Интегральное исчисление. Неопределенный интеграл

Стр 1 из 2Следующая ⇒

Nbsp; Колледж экономики, права и информационных технологий Конспект лекций по дисциплине

МАТЕМАТИКА

(избранные главы)

для специальности

40.02.01 Право и организация социального обеспечения

Мурманск

2017

Оглавление

Предел функции.. 4

Элементы комбинаторики.. 8

Элементы теории вероятностей.. 12

Дифференциальное исчисление.. 18

Интегральное исчисление. Неопределенный интеграл.. 24

Обыкновенные дифференциальные уравнения.. 34

Основы численных методов.. 39

ОСНОВЫ ДИСКРЕТНОЙ МАТЕМАТИКИ.. 45

Последовательности и ряды... 50

Предел функции

Вопросы к теме

1. Понятие предела функции. Свойства бесконечно больших и бесконечно малых функций. Теоремы о пределах.

2. Вычисления предела с неопределённостями типа .

Краткие теоретические сведения

Число А называется пределом функции при , если для любого можно указать такое , что для любого , удовлетворяющего неравенству , выполняется неравенство .

В этом случае пишут .

Функция называется бесконечно малой при , если

Функция называется бесконечно большой при , если

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций:

1⁰. Если и - бесконечно малые при , то их сумма при также является бесконечно малой.

2⁰. Если бесконечно малая функция при , а ограниченная функция, то их произведение есть функция бесконечно малая.

3⁰. Если при функция имеет конечный предел, а функция - бесконечно большая, то

4⁰. Если - бесконечно малая функция при , то функция бесконечно большая и наоборот.

Теоремы о пределах:

Теорема 1. Если существуют пределы и при , то существует также и предел их суммы, равный сумме пределов функций и .

Теорема 2. Если существуют пределы и при , то существует также и предел их произведения, равный произведению пределов функций и .

Теорема 3. Если существуют пределы и при и то существует также и предел отношения, равный отношению пределов функций и .

Следствие 1. Постоянный множитель можно вынести за знак предела:

Следствие 2. Если , то

Следствие 3. Предел многочлена (целой рациональной функции) при равен значению этого многочлена при , т.е.

Следствие 4. Предел дробно-рациональной функции

при равен значению этой функции при , если принадлежит области определения функции, т.е.

Рассмотрим некоторые примеры.

Вычислить пределы:

1.1. 1.2. .

£ 1.1. По правилу нахождения предела многочлена находим

1.2.Так как при знаменатель дроби отличен от нуля, то по правилу нахождения предела дробно-рациональной функции получим

2.1. 2.2. 2.3.

£ 2.1. Здесь предел делителя равен нулю: . Следовательно, теорему о пределе частного применить нельзя. Так как , то при есть величина бесконечно малая, а обратная ей величина – бесконечно большая. Поэтому при произведение есть величина бесконечно большая, т.е.

2.2. Здесь пределы числителя при равны нулю. Непосредственной подстановкой вместо аргумента его предельного значения вычислить предел нельзя, так как при получается отношение двух бесконечно малых величин.

Разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы сократить дробь на общий множитель, стремящийся к нулю, и, следовательно, сделать возможным применение теоремы 3. Нужно иметь в виду, что здесь не производится сокращение на нуль, что недопустимо. По определению предела функции аргумент стремится к своему предельному значению, никогда не принимая этого значения; поэтому до перехода к пределу можно произвести сокращение на множитель, стремящийся к нулю. Имеем

2.3. Пределы числителя и знаменателя при равны нулю: Разложим квадратный трехчлен в числители на линейные множители по формуле где и – корни трехчлена. Разложив на множители знаменатель, сократим дробь на Используя следствие 4, получим ¢

3.1. 3.2.

£ 3.1. Пределы числителя и знаменателя при равны нулю. Умножив числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю множитель и затем сократив дробь на , получим

3.2. Очевидно, что при функция представляет собой разность двух бесконечно больших величин. Выполнив вычитание дробей, получим дробь, числитель и знаменатель которой при стремится к нулю. Сократив дробь на , находим

4.1. 4.2.

4.3. 4.4. 4.5.

£ 4.1. Первые три слагаемых при пределов не имеют, поэтому следствием 3 непосредственно воспользоваться нельзя. Вынося за скобки, получим

(при величины бесконечно малые и их пределы равны нулю).

При знаменатель неограниченно растет, т.е. является величиной бесконечно большой, а обратная величина бесконечно малой. Произведение бесконечно малой на ограниченную величину (постоянная – частный случай ограниченной величины) есть величина бесконечно малая, и предел ее при равен нулю. Следовательно,

4.3. При числитель и знаменатель – величины бесконечно большие. Поэтому при непосредственном применении теоремы 3 получаем выражение , которое представляет собой неопределенность. Для вычисления предела этой функции нужно числитель и знаменатель разделить на :

(при слагаемые величины бесконечно малые и, следовательно, их пределы равны нулю).

4.4. Разделим числитель и знаменатель на наивысшую степень аргумента в знаменателе, т.е. на :

При имеем и

Так как знаменатель есть величина ограниченная, то

4.5. При данная функция представляет собой разность двух бесконечно больших величин . Умножив и разделив функцию на выражение , получим

Элементы комбинаторики

Вопросы к теме

1. Множества. Подмножества.

2. Понятие комбинаторики. Правила суммы и произведения.

3. Формулы комбинаторики: перестановки без повторений, размещения без повторений, сочетания.

Краткие теоретические сведения

Одним из фундаментальных, неопределяемых математических понятий является понятие множества. Множество можно представить себе как совокупность некоторых объектов, объединенных по одному какому-либо признаку (множество четных чисел, множество цветов спектра, множество букв русского алфавита).

Теория множеств создана великим немецким математиком Георгом Кантором. Главная заслуга Кантора состоит в признании того факта, что бесконечность – это не абстракция, придуманная философами, а реальность; что бесконечные совокупности предметов существуют наравне с конечными. В самом деле, легко построить прямоугольный треугольник с единичными катетами. По теореме Пифагора его гипотенуза равна , т.е. иррациональному числу, десятичное разложение которого бесконечно и не содержит периода.

Кантор описывает множество следующим образом: «Множество есть любое собрание определенных и различимых между собой объектов нашей интуиции и интеллекта, мыслимое как единое целое. Эти объекты называются элементами множества ».

Предметы (объекты), из которых составлено множество, называются элементами множества.

Если все элементы множества А являются в то же время элементами множества В, то множество А называется подмножеством множества В.

Студент должен понимать, что такое множество, уметь привести примеры, объяснить что означает конечное, бесконечное и пустое множество.

На практике часто приходится выбирать из некоторого множества объектов подмножества элементов, обладающих определенными свойствами, располагать элементы множества в каком-то определенном порядке, подсчитывать число всех возможных способов расположения некоторых предметов.

Так учителю приходится распределять некоторые различные виды работ между учащимися (или оценки); лингвисту – выбирать порядок слов в предложении; шахматисту – из нескольких серий ходов выбирать наилучшую.

В практической деятельности юристу часто приходится иметь дело с самыми разнообразными ситуациями. Умение анализировать сложившуюся обстановку, адекватно ее оценивать и делать правильные выводы является важным качеством каждого профессионала.

Задачи такого типа называются комбинаторными, поскольку в них речь идет о некоторых комбинациях работ, слов, ходов.

Область математики, в которой изучаются комбинаторные задачи называется комбинаторикой.

Другими словами, комбинаторика изучает количество комбинаций, подчиненных определенным условиям, которые можно составить из элементов, безразлично какой природы, заданного конечного множества (конечные множества содержат конечное число элементов).

Комбинаторные задачи связаны: а) с выбором из некоторого множества элементов те, которые обладают заданными свойствами; б) с расположением этих элементов в определенном порядке; в) с расчетом числа возможных комбинаций.

Решение большинства комбинаторных задач основано на двух простых правилах: суммы и произведения.

Правило суммы. Пусть из множества А элемент можно выбрать способами, элемент - способом и т.д., элемент одним способом, отличными от предыдущих. Тогда выбор одного из элементов можно произвести способами.

Пример 1. Пусть в корзине имеется 7 апельсинов, 5 бананов и 10 яблок. Тогда выбор одного из фруктов можно сделать способами.

Правило произведения. Пусть А – некоторое множество, из которого выбор элемента можно осуществить способами, - способом и т.д., одним способом. Тогда одновременный выбор элементов в указанном порядке можно осуществить способом.

Пример 2. Пусть в велосипеде имеются 3 ведущие звездочки и 4 ведомые. Сколько передач имеется в велосипеде? £ Так как каждая передача определяется выбором одной ведущей и одной ведомой, то число всех передач совпадает с числом выборов одного элемента из 3 и другого элемента из 4. Поэтому ¢

Пример 3. Имеется 5 стульев и 2 студента. Сколькими способами можно посадить этих студентов на стулья? £ Первого студента можно посадить на стул пятью способами, а второго – четырьмя, т.к. один стул уже занят. Всего будет ¢

Рассмотрим наиболее употребительные формулы комбинаторики, которые используются при решении задач по теории вероятностей.

Перестановки без повторений

Перестановками без повторений называют комбинации, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения.

Произведение натуральных чисел называют « факториал» и обозначают

Другими словами, .

Например, и т.д. Для удобства принято, что и

Таким образом, обозначим число всех возможных перестановок, тогда .

Пример 4. Из четырех букв: a, b, c, d можно сделать 24 перестановки, так как Вот они:

abcd adbc bcda cabd dbac cdab

abdc adcb bcad cadb dbca cdba

acbd bacd bdac cbad dcab dabc

acdb badc bdca cbda dcba dacb

Пример 5. В отделении сержанта Сбруева проходят службу 5 новобранцев: Белкин, Пенкин, Свечкин, Овечкин, Мышкин. В свободное от нарядов время сержант обучает их, как рассчитываться по порядку. Сколько раз может Сбруев повторить это упражнение, используя только разные способы построения солдат?

£ Договоримся указывать порядок расположения солдат первыми буквами их фамилий. Например, БПСОМ, затем ПБСОМ и т.д. Все комбинации отличаются одна от другой порядком букв, значит ¢

Размещения без повторений

Размещениями без повторений называют комбинации, составленные из различных элементов по элементов, которые отличаются либо составом элементов, либо их порядком. Обозначают и читают «размещения из по », причем .

Число всех возможных размещений: .

Отличие этих комбинаций состоит в том, что составление упорядоченного множества заканчивается, когда мы выберем элементов. Поэтому, чтобы найти число таких упорядоченных подмножеств, нужно перемножить чисел от до

Пример 6. Выбрать 3 краски из имеющихся пяти можно: способами.

Необходимо отметить, что перестановки являются частным случаем размещений.

Таким образом формулу размещений можно переписать иначе: .

Пример 7. Сколько можно составить сигналов из 6 флажков различного цвета, взятых по 2? £ Число таких флажков равно числу размещений из 6 по 2: ¢

Сочетания без повторений

Сочетаниями называют комбинации, составленные из различных элементов по элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом. Обозначают: и читают «сочетание из по ».

Число сочетаний равно: .

Замечание. Сочетаниями являются неупорядоченными подмножествами данного множества, то есть в них не важен порядок расположения элементов, поэтому различные сочетания отличаются друг от друга составом элементов.

Свойства.

1⁰. 3⁰. 5⁰

2⁰. 4⁰.

Пример 8. Сколькими способами можно выбрать делегацию в 12 человек из группы в 20 человек? £ порядок следования в делегации не важен, поэтому способов выбора будет:

Пример 9. Сколькими способами можно выбрать 2 детали из ящика, содержащего 10 деталей? £ ¢

Студент должен знать основные комбинаторные объекты (типы выборок), формулы и правила расчета количества выборок (для каждого из типа выборок); уметь: определять тип комбинаторного объекта (тип выборок), рассчитывать количество выборок заданного типа в заданных условиях.

Элементы теории вероятностей

Теория вероятностей есть в сущности

не что иное, как здравый смысл, сведенный

к исчислению,… она нас учит

предохранять себя от иллюзий, которые нас

часто сбивают с пути,… нет науки, более

достойной наших размышлений, и… было бы

очень полезно ввести ее в систему

народного образования.

П. Лаплас

Вопросы по теме

1. Испытания. События. Классификация событий.

2. Классическое определение вероятностей.

Краткие теоретические сведения

Трудно найти такую сферу человеческой деятельности, в которой не использовались бы вероятностно-статистические методы. Они применяются практически во всех областях науки, в экономике, военном деле, технике, медицине, юридической практике, криминалистике и т.д. Эти методы базируются на понятиях случайного события и вероятности. Решающий вклад в теорию вероятностей внесли такие замечательные математики как Пьер Ферма, Якоб Бернулли, Симон Лаплас, Пафнутий Чебышев и многие другие.

События взаимосвязаны – одни из них являются следствием (исходом) других и, в свою очередь, служат причиной третьих. Случаен набор выигравших билетов а лотерее, случаен результат встречи двух спортивных команд одного и того же класса и т.п.

Предметом теории вероятностей служит выявление закономерностей, присущих случайным событиям, в абстрактной форме. Главной задачей теории вероятностей является подсчет вероятности случайного события: каждому случайному событию ставится в соответствие число , являющееся мерой его достоверности, мерой того, насколько часто оно происходит.

В этой науке первыми понятиями служат событие и вероятность.

Всякий раз, когда выполняются определенные условия, говорят, что происходит испытание. Всякий результат или исход испытания называется событием.

Пример 1. Стрелок стреляет по мишени. В данном примере опытом является: выстрел, а событием – попадание в определенную область мишени

Пример 2. В урне имеются цветные шары, из урны наудачу извлекается шар. В данном примере опыт – извлечение шара, а событие – появление шара определенного цвета.

Все наблюдаемые события делят:

ü Достоверные – события, которые обязательно произойдут при каждом испытании. Обозначается: (греческая строчная буква «омега»).

ü Невозможные – события, которые заведомо не произойдут, при одном испытании.

ü Случайные – события, которые могут произойти, а могут и не произойти при осуществлении комплекса условий. Обозначают буквами А, В, С,…

Пример 3. В урне имеются шары только синего и красного цветов. Наугад вынимают один шар. Событие, состоящее в том, что вынут либо синий, либо красный шар – достоверное. Событие, состоящее в том, что вынут шар белого цвета – невозможное. Событие «вынут шар красного цвета» (или событие «вынут шар синего цвета») является случайным.

Виды случайных событий:

ü События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

ü События называются равновозможными, если появление одного из них в результате испытания не является более возможным, чем появление другого.

Пример 4. Игральную кость бросают один раз. События, состоящие из выпадений чисел 1, 2, 3, 4, 5, 6 являются равновозможными.

Пример 5. При однократном бросании монеты выпадает либо орел (событие А), либо решка (событие В). События А и В – несовместные.

Пример 6. Из ящика с деталями наудачу извлечена деталь. Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» - несовместные.

Каждое испытание можно описать с помощью событий, которые являются несовместными и равновозможными. Эти события называются исходами испытания или элементарными событиями. Совокупность всех исходов испытания называют также пространством элементарных событий или множеством элементарных событий, или полной группой событий (ПГС).

Пример 7. Приобретены два билета денежно-вещевой лотереи. Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий: «выигрыш выпал на первый билет и не выпал на второй», «выигрыш не выпал на первый билет и выпал на второй», «выигрыш выпал на оба билета», «на оба билета выигрыш не выпал». Эти события образуют ПГС.

Пример 8. Стрелок произвел выстрел по цели. Обязательно произойдет одно из следующих двух событий: попадание, промах. Эти два несовместных события образуют ПГС.

Классическое определение вероятности

Как возникла теория вероятностей?

Корни теории вероятностей уходят далеко в глубь веков. Известно, что в древнейших государствах Китае, Индии, Египте, Греции уже использовались некоторые элементы вероятностных рассуждений для переписи населения, и даже определения численности войска неприятеля.

Но все-таки начало теории вероятностей как науки приписывают середине XVII века. Из исторических романов мы помним: это время королей и мушкетеров, прекрасных дам и благородных кавалеров. Как это ни парадоксально, с именем одного из них, причем реального исторического лица, связано начало теории вероятностей.

Следует сразу оговориться, что основоположником теории вероятностей считают великого ученого, математика, физика и философа Блеза Паскаля (1623-1662). Но полагают, что впервые он занялся теорией вероятностей под влиянием вопросов, поставленных перед ним одним из придворных французского двора шевалье де Мере (1607-1648). Блестящий кавалер, умный и развитый человек, де Мере увлекался философией, искусством и ... был азартным игроком! Но игра, оказывается, тоже была для него поводом для довольно глубоких размышлений. Де Мере предложит Б.Паскалю два знаменитых вопроса, первый из которых он попытался решить сам.

Вопросы были такие:

1. Сколько раз надо бросать две игральные кости, чтобы случаев выпадения сразу двух шестерок было больше половины от общего числа бросаний?

2. Как справедливо разделить поставленные на кон двумя игроками деньги, если они по каким-то причинам прекратили игру преждевременно?

Эти задачи обсуждались в переписке двух великих ученых Б.Паскаля и П.Ферма (1601-1665) и послужили поводом для первоначального введения такого важного понятия, как математическое ожидание, и попыток формулирования основных теорем сложения и произведения вероятностей.

Настоящую научную основу теории вероятностей заложил великий математик Якоб Бернулли (1654-1705). Его труд "Ars conjectandi" стал первым основательным трактатом по теории вероятностей. Он содержал общую теорию перестановок и сочетаний. А открытый им знаменитый закон больших чисел дал возможность установить связь между вероятностью какого-либо случайного события и частотой его появления, наблюдаемой непосредственно из опыта.

Дальнейшие успехи теории вероятностей связаны прежде всего с именами ученых А.Муавра (1667-1754), П.Лапласа (1749-1827), К.Гаусса (1777-1855), С.Пуассона (1781-1840) и других.

Современный вид теория вероятностей получила благодаря аксиоматизации, предложенной Андреем Николаевичем Колмогоровым. В результате теория вероятностей приобрела строгий математический вид и окончательно стала восприниматься как один из разделов математики.

В мире случайных явлений, хотя они и случайные, имеются закономерности. Вероятность представляет собой количественную характеристику возможности наступления некоторого случайного события. Исторически сложились различные подходы к определению вероятности. Классическое определение вероятности сформировалось в XVII в. в результате анализа азартных игр и основано на понятии равновозможности событий.

Рассмотрим испытание, в результате которого может появиться событие А. Каждый исход, при котором осуществляется событие А, называется благоприятным событию А.

Пример 9. событие А – «выпадение четного числа очков при одном бросании игральной кости». Из шести равновозможных исходов (от одного до шести очков) три исхода (2, 4, 6) являются благоприятными событию А.

Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех элементарных событий в ПГС.

Итак, вероятность события А определяется формулой

(*)

где число элементарных исходов, благоприятствующих А;

число всех возможных элементарных исходов в ПГС.

Пример 10. Вероятность появления четного числа очков при одном бросании игральной кости равна , так как число всех исходов 6, а число исходов, благоприятных событию – 3.

Из определения вероятности вытекают следующие свойства:

1⁰. Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию ( ).

2⁰. Вероятность невозможного события равна нулю.

Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию ( ).

3⁰.Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае , значит, , следовательно, Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству .

При решении задач на вычисление вероятностей возникают трудности, связанные с определением числа тех или иных исходов испытания. В таких случаях используются комбинаторные формулы, которые мы обсуждали в предыдущей теме.

Методические рекомендации. Анализ и решение задач на вычисление вероятности рассматриваемого события по формуле (*) могут быть выполнены по следующей схеме:

1. Уясните, в чем состоит испытание, рассматриваемое в задаче.

2. Установите, являются ли исходы испытаний равновозможными и несовместными.

3. Выяснив, учитывается или нет порядок расположения элементов в производимой выборке, подсчитайте по соответствующей формуле комбинаторики число всех возможных исходов испытания, т.е. число n всех элементарных событий, образующих ПГС.

4. Сформулируйте событие, вероятность которого требуется найти.

5. Подсчитайте, число m элементарных событий благоприятствующих рассматриваемому событию непосредственно, или применив соответствующие формулы комбинаторики.

6. По формуле (*) вычислите искомую вероятность.

Примеры непосредственного вычисления вероятностей.

Пример 1. В урне 10 красных и 8 синих шаров. Наугад вынимают один. Какова вероятность того, что вынут шар красного цвета?

□ Испытание – извлечение шара. Это испытание имеет 18 равновозможных и несовместных событий, образующих ПГС. Каждый исход означает выбор одного шара. Пусть событие А – «выбор красного шара». Число исходов, благоприятных событию А, равно числу красных шаров в урне – 10. Итак, и ■

Пример 2. В лотерее разыгрывается 1000 билетов. Из них 15 выигрывают по 50 000 руб., 25 – по 10 000 руб., 60 – по 5000 руб. Играющий приобрел один билет. Какова вероятность выиграть не менее 10 000 руб.?

□ Испытание состоит в выборе наугад одного билета из 1000. Поэтому число всех исходов (несовместных и равновозможных) равно . Пусть событие А состоит в том, что участник лотереи приобрел билет, который выигрывает либо 50 000, либо 10 000 рублей. Число всех таких билетов равно . Поэтому ■

Пример 3. Набирая номер телефона, абонент забыл последние две цифры, и набрал их наудачу. Найти вероятность того, что набраны нужные цифры: а) если известно, что эти цифры различны.

□ Пусть событие А состоит в том, что «абонент набрал две нужные цифры».

а) всего можно набрать столько пар различных цифр, сколько может быть составлено размещений без повторений из 10 цифр по две, т.е. Значит, общее число всех элементарных событий, образующих ПГС, равно 90 . Благоприятствует А лишь одно элементарное событие Тогда по определению вероятности ■

Пример 4. Найти вероятность того, что при бросании трех игральных костей шестерка выпадет на одной (безразлично какой) кости, если на гранях двух других костей выпадут числа очков, не совпадающие между собой (и не равные 6).

□ , . .■

Пример 5. В партии из 18 деталей находятся 4 бракованных. Наугад выбирают 5 деталей. Найти вероятность того, что из этих 5 деталей две окажутся бракованными.

□ Число всех равновозможных несовместных исходов равно числу сочетаний из 18 по 5, т.е. .

Подсчитаем число исходов , благоприятствующих событию А. Среди 5 взятых наугад деталей должно быть 3 качественных и 2 бракованных. Число способов выборки двух бракованных деталей из 4 имеющихся бракованных равно числу сочетаний из 4 по 2: .

Число способов выборки трех качественных деталей из 14 имеющихся качественных равно .

Любая группа качественных деталей может комбинироваться с любой группой бракованных деталей, поэтому общее число комбинаций составляет .

Искомая вероятность события А равна отношению числа исходов , благоприятствующих событию, к числу всех равновозможных и несовместных событий ■

Дифференциальное исчисление

Вопросы по теме

1. Понятие производной. Понятие дифференциала. Основные правила дифференцирования.

2. Дифференциальное исчисление нескольких переменных. Дифференциал функции.

3. Производной сложной функции.

4. Дифференциалы высших порядков.

Краткие теоретические сведения

Производнойфункции в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю: .

Функция , имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой в этом промежутке.

Для производной функции употребляются следующие обозначения: или . Нахождение производной называется дифференцированием.

Основные правила дифференцирования

Пусть - постоянная, - аргумент, - функции от , имеющие производные, тогда:

1. производная алгебраической суммы функций ;

2. производная произведения двух (трех) функций , ( );

3. производная произведения константы (постоянной) на функцию

;

4. производная частного (дроби)

; ; .

Если есть функция от : , где , в свою очередь, есть функция от : , т.е. если зависит от через промежуточный аргумент , то называется сложной функцией от (функцией от функции): .

Производная от сложной функции равна произведению ее производной по промежуточному аргументу на производную этого аргумента по независимой переменной:

, или .

При вычислении производных необходимо помнить, что:

и знать правила действий со степенями и корнями: m,n – любые числа

Таблица производных элементарных функций:

Примеры вычисления производной функции:

1. преобразуем функцию к виду , а затем воспользуемся правилом дифференцирования (3) и формулой (1) , получим

используем правило нахождения производной произведения

5. используем правило нахождения производной частного

1 способ: используем частный случай нахождения производной частного

2 способ: введем, отрицательный показатель

7. используем формулу (2), получаем:

8. заменим кубический корень дробным показателем

10.

11.

12. для упрощения нахождения производной предварительно прологарифмируем дробь:

13. прологарифмируем дробь:

14.

15.

16. используем табличную формулу (3)

17.

18.

19.

20.

Дифференциальное исчисление нескольких переменных.

Дифференциал функции

Дифференциалом функции (дифференциалом I порядка) называется произведение производной этой функции на произвольное приращение аргумента : .

Дифференциал аргумента равен приращению аргумента . Поэтому дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал аргумента: .

Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.

Пусть и - дифференцируемые функции, которые образуют сложную функцию , тогда .

Таблица дифференциалов:

Пусть - дифференцируемые функции, - постоянная, - любое число.

1. ;

2. , в частности ;

3. , в частности ;

4. ;

5. (степенная функция);

6. (показательная функция),

в частности ;

7. (логарифмическая функция).

Примеры вычисления дифференциала функции:

1. ;

2. ;

3. ;

Дифференциалы высших порядков

Пусть - дифференцируемая функция, ее аргумент - независимая переменная. Первый дифференциал есть также функция от переменной . Можно найти дифференциал от этой функции.

Дифференциал от дифференциала функции называется вторым дифференциалом (или дифференциалом II порядка), обозначается: или . , аналогично .

Примеры вычисления дифференциалов функции:

1. Найти дифференциал II порядка .

2. Найти дифференциал III порядка .

Дифференциалы функций нескольких переменных

Пусть - дифференцируемая функция, , где и - частные производные.

Для нахождения частной производной по переменной достаточно заморозить на время «дифференцирования» и находить производную функции по переменной , на надо смотреть как на постоянную, и наоборот, при дифференцировании по надо считать постоянной .

Примеры вычисления дифференциалов функции:

Интегральное исчисление. Неопределенный интеграл

Вопросы по теме

1. Неопределенный интеграл. Основные формулы интегрирования.

2. Непосредственное интегрирование. Интегрирование путём замены переменной. Интегрирование по частям.

3. Определенный интеграл.

Краткие теоретические сведения

Функция называется первообразной для функции в промежутке , если в любой точке этого промежутка ее производная равна : .

Отыскание первообразной функции по заданной ее производной или по дифференциалу есть действие обратное дифференцированию, интегрирование.

Совокупность первообразных для функции или дифференциала называется неопределенным интегралом и обозначается символом . Таким образом, , если .

Здесь - подынтегральная функция; - подынтегральное выражение; - произвольная постоянная.

Основные свойства неопределенного интеграла:

1.Неопределенный интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная:

2.Дифференциал неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции: .

3.Неопределенный интеграл алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределенных интегралов этих функций: .

4.Постоянный множитель подынтегрального выражения можно выносить за знак неопределенного интеграла:

5.Если и - любая известная функция, имеющая непрерывную производную, то .

Основные формулы интегрирования (таблица простейших интегралов):

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

, 17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

Каждую из формул легко проверить. В результате дифференцирования правой части получается подынтегральное выражение.

Непосредственноеинтегрирование

Непосредственное интегрирование основано на прямом использовании таблицы интегралов. Здесь могут представиться следующие случаи:

1. данный интеграл находится непосредственно по соответствующему табличному интегралу;

2. данный интеграл после применения свойств 3 и 4 приводится к одному или нескольким табличным интегралам;

3. данный интеграл после элементарных тождественных преобразований над подынтегральной функцией и применения свойств 3 и 4 приводится к одному или нескольким табличным интегралам.

Примеры нахождения интегралов методом непосредственного интегрирования:

1. на основании свойства 4постоянный множитель 5 выносим за знак интеграла и используем формулу (1)

2. используем свойство 4 и формулу (1)

Проверка: . Получили подынтегральное выражение; следовательно, интеграл найден правильно.

3. используем свойства 3и 4 и формулу (1)

Постоянная интегрирования равна алгебраической сумме трех постоянных интегрирования, так как каждый интеграл имеет свою произвольную постоянную .

4. разложим квадрат разности и раскроем скобки

используем свойство 4 и формулу (1)

5. разделим каждый член числителя на знаменатель , далее используя свойство 4 и формулу (1)получаем:

6. используем формулу (1)

8. используем формулу (2)

9. так как , то .

10. так как , то Знак абсолютной величины не пишем, так как при любом значении выражение .

11. используем формулу (11) при получаем .

12. так как , то .

13. так как , то .

14. так как , то .

15. так как , то .

16. так как , то

17. .

18. так как , то следовательно .

19. .

20. так как , то

21. .

22. .

23. .

24. .

25.

Интегрирование методом замены переменной (метод подстановки)

Сущность интегрирования методом замены переменной (способом подстановки) заключается в преобразовании интеграла в интеграл , который легко вычисляется по какой-либо из основных формул интегрирования.

Для нахождения интеграла заменяем переменную новой переменной с помощью подстановки . Дифференцируя это равенство, получим . Подставляя в подынтегральное выражение вместо и их значения, выраженные через и , имеем . После того как интеграл относительно новой переменной будет найден, с помощью подстановки он приводит к переменной .

Примеры нахождения интегралов методом замены переменной (метод подстановки:

введем подстановку . Дифференцируя, имеем , откуда . Подставив в данный интеграл вместо и их выражения, получим . Заменив его выражением через , находим .

Проверка: .

положим , откуда .

3. полагая , имеем . Значит,

4. положим , откуда . Поэтому, .

5. положим , откуда .

Следовательно, .

6. так как , то разделив и умножив знаменатель на ,

положим , тогда ,

т.е. . Таким образом, .

7. положим , тогда . Поэтому

8. положим , откуда . Значит .

9. положим , откуда .

Тогда получим .

10. положим , откуда . Следовательно, .

11. положим , откуда . Значит .

12. полагая , находим . Таким образом .

13. полагая , откуда . Таким образом .

Интегрирование по частям

Интегрируя обе части равенства , получим , откуда

(*)

С помощью этой формулы вычисление интеграла сводится к вычислению интеграла , если последний окажется проще исходного.

Примеры нахождения интегралов методом интегрирования по частям:

1. положим , тогда , т.е. . Получаем .

2. положим , тогда , . Получим .

3. положим , тогда .

в числителе подынтегральной функции последнего интеграла прибавим и вычтем и представим этот интеграл в виде суммы двух интегралов:

последний интеграл находим

перенеся из правой части в левую, получим

, или окончательно

Определенный интеграл

Пусть функция определена на отрезке . Разобьем этот отрезок на частей точками , выберем на каждом элементарном отрезке произвольную точку и обозначим через длину каждого отрезка. Интегральной суммой для функции на отрезке называется сумма вида .

Определенным интегралом от функции на отрезке называется предел интегральной суммы при условии, что длина наибольшего из элементарных отрезков стремиться к нулю .

Для любой функции , непрерывной на отрезке , всегда существует определенный интеграл .

Для вычисления определенного интеграла от функции в том случае, когда можно найти соответствующий неопределенный интеграл , служит формула Ньютона-Лейбница: , т.е. определенный интеграл равен разности значений первообразной при верхнем и нижнем пределах интегрирования.

Непосредственное вычисление определенного интеграла

Примеры вычисления интегралов, используя формулу Ньютона-Лейбница:

1. ;

2. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. .

Вычисление определенного интеграла методом замены переменной

При вычислении определенного интеграла методом замены переменной (способ подстановки) определенный интеграл преобразуется с помощью подстановки или в определенный интеграл относительно новой переменной . При этом старые пределы интегрирования и заменяются соответственно новыми пределами интегрирования и , которые находятся из исходной подстановки.

Из первой подстановки новые пределы интегрирования вычисляются непосредственно: , .

Из второй подстановки новые пределы интегрирования находятся путем решения уравнений и .

Таким образом, имеем .

Примеры вычисления интегралов:

1. Введем новую переменную интегрирования с помощью подстановки . Дифференцируя, имеем , откуда . Находим новые пределы интегрирования. Подставляя в соотношение значения и , соответственно получим . Следовательно