Основная задача небесной механики
Как уже говорилось выше, движение небесных тел в гравитационном поле является предметом изучения небесной механики. При этом, как правило, принимаются следующие упрощающие допущения [Балк, 1965]:
При изучении движения некоторого небесного тела (планеты, астероида или спутника) рассматривается его гравитационное взаимодействие лишь с небольшим числом других тел (как правило, одним или двумя). Гравитационным взаимодействием с бесконечным множеством прочих небесных тел, имеющих малую массу или расположенных на большом расстоянии от изучаемого тела, пренебрегают
Все небесные тела считаются абсолютно твердыми.
Если расстояние между двумя объектами велико по сравнению с их размерами, то эти объекты рассматриваются как материальные точки.
Замечание 2.2. Можно показать, что гравитационное поле, создаваемое сферическим телом массы m со сферическим распределением плотности*, эквивалентно гравитационному полю, создаваемому материальной точкой той же массы m, помещенной в центре сферического тела. Поэтому в тех случаях, когда несферичностью формы и несферичностью распределения плотности небесного тела можно пренебречь, это тело также обычно рассматривают как материальную точку.
Основной задачей небесной механики является так называемая задача n тел: изучить движение n материальных точек в их взаимном гравитационном поле, если известны массы этих точек, а также их положения и скорости в некоторый заданный момент времени.
|
|
|
Самый простой пример задачи n тел — изучение движения Солнца и планет Солнечной системы.
Замечание 2.3. Задача n тел имеет простое аналитическое решение только при n = 2. При n = 3 аналитическое решение существует, но не может быть выражено в элементарных функциях, при n > 3 аналитического решения не найдено. Поэтому для практического решения задачи трех и более тел применяются методы численного интегрирования.
Аналитическое решение задачи n тел для случаев n = 1 и n = 2 было найдено Ньютоном. При n = 1 взаимодействия отсутствуют, и тело остается в состоянии покоя либо движется равномерно и прямолинейно — это утверждение составляет сформулированный Ньютоном первый закон классической механики. При n = 2 движение взаимодействующих тел подчиняется закону всемирного тяготения. Ньютон показал, что в этом случае тела движутся в фиксированной плоскости, определяемой начальными условиями, а их орбиты друг относительно друга и относительно общего центра масс представляют собой кривые, называемые коническими сечениями (эллипсы, параболы или гиперболы)
эта задача может быть сформулирована как задача изучения движения материальной точки с пренебрежимо малой массой в гравитационном поле n – 1 материальных точек, масса и движение которых известны. Такая задача называется ограниченной задачей n тел. Массивные материальные точки в задаче n тел далее будем называть притягивающими центрами, а тело с бесконечно малой массой — спутником. Примером ограниченной задачи n тел является изучение движения космического аппарата в гравитационном поле Солнца, Земли, Луны и, быть может, еще нескольких небесных тел (планет или, например, астероидов).
|
|
|
Невозмущенное движение. Задача двух тел.
Наиболее популярной и наиболее изученной задачей небесной механики является задача двух тел: изучить движение материальной точки в гравитационном поле другой материальной точки, если известны массы этих точек, а также их положения и скорости в некоторый заданный момент времени. К задаче двух тел относятся, очевидно, задачи расчета движения небесного тела в гравитационном поле другого небесного тела, если несферичностью формы и несферичностью распределения плотности этих двух тел, а также воздействием гравитационных полей всех прочих небесных тел можно пренебречь.
Определение 3.1. Движение материальной точки в гравитационном поле другой материальной точки в условиях задачи двух тел называется невозмущенным или кеплеровым движением, а траектория этой материальной точки — орбитой кеплерова движения или, короче, кеплеровой орбитой.
|
|
|
Важным частным случаем задачи двух тел является задача изучения движения спутника в гравитационном поле некоторого притягивающего центра с известной массой. Эта задача называется ограниченной задачей двух тел.
Рассмотрим задачу двух тел подробнее. Пусть C и S — две материальные точки массами M и m соответственно, ro(C) и ro(S) — радиус-векторы этих точек в некоторой инерциальной системе координат Oxoyozo (рис. 3). Положение точки S относительно точки C будем определять вектором r = ro(S) – ro(C).
Согласно закону всемирного тяготения (2.3), на точку S со стороны точки C будет действовать сила гравитационного притяжения
где r = /r/; r/r - вектор единичной длины, определяющий направление гравитационной силы; μs = Gm — постоянная, называемая гравитационным параметром точки S. Соответственно на точку C со стороны точки S будет действовать такая же по величине и обратная по направлению сила
где μc = GM — гравитационный параметр точки C. Тогда уравнения движения точек S и C в системе координат Oxyz запишутся в виде
|
|
|
Рассмотрим некоторую декартову систему координат Cxyz, начало которой совпадает с притягивающим центром C. Тогда полученное равенство является выражением для ускорения точки S в системе координат Cxyz и приводит к важному выводу: движение материальной точки массой m относительно другой материальной точки массой M в задаче двух тел эквивалентно движению спутника в ограниченной задаче двух тел относительно притягивающего центра массой M + m. Величина гравитационного параметра спутника в ограниченной задаче двух тел будет равна μ = G(M + m). Так как масса спутника пренебрежимо мала по сравнению с массой притягивающего центра, то можно считать μ ≈ GM и
Это равенство называется уравнением движения спутника в ограниченной задаче двух тел.
Обозначим через 
вектор скорости спутника и рассмотрим вектор 
, называемый вектором состояния. Рассмотрим также вектор
Тогда уравнение (3.1) в векторной форме будет записываться в виде
Интеграл энергии.
Интеграл энергии
Умножим обе части уравнения (3.1) скалярно на величину 
Это равенство можно записать в виде
Интегрируя левую и правую части последнего равенства по времени, получим выражение
где h — некоторая постоянная величина. Данное выражение называется интегралом энергии. Первое слагаемое в левой части представляет собой удвоенную кинетическую энергию единицы массы спутника, а второе слагаемое — удвоенную потенциальную энергию единицы массы спутника. Следовательно, постоянная h равна удвоенной величине полной энергии единицы массы спутника. Эта величина называется постоянной энергии.
Из формулы (3.2) следует, что полная энергия в задаче двух тел является постоянной величиной. В частности, это означает, что при удалении спутника от притягивающего центра его скорость уменьшается, а при приближении к притягивающему центру — увеличивается.
Интеграл площадей.
Предположим вначале, что векторы r и υ неколлинеарны, т. е. 
. Умножим обе части уравнения движения спутника (3.1) векторно на величину r:
так как по определению векторного произведения 
Продифференцируем теперь по времени выражение 
:
где c — некоторый постоянный вектор. Полученное равенство называется векторным интегралом площадей, а вектор c — векторной постоянной площадей. Как видно из последнего равенства, вектор r во время движения всегда остается ортогональным вектору c, т. е. вектор r всегда находится в плоскости, проходящей через притягивающий центр и определяемой нормальным к ней постоянным вектором c. Таким образом, интеграл площадей показывает, что движение спутника в ограниченной задаче двух тел происходит в одной плоскости, проходящей через притягивающий центр. Эта плоскость, т. е. плоскость движения спутника, называется неизменяемой плоскостью Лапласа. Равенство (3.3) является общим уравнением плоскости Лапласа в векторной форме.
Введем в пространстве декартову систему координат Cxyz с началом в притягивающем центре C, причем оси Cx и Cy расположим в плоскости движения спутника, ось Cz направим вдоль вектора c (рис. 4).
Пусть радиус-вектор r и вектор скорости υ спутника в этой системе имеют координаты
(3.4)
Введем в плоскости движения полярные координаты 
, полагая
Подставляя эти равенства в выражение для третьей координаты в равенстве (3.4), получим после преобразований соотношение
которое называется полярной формой интеграла площадей. Эта формула имеет несколько важных следствий:
1. Если направление оси Cz совпадает с направлением вектора c, т. е. c > 0, то в любой момент времени t справедливо условие 
. Это означает, что угол наклона радиус-вектора спутника по отношению к оси Cx постоянно возрастает и движение спутника происходит в положительном направлении (т. е. в направлении против часовой стрелки, если смотреть на плоскость Cxy со стороны положительного направления оси Cz). Такое движение спутника называется прямым. Если же c < 0, то движение спутника все время происходит в отрицательном направлении, и такое движение называется обратным.
2. Из полярной формы интеграла площадей (3.5) следует выражение для угловой скорости спутника
которое показывает, что, чем дальше спутник от притягивающего центра, тем меньше его угловая скорость.
3. Пусть радиус-вектор спутника за время Δt успел описать некоторый угол ∆J и «замести» некоторую площадь ΔS. Площадь заметенного сектора ΔS приближенно равна
т. е. секториальная скорость невозмущенного движения спутника относительно притягивающего центра постоянна.
Полученный результат выражает второй закон Кеплера: за равные промежутки времени радиус-вектор спутника заметает сектора равной площади.
Замечание 3.1. При выводе формулы интеграла площадей предполагалось, что векторы r и υ неколлинеарны. Легко показать, что в случае коллинеарности этих векторов спутник будет совершать прямолинейное движение в направлении своего радиус-вектора, и понятие плоскости движения теряет смысл..
Интеграл Лапласа.
Уравнение орбиты спутника.
Скорость спутника на орбите.
Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 532; Мы поможем в написании вашей работы! |
Мы поможем в написании ваших работ!