Тема 6. Інтегральне числення та диференціальні рівняння

Практичне заняття 6.1.

Тема:Невизначений інтеграл. Метод безпосереднього інтегрування, метод інтегрування заміною змінних.

Мета:Засвоїти поняття первісної функції, невизначеного інтегралу, основні правила інтегрування, дати практику знаходження невизначеного інтегралу за допомогою таблиці основних інтегралів, методом безпосереднього інтегрування та методом заміни змінної.

Література:

Завдання 1.Знайти невизначений інтеграл, використовуючи правила та таблицю основних інтегралів:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

Завдання 2.Знайти невизначений інтеграл, використовуючи метод заміни змінної.

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

Практичне заняття 6.2.

Тема:Невизначений інтеграл. Метод Інтегрування частинами, інтегрування дробово-раціональних функцій.

Мета:Дати практику знаходження невизначеного інтеграла методом інтегрування частинами, інтегрування дробово-раціональних функцій методом невизначених коефіцієнтів. Закріпити вміння знаходити інтеграл методом заміни змінної та за допомогою таблиці основних інтегралів. Повторити поняття первісної функції, невизначеного інтеграла, основні правила інтегрування функцій.

Завдання 1.Знайти невизначений інтеграл, використовуючи формулу інтегрування частинами.

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10) .

Завдання 2.Знайти невизначений інтеграл від дробово-раціональних функцій, застосовуючи метод невизначених коефіцієнтів:

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

Практичне заняття 6.3.1

Тема: Визначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца. Методи обчислення визначених інтегралів: заміна змінних та формула інтегрування частинами.

Мета:Дати практику обчислення визначених інтегралів заміною змінних та за формулою інтегрування частинами. Засвоїти основні властивості визначених інтегралів, умову інтегрованості функції на відрізку. Показати зв’язок між визначеним та невизначеним інтегралами. Повторити основні методи інтегрування функцій, зокрема інтегрування дробово-раціональних, трибометричних та ірраціональних функцій.

Завдання 1.Обчислити визначений інтеграл.

1) 2)

3) 4)

5) 6)

7) 8)

9) 10)

11) 12)

13) 14)

15) 16)

17) 18)

19) 20)

Практичне заняття 6.3.2

Тема: Геометричне застосування визначеного інтеграла : обчислення площі плоскої фігури, довжини дуги плоскої кривої, об’єму та площі поверхні тіла обертання.

Мета:Навчитись застосовувати на практиці вміння знаходити визначений інтеграл до обчислення площі плоскої фігури, довжини дуги плоскої кривої, об’єму та площі поверхні тіла обертання. Закріпити навички дослідження функцій та побудова їх графіків.

Завдання 1. Обчислити площу фігури, обмеженої кривою y=f(x), віссю Ох та прямими х=а, х=b:

1)y=-x . x=0. x=3. 2)y=e . x=ln2. x=ln5

3)y=1-x . x=0. x=2. 4)y=sinx. y=0. 0 .

Завдання 2. Обчислити площу фігури, обмеженої лініями:

1) y=x . y=3x. x=1. x=2. 2)y=e . y=x . x=0. x=1.

3) y=x . y=0. x=4. 4)y= . y=0. x=-2. x=1.

5) y=sin2x. y=1. x= . –П/4 П/2,

6) xy=4. x=4. y=4. x=0. y=0.

Завдання 3.Обчислити довжину дуги плоскої кривої:

1)напівкубічної параболи у=х від х=0 до х=4,

2) кривої у=х -1, відсіченої віссю Ох,

3) кривої у=х від х=0 до х=2,

Завдання 4. Обчислити об’єм:

1)тіла, утвореного обертанням еліпса ;

2)тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої лініями у=х , у= навколо осі Ох.

3)у=е , х=0, х=1, у=0 навколо осі Ох,

Завдання 5. Знайти площу поверхні, утвореної обертанням навколо осі Ох:

1)півкола у= ,

2) дуги синусоїди y=sinx від х=0 до х=П.

3) дуги кривої у від х=0 до х=3.

Практичне заняття 6.4.

Тема: Диференціальні рівняння. Загальний розв’язок. Задача Коші. Диференціальні рівняння з відокремленими змінними.

Мета:Дати практику розв’язку диференціальних рівнянь першого порядку: рівнянь з відокремленими змінними та автономних рівнянь. Закріпити поняття: загальний розв’язок диференціального рівняння та розв’язок задачі Коші, інтеграл рівняння, інтегральна крива, порядок диференціального рівняння.

Завдання 1.Перевірити , чи є вказані функції розв’язками диференціальних рівнянь:

1)у=Сх., уx-y=0; 2) у=х , у’=3x ;

3) у=е , у’=2y; 4) у=е , у’=-y+1;

5) . y’-ycosx= .

Завдання 2.Розв’язати автономні диференціальні рівняння:

1) 2)

3) y'= 4)

5) 6)y'=x+sinx.

Завдання 3.Знайти загальний розв’язок або загальний інтеграл диференціальних рівнянь з відокремленими змінними:

1)y'=2x(y-1) . 2)

3) xydx+(x+1) dy=0 4)

5) (x+1)dy-(y-2)dx=0 6)

Завдання 4. Розв’язати задачу Коші:

1)xdy=ydxy(2)=6

2) y(3)=1

3) y’ y(1)=5

4) y(4)=1

5) y(0)=1

6) y(-1)=1

Практичне заняття 6.5

Тема: Лінійні та однорідні диференціальні рівняння

Мета:Дати практику розв’язку лінійних та однорідних диференціальних рівнянь першого порядку. Повторити поняття: загальний розв’язок диференціального рівняння та розв’язок задачі Коші, інтеграл рівняння, інтегральна крива. Закріпити навички знаходження невизначених інтегралів.

Завдання 1. Знайти загальні розв’язки лінійних диференціальних рівнянь:

1) y^’ + y = 2 2) xy’ -3y = x⁴ 3) x’ – 3x = e^-t

4) y’ + 2y = 4x 5) y’ – y = e^x 6) xy’ – y = x

7) y’ + x²y = x² 8) y’ + y = cosx 9) xy’ + 2y = x²

Завдання 2. Знайти загальні розв’язки однорідних диференціальних рівнянь:

1) (x+y)dy + xdy = 0 2) (x+y)dy + (y-x)dy = 0

3) ( x-y)dx + xdy = 0 4) ( 2

5) xy²dy=(x³ + y³)dx; y=3 при х = 1

6) ( x²+y²)dx = xydy; y=0 приx=1

7) (x-y)dy = y dy; y = 1 при x=0

8) xcos(y/x)dy – y cos(y/x)dx+xdx=0; y=0 при x=1.

Завдання 3. Знайти загальні розв’язки однорідних диференціальних рівнянь другого порядку з сталими коефіцієнтами:

1) y'' + y' – 6y = 02) y'' – 8y' + 15y = 03) y'' + 5y' + 6 y= 0

4) y'' – 9 y' = 0 5) y'' + 3y = 0 6) y'' – y = 0

7) y'' + 9y = 0 8) y'' -2y' + 5y = 0 9) y'' + 4y' + 7y = 0

10) y'' + 3y' + 4y = 3sin5x 11) y'' – 4y = x² + 3

12) y'' – 4y' + 3y = 5e^x

Тема 7. Числові ряди

Практичне заняття 7.1

Тема:Числові ряди. Ознаки збіжності рядів

Мета:Засвоїти поняття: знакосталі та знакозмінні ряди, абсолютна та умовна збіжність рядів. Дати практику дослідження рядів з додатними членами на збіжність за ознаками порівняння, Даламбера, Коші, інтегральною ознакою Коші. Навчитись досліджувати абсолютну та умовну збіжність знакопочергових рядів за ознакою Лейбніца.

Завдання 1. Перевірити, чи виконується необхідна умова збіжності рядів:

1) , 2)