением
,
т.е. изменение выходной координаты звена пропорционально скорости изменения входной координаты. Параметр k называют постоянной дифференцирования (измеряется в секундах).
В операторной форме уравнение записывается в виде: 
, откуда находим передаточную функцию и поле соответствующих преобразований частотной характеристики:
.
Дифференцирующие звено с запаздыванием описывается уравнением следующего вида:
.
Передаточная функция:
.
Последовательность выполнения работы
Для выполнения лабораторной работы используется пакет прикладных программ (ППП) Control System Toolbox. ППП предназначен для работы с LTI-моделями (Linear Time Invariant Models) систем управления.
Все необходимые характеристики типовых звеньев могут быть получены с помощью уже известных команд: step, impulse, bode, nyquist или с помощью команды ltiview.
Работа выполняется в следующей последовательности:
1) изучить теоретические сведения;
2) запустить систему MATLAB;
3) с помощью команды tf получить передаточные функции апериодических звеньев с различными коэффициентами усиления в соответствии с заданным вариантом;
4) с помощью команд step, impulse, bode, nyquist определить временные и частотные характеристики апериодического звена, сделав анализ влияния коэффициента усиления;
5) с помощью команды tf получить передаточные функции апериодических звеньев с различными постоянными времени Т в соответствии с заданным вариантом;
6) с помощью команд step, impulse, bode, nyquist определить временные и частотные характеристики апериодического звена, сделав анализ влияния величины постоянной времени Т;
7) получить передаточные функции и динамические характеристики для колебательного, интегрирующих и дифференцирующих звеньев.
Методический пример
Дана передаточная функция апериодического звена:
; k = 2; T = 2.
Определим его временные и частотные характеристики.
1. Создадим LTI-объекты w1, w2, w3 с различными значениями k:
>> k=2;
>> T=2;
>> w1=tf([k],[T,1])
>> w2=tf([k*2],[T,1])
>> w3=tf([k*4],[T,1])
2. Построим для полученных передаточных функций динамические характеристики, используя команды step, impulse, bode, nyquist (рис. 2.1а,б,в,г):
а) >> step(w1,w2,w3):
б) >> impulse(w1,w2,w3):
в) >> bode(w1,w2,w3):
>> nyquist(w1,w2,w3);
Рис. 2.1. Динамические характеристики апериодического звена первого порядка.
3. Создадим LTI-объекты h1, h2, h3 с различными значениями постоянной времени Т:
>> h1=tf([k],[T,1]);
>> h2=tf([k],[2*T,1]);
>> h3=tf([k],[4*T,1]);
4. Аналогично п.2 для найденных передаточных функций получим динамические характеристики:
>> step(h1,h2,h3);
>> impulse(h1,h2,h3);
>> bode(h1,h2,h3);
>> nyquist(h1,h2,h3);
5. Исследуем влияние изменения параметров колебательного звена на его временные и частотные характеристики.
Создадим передаточные функции звена в соответствии с заданным вариантом, изменяя коэффициент усиления:
; k = 2; T1 = 1.5; T2=2.
>> w1=tf([k],[4,1.5,1]);
>> w2=tf([k*2],[4,1.5,1]);
>> w3=tf([k*4],[4,1.5,1]);
6. Получим динамические характеристики (рис. 2.2 а,б,в,г):
а) >> step(w1,w2,w3):
б) >> impulse(w1,w2,w3):
в) >> bode(w1,w2,w3):
г) >> nyquist(w1,w2,w3):
Рис. 2.2. Динамические характеристики колебательного звена.
7. Изменим значения постоянных времени в передаточной функции:
Т1 = 4, Т2 = 1.5.
>> w1=tf([k],[1.5,4,1]);
Для сравнения возьмем исходную передаточную функцию колебательного звена:
>> w2=tf([k],[4,1.5,1]);
8. Построим динамические характеристики (рис. 2.3 а,б,в,г).
а) >> step(w1,w2):
б) >> impulse(w1,w2):
в) >> bode(w1,w2):
г) >> nyquist(w1,w2):
Варианты заданий
Вид передаточной функции:
1. 
;
2. 
;
3. 
;
4. 
.
| № варианта | k | T | T1 | T2 | Tи ,Tд |
| 1 | 1 | 2 | 9 | 2 | 2 |
| 2 | 3 | 7 | 7 | 2 | 3.5 |
| 3 | 2 | 9 | 6 | 1 | 4 |
| 4 | 6 | 4 | 6 | 4 | 7.2 |
| 5 | 3.5 | 12 | 1.5 | 2 | 6 |
| 6 | 4 | 3 | 2 | 3 | 1.3 |
| 7 | 2 | 8 | 4 | 3 | 2.7 |
| 8 | 2.2 | 6 | 3 | 2 | 5 |
| 9 | 3 | 4 | 2.5 | 2 | 5.5 |
Окончание таблицы
| 10 | 1.5 | 8 | 1 | 4 | 8 |
| 11 | 1.3 | 6 | 1.8 | 3 | 8.1 |
| 12 | 1 | 1 | 8 | 3 | 2.7 |
Контрольные вопросы
1. Приведите пример временных характеристик апериодического звена I-го порядка.
2. Как меняются временные характеристики статических звеньев с изменением коэффициента усиления звена?
3. Как отличить колебательное звено от апериодического звена II-го порядка по виду передаточной функции?
4. Приведите пример частотных характеристик интегрирующего звена с запаздыванием.
5. Как меняются частотные характеристики интегрирующего звена при изменении постоянной времени?
6. Приведите пример логарифмических частотных характеристик дифференцирующих звеньев.
7. Как изменятся характеристики дифференцирующих звеньев при изменении коэффициента усиления?
ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 3561; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!