Ая квадратичная форма на поверхности

Пусть S-гладкая поверхность, r=r(u,v) – её векторное уравнение;

r_u×r_v≠0

r=r(u,v)=x(u,v)i+y(u,v)j+z(u,v)k

Опр: Скалярный квадрат полного дифференциала dr радиуса-вектора текущей точки поверхности называется первой квадратичной формой ₁ поверхности: ₁=dr²

₁=ds²=E(du)²+2F(du)(dv)+G(dv)²

гдекоэффициентыE,F,G вычисляются: E=r²_u; F=r_ur_v; G=r²_v;

r_u= r_v=

29.2ая квадратичная форма на поверхности. Гауссова и средняя кривизна.

Пусть S-2регулярная поверхность, заданная векторным уравнением

r=r(u,v), (u,v) D

В каждой точке такой поверхности помимо единичного вектора нормали

определён и 2ой дифференциал векторной функции r(u,v):

d²r=r_uudu²+2r_uvdudv+r_vvdv²

Опр: 2ой квадратичной формой поверхности Sназывается скалярное произведение векторов d²rи n:

₂=(d²r,n)=(r_uu,n)du²+2(r_uv,n)dudv+(r_vv,n)dv²

Где приняты обозначения:

L=(r_uu,n); M=(r_uv,n); N=( r_vv,n);

₂=Ldu²+2Mdudv +Ndv²;

формулы для вычисления коэффициентов L,M,N. Заменяя в формулах вектор nего выражением, получим:

Полная (или Гауссовая) кривизна поверхности называется отношение дискриминантов 1ой и 2ой квадратичных форм:

Знак гауссовой кривизны поверхности в данной её точке указывает на характер поведения поверхности в этой точке.

К(u₀,v₀)>0, называется эллиптической;

К(u₀,v₀)<0, называется гиперболической

К(u₀,v₀)=0, но отличен от нуля хотя бы один из коэффициентов второй квадратичной формы, называется параболической.

k₁,k₂-главные нормальные кривизны, они же корни уравнения:

(EG-F²)k²-(EN+GL-2FM)k+LN-M²=0

Средняя кривизна поверхности:

Дата добавления: 2018-02-28; просмотров: 185; Мы поможем в написании вашей работы!

Поделиться с друзьями: